八上第8-15讲差第12讲

1、因式分解二目标一复习因式分解的基本方法目标二掌握十字相乘法和主元法模块一复习知识导航把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显。基本的分解方法有：1提公因式2公式法3十字相乘常见分解技巧有：1主元法2换元法3拆添法4双十字相乘法5分组高端分解方法有：1因式定理2待定系数3轮换对称例1分解因式(1) 12a2xa+ Gabx- 15acx2 12ax3+6abx2y _15acx2(2) 2a2

2、b(x+y)2(b +c) 6a3b3(x +y)(b+c)22Mb(x+y尸(fc- 6b*(x +册 + C)*;(3) 9(m-n)2 -4(m+n)2 二-二一.二一-一(4) 9x2 -24xy +16 y2财-24xy+16 泊(5) ac2 +bd2 ad2 -bc2 就士 +一壮-bC”练分解因式：2m 12m 1(1) (pq)+(qp)(2) 9x5 -72x2y3(3) xy -x - y +1(4) ab(c2 -d2) -(a2 -b2)cd模块二十字相乘知识导航先看一个乘法公式 - - - - (x a)(x - b) =x2 (a b)x -ab利用这个乘法公式，

3、我们可以得到分解形如X2 + px + q x2 + px +q的二次三项式的方法：如果可以找到两个数a、b,使得常数项为两者的积，同时一次项系数为两者的和即ab= q, a+b= p，那么我们就可以把x2 +px +qx-px+q 分解因式：x2 +px+q= (x+a)(x+b)”+ px +q = x+a)(x+b)。例2分解因式(1)(+ 5x + 6x2+5x 6 X2-6x+8x2 -6x +8(3)x2 -x -6X； -x-6；因式分解(1) -x2-2x+822(2) x -20xy +64y例3分解因式：2(1) 3a 7a6;2(2)5x +12x 9 ;练(1) -6x

4、211x+7;2(2) 32 -12x -27x ；例4分解因式：42. 一(1) x +7x -30 ;.2(2) (x+y) - 4 (x+y) 12;(3) (x2 + 4x+8) 2+3x (x2+4x+ 8) +2x2;.2(4) kx + (2k3) x+k3.拓分解因式：(1) x4-x (a2+ 1) + a2；23） x （ a b c） x（a b） c;4） mx2（m2 m 1 ） x m2 m.模块三主元法知识导航在对含有多个未知数的代数式进行分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解。例5分解因式：（ 1） 2a2 b2 ab b

5、c 2ac;2） a2b ab2 ac2 3abc b2c bc2.练分解因式：（1） 1ab cabacabc;（2） a（6a11b4） b（3b1）2.拓分解因式：(1) (a+b) c3 (a2+ab+b2) c2 + a2b2;(2) 2a2b2+ I0a2b-3ab2- I5ab 18a b25b 6.模块四 双十字知识导航考虑x2+2xy3y2+3x+y+ 2的因式分解；如果只有二次项 x2+ 2xy3y2,如图(1),那么 x2+ 2xy- 3y2= (xy) (x+3y)如果没有含y的项，如图 如果没有含x的项，如图(1)(2)(3)2),那么对于多项式 x2+3x + 2=

6、 (x+1) (x+2)23),那么对于多项式 3y+y+2= ( y+1) (3y + 2)把以上三个算式“拼”在一起，写成(4)22.便得到所需要的分解：x + 2xy- 3y + 3x+ y+ 2= (x y+1)(例6(1) 4x2 -14xy+6 y2-7x+y-222(2) x +2xy _3y +3x+y+2，一、22(3) 6x 5xy6y +2x+23y202_2_(4) 2x -7xy+6y +2xy12练分解因式：(1) x2 _y2+5x+3y+4(2) x2 -6xy+9y2 5xz + 15yz+6z2拓222已知：a、b、c 为二角形的二条边，且 a +4ac+3

7、c 3ab7bc+2b =0,求证：2b= a+c因式分解（1）3b2 -12b 122.一 2一(2) x 4x12,、2_ 一(4) x -5x _62(5) x ，7x -62_ 一(6) x -7x 6 2(x2 3ab)+x(4a 3b)2(8 ) 7x - 3y xy - 21x(3 ) x _5x _6.223(9 ) 1+ (b a )x -abx22(10) x -3xy -10y +x+9y2 ；(11) x2 +xy -2y2 -x +7y -6 ；22(13)a +ab _6b +5a+35b 36 ;因式分解因式定理：如果x = a时，多项anxn+anxn°

8、; +，aix+a0的值为0,那么xa是该多项式的一个因式。特别的，如果多项式的系数的和等于0,那么1 一定它的根：如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0,那么_1 一定是它的根.多项式有理根的性质有理根c=E的分子p是常数项a0的因数，分母q是首项系数an的因数.q32例如：分解因式：2x -x -5x -2.解析：a0=-2的因数是±1J2,an =2.一._ ,. _一 一 ,1因此，原式的有理根只可能是±1, ±2(分母为1), ±2因为_1是f (x )的一个根，从而 x+1是f (x )的因式，这里我们可以利用整式除法，此时一般将

9、被除式按未知数的降募排列，没有的补0;2x2 = 3x二 2x 1 2x3x2 -5x-2c 3 c 22x 2x-3x2 -5x-3x2 -5x-2x -2-2x -20可得原式=2x2 -3x -2 x 1 = x -2 2x 1 x 1练习：因式分解(1) 3x3 -5x2 +x +1 ； (2) 6x4 +5x3 +3x2 -3x -2.领先中考培优课程MATHEMATICS因式4解（三）9知识目标目标一掌握因式分解之拆添项法目标二掌握因式分解之换元法拆添项法知识导航拆项即把多项式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项.因此，因式分解中进行拆添项的目的是相同的，即

10、经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从从而可以运用分组分解法来因式分解.配方法则是一种特殊的添项法.因式分解:(2) 4x2 4x y2+4y3 ；(3) x4+ x2y2+y4；x8+ x4+1;(5) x4- 7x2y2+81y4；(6) x4- 2(a2+ b2)x2+ (a2b2)2；(7) a4- b4-c4+ 2a2b2+ 2b2c2 + 2c2a2；分解因式： x4+4y4;(3) x4 3x2+1;(4) (1 + y) 2-2x2(1 +y2) +x4(1 y)2；分解因式：32(1) a+3a+3a+2；(2) a4+ 2a3b+3a2b2 +2ab3+b4；因式分解(1)

11、a3+ 3a2 + 3a+ b3+ 3b2+ 3b+ 2 ；32(2) x + 2x 6 5x；(3) x3+ 3x2 4;(4) x4+ 2x3+3x2+2x+1 .分解因式：一 一3(1) a4a+3；一 一3(2) x9x+8;分解因式(1) x4+ x3+4x2+3x+3;(2) x3+ 6x2+11x+6;【拓】分解因式：432 x+2x 9x 2x+8;(2)(x+ 1)4+(x2- 1)2+(x 1)4；换元法分解因式：(x2+4x+8) 2+3x( x2 +4x+8) + 2x2;分解因式：(x2+5x+7) 2+8x( x2+5x+7) + 15x2;分解因式：，、，2_、

12、，2_ 一、(1) (x +5x+3)( x +5x + 5) + 1;(2) (x2+5x+2)( x2+5x + 3) 12;因式分解：(x2x3)( x2 x5) 3;因式分解：(x+ 1)( x+3)(x+5)( x+7) +15;因式分解：(x 1)( x2)( x3)( x6) +x2;【拓】因式分解：(x2+6x+8)( x2+14x + 48) + 12;因式分解：(6x- 1)(4 x- 1)(3 x- 1)( x 1) + 9x4;因式分解：(x+ 1)(2 x+ 1)(3 x+ 1)(4 x+ 1) +x4;【拓】因式分解：(1) 16(6 x- 1)(2 x- 1)(3

13、 x+ 1)( x- 1) +25;(2)若x, y是整数，求证：(x +y)( x+2y)( x+3y)( x +4y) + y4是一个完全平方数.分解因式：(1)x3- 3x2 + 4;因式分解(三)课后作业(2) x9+ x6+x33;(3) x4 7x2 1；(4) x4 x2 2ax 1 a2；(5) x4 y4 ( x y) 4；2(6) ( x1)( x 2)( x3)( x6) x ；(7) ( x2 xy y2) 2 4xy( x2 y2)；(8) ( a2 1)2 (a2 5)2 4( a2 3)2；(9) (6x 1)(3 x1)(2 x 1)(3 x 2) 10；22(

14、10)(x2 5x 2)( x2 5x 3) 12；(11) (a1)( a2)( a3)( a 4) 24；(12) (6x 1)(2 x 1)(3 x 1)( x 1) +x2;，一、， 2 一一、 ， 2一、_(13) (x +6x+ 8)( x + 14x+48) + 12;数学故事待定系数法：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果 anxn +an°xn+anxnq + +a1x+a0 =bnxn+bnxn+bn/xn + + 匕* + 瓦恒成立，那么an= b, an x =bnx,，a1 = b, a°= b°.待定系数法的使用前提

15、是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式的把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解.【例题】用待定系数法分解因式：x5+ x+1；【解析】原式的有理根只可能为士 1,但是这2个数都不能使原式的值为0,所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式.设 x5+ x + 1= (x2+ ax+ 1)( x3+ bx2+ cx+ 1)或 x5+ x 1 = (x2+ ax +1)( x3+ bx2+ cx 1),x5+ x+ 1 = (x2+ ax+ 1)( x3+ bx2+ cx+ 1) =x5+ (a+ b) x4+ ( ab+ c+ 1) x3+ (ac+ b

16、+ 1)x2+(a+c)x+1,a b =0,c ab 1 =0, ac b 1=0, a c =1,a = 1,(x2+x+ 1)( x3 x2+ 1),解彳导也=_1，所以x5+x+1c = 0.事实上，分解因式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.【练】用待定系数法分解因式：(1) x2+5x + 6;(2) x4-3x-2第十讲分式的概念及性质知识目标目标一：掌握分式的概念和性质目标二：掌握通分和约分的基本方法目标三：掌握分式的化简和求值模块一：分式的概念知识导航一、分式的定义AA一般地，如果 A B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 C叫做分式。分式JA中，A叫做分子,BBB叫做

17、分母。二、分式有意义（或分式存在）的条件分式的分母不等于零即 B = 0三.分式的值为零的条件：A -分式在有意义的前提下，分式的分子为零。即当A = 0,且B#0时，=0.B例1 （2015年江岸区八上期末）o 2, 3_1 .下列代数式中： _,3a b c,-5,2 +_y ,9x +1° ,其中是分式的有（）a 46 x 7 8 yA2个 B 3个 C4个 D5个2 . （2015年江岸区八上期末）1x2当x 时，分式有意义，当x时，分式X +1有意义；x -2练321x ya a1x212 2 2ba b, 一,，一 ,，x -一，一2,(1)在代数式4 x 32 bx-1

18、23 3b分式有 个（2） （2015年武昌区八上期末）（2015年洪山区八上期末）当x取何值时，下列分式有意义？x -12x -12:I 7-2 7（1） x -3（2） 3x+1（3）x -1例2当x为何值时，下列分式的值为零25 -x2(x-5)2x -62x -1 x 3 2(x-6)(x 1) x -168x2(3)(x 4)( X - 1) (4) x 8 (5)练当x为何值时，下列分式的值为零?25 -x25 |x 1(1)(X1)(x5)模块二：分式的基本性质知识导航一、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一共不等0的整式，分式的值不变日口 A A B小即一 二（C

19、 = 0）B BxC 。二、约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式。三、通分：利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，为 了通分，要先确定各分式的公分母。一般取各分母的所有因式的最高次募的积作公分母，它叫做最简公分母。题型一基本性质例31 .下列式子中，正确的是（）- a - b a - ba - b a ' b -a - b a - bA. = B. = C.=-a - b a bD.=c cc cc2. （2015年江汉区八上期末）若X, y的值扩大为

20、原来的 3倍,3x - yx-y一 cc- c下列分式的值如何变化？口x y3.不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数12-x y23y _0.2a -0.03b1x ly0.04a b341 0.4a-b21-a 0.3b52y练1. （2015年武昌区八上期末）下列分式与分式x相等的是（）2A.当B.22yC.义 D.-今x x 2x-x（2）下列各式变形正确的是（）A.1 二x5 25aa b-a b一 二-2 C.=2a 4a-a -ba b0.2x 0.5y _ 2x 5y0.03x 3x5x（3）如果把x + y的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（）A.不变。B

21、,扩大50倍 C扩大10倍1D.缩小到原来的10题型二约分例4(1)下列分式为最简分式的是()22 33ba -bA.B.15a b -a2 x c. 3xD.y253一 二2- 练1.分式6x y与4xyz的最简公分母是。)不2.通分 2ab ab cy -x2x 2y(-32b 3a 4ab模块三分式的基本运算知识导航分式的乘法ac =也b d bLd分式的乘方 b bna . c _ a|_d _ a|d法 b d b c bLc分式的除a b a -b一± =同分母分式相加减c c ca c ad bc ad 二 bc± = ± =异分母分式相加减b d

22、bd bd bd0 指数募 a° =1(a =0)n 1a =-p(a #0, p为正整数) 负整数指数募a题型一分式的乘除例612xy .2 1r 8xy3a 16b(1 12计算： 4b 9a3a -3b一10ab25a2b3a2 -b22 2（4）,汽练计算_ . 27 c -5abab-3ab t-15ab 14c2cd4cdx 2x -32x -6x 9x2 -42 x - y xy -x xy题型三化简求值例9计算x2 2x_ 2_ 2_、2x -3x 2x +x6卑11 2 12 4x-6；2工12 -a3-a 9-a2（3知：x21 , x2+ 3x -8 = 0,求

23、代数式x -2-4x 4士的值x 2（4）先化简:组二1 i+=a二然后给a选择一个你喜欢的数代人求值 a a a练计算(1 )22、2x -yxyc 22 x y2- -x|!3x x y 3xJ一一匕x(3 K x +4 广(x2+3x -4 )+3，其中 x = 2 + V3 x -1（4）x2 2=0，求代数式2x-1.x2 -1x+1的值疯狂训练计算（注：以下题目均来自于2015年各区八上期末考试真题）2 .（1）先化简，再求值：x 4- 1 ,x .2 '其中 x= - 4（2优化简，再求值：1 1x 22-/x 2x 1 十，其中X = 4x2 -45-276.分式m -

24、4（3色化简X一1 一生二1 1再取一个你认为合适的 x值，代入求原式的值 xx（4世简分式；彳 x1 F25-m-2x2 -4x2 -2x 1c m-3 m2 +J 2m-4(3)a2 +b2a -b、222 r1a -b a +b ,2ab-2a - b a b（5户£化简,再求值：x -2124 -x，其中x2 =4（6我化简,再求值:a 2 -a2a -4-2 a -3，其中a满足：22a中4a =48.课后作业1.下列式子:一,x -2,a m 3 x-ya 6 2x2 2x1,mn,2b 57中，分式的个数是（A、4个2、（2015年江岸区八上期末） 下列分式从左到右的变

25、形正确的是（-aA.一2b-2b1B.-二n2)C y +y _ y+1xy2 ac bc23.若分式2 一 一一有意义，则x的取值范围是（）x -5Ax : 5B.x= -5C.x 5 D.x-54、下列各式中,与式子-'b的值相等的是（A.a-a - bB.六C.D.b -a5.化简:m2-3m 222y -4xy 4x2x - y34-2m的最简公分母是7.约分2x 3x 22x -x 6一 4x 4x-22 .21 12a b-a .13；27 a -b_2m -4m T16 -m8、通分3a,2 ， 27 -7a 1 -2a a2 a2 -121xx2x2 -4x-5'

26、;x2 3x 2,x2 -3x -10a2 ab ab2a2a2 -ab，b - ab，a2 -b22,2 , 2x -18 81 81 -x x 18x 819、先化简，再求值:x -1，其中 x = -2 x -110、先化简，再计算22x -y-2x + y,其中 x =3, y =2.第11讲分式方程模块一：分式方程的解法知识导航：1 .分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程.2 .可化为一元一次方程的分式方程的解法：(1)解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程.(2)可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程

27、化为整式方程；解这个整式方程；验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根.注意：(1)增根能使最简公分母等于0.(2)增根是去分母后所得整式方程的根.3 .解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以(或除以)同一个不为 0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0,那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.4 .对于一些比较特殊的分式方程，利用基础解法较为复杂，我们可以采取一些比较特殊的方法，例如裂项、分 离

28、常数、换元等方法解题，以减小运算量.5 .适当的题目要进行分类讨论.题型一：基本解法【例1】解下列分式方程：(1) -x+2-=2(2) 2x2=1x -3 3 -x2x -5 2x 5(3)5x+2 3xx +x x 1【练】(1) (14武汉中考)解方程:23x -3 x(2) (13武汉中考)解方程:(3) (12武汉中考)解方程:2(x 5)13x题型二：分离变量 【例2】解下列分式方程(1)2x -3 2x -4 ,=1x -12x -32_ 2(3)x x-3 / 2x 4x 1-1x x -2 x 2x 1【练】x 1 x 7 x 2 x 8x 2 x 8 x 3 x 9题型三：

29、裂项法【例3】解方程(1)1111+=1 - -x(x_1) (x _1)(x 2) (x2009)(x2010) x(2)1.1,1,1.41222-2x x x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 21 x 4【练】(1)已知工+ +1=型，求 n.1父3 3X5 5X7(2n-1)x (2n+1) 41(2)解关于x的方程1111x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x 4题型四：分组通分【例4】(1)解方程 2上 +518 =立2 x17I .x 2 x 9 x 3 x 8【练】(1)解方程- - +,并猜想 一1_ _1一 =_1一 十一1一 的解.X 一3 x -4

30、 x-6 x-7x-2005 x -2006 x -2007 x-2008题型五：倒数型【例5】阅读并完成下列问题：1111 101万程x+- =21的解是x=2 ,x2 =1 ;方程x+- =10的解是x1 =3, x2=1,观察上述方程及解，可猜x 22x 3311想关于x的万程 x +1 =c +1的解是xc请用上述方法解方程：网 上二二5x -1 3x 2【练】解方程:2x 32x 3- x 334 -x题型六：含字母型【例6】解方程：解关于一22 m - m - 2x的方标m -1 =【练】解关于x的方程:1a1b(1) (a "b);axbx/ 、 x -'bc

31、x -a /八、(2) =2 -(a+b00).模块二：分式方程的应用思路导航：1 .分式方程有增根，可从最简公分母入手，使得最简公分母为0的x值，即为增根，将增根代入变形后的整式方程即可求参数值.2 .分式方程无解包含两种情况：原方程有增根时的情形和转化成相应的整式方程无解的情形【例7】(1)如关于x的方程 _x_ _2=2_有正整数解，则()x - 3x - 3A. m0 0 且3B. RK6 且 3C. rk0D.m0 6(2)若分式方程3+4一有增根，则a的值为x -2x x(x -2)(3)关于x的方程32x+2 +mx=r无解,求m的值. x - 33 - x【练】(1)关于x的方

32、程-a- =1的解是负数，则 a的取值范围是 x 1(2)已知关于x的方程xZ3_上 =2有增根， 求增根及k的值. x -1 x -1(3)若关于x的分式方程 +1 =2 无解， 求m的值.x-55 -x【例8】某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1. 2万元,乙工程队工程款 0. 5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：(1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成；(2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；(3)若甲、乙两队合作 3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，试问：在不耽误工期的前提下，你觉 得哪一种施工方案最

33、节省工程款？请说明理由.【练】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏， 商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线 （如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜.结果；甲同学由于心急，掉了球，浪 费了 6秒钟，乙同学则顺利跑完.事后，甲同学说；“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1. 2倍”.根据图文信息，请问哪位同学获胜？故事十：鲁班发明锯的故事相传有一年，鲁班接受了一项建筑一座巨大宫殿的任务.这座宫殿需要很多木料，他和徒弟们只好上山 用斧头砍木，当时还没有锯子，效率非常低.一次上山的时候，由于他不小心，无意中抓了

34、一把山上长一种野 草，却一下子将手划破了.鲁班很奇怪，一根小草为什么这样锋利？于是他摘下了一片叶子来细心观察，发现 叶子两边长着许多小细齿， 用手轻轻一摸，这些小细齿非常锋利. 他明白了，他的手就是被这些小细齿划破的.后来鲁班又看到一条大蝗虫在一株草上啃吃叶子，两颗大板牙非常锋利，一开一合，很快就吃下一大片，这同样引起了鲁班的好奇心，他抓住一只蝗虫，仔细观察蝗虫牙齿的结构，发现蝗出的两颗大板牙上同样排列着许多小细齿，蝗虫正是靠这些小细齿来咬断草叶的，这两件事给鲁班很大启发.于是他就用大毛竹做成一条带有许多小锯齿的竹片，然后到小树上去做试验，结果果然不错，几下子就把树杆划出一道深沟，鲁班非常高兴

35、.但是由于竹片比较软，强度比较差，不能长久使用，拉了一会儿，小锯齿就有的断了，有的变钝了，需要更换竹片.鲁班想到了铁片，便请铁匠帮助制作带有小锯齿的铁片.鲁班和徒弟各拉一端，在一颗树上拉了起来，只见他俩一来一往，不一会儿就把树锯断了，又快又省力，锯就这样发明了.今天我学到了 .第11讲【课后作业】分式方程及其应用11111 .在万程=,一+1 二x 1 y -1 x x -2A. 1个B. 2个2 .下列说法：解分式方程一定会产生增根；ax - by bx ay-22 - 22a b a -bC. 3个a,b为已知数）D. 4个中,分式方程有（方程 2 x -2一=0的根为2;x 4x 4方程

36、 L = 的最简公分母为 2 x（2 x 4）； 2x 2x -4x + =1 +,是分式方程方程. x -1x -1其中正确的个数是（）D. 4个A. 1个B. 2个C. 3个3 .解分式方程 匕+2 =-,可知方程的解为（）x -22 fA. 2B. 3C. 3D.无解4 .若关于x的方程xl =m力产生增根，则m是（）x -1 x -1A. - lB. 1C. - 2D. 2二.填空题（共 4小题）5,若关于x的方程2x*a =1的解为正数,x -2则a的取值范围是6 .根据结论:x+m=c+m 的解为 x1 =c ,旭=m，则方程 x+1+>=2011+-> 的解 x1=2

37、010, x2 = x ccx 120117 .若关于x的分式方程 工=a1有增根, x 5 5 -x那么增根是,这时a =8 .若关于x的分式方程 x=3=1无解, x -1 x三.解答题9 .解方程(1)工-1 二3x 1 (x 1)(x -2)10 ) J6 +x 1 x -1(3)x 2x -4(4)x -1x二0x -1(5)x13+x(6)x -4x(x -1)x -5x -8+x -9x -8x - 5+x-6七小旌川020七产10 .“六一” 儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用 2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批

38、数量的 1. 5倍，但每套进价多了 10元.(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%那么每套售价至少是多少元领先中考培优课程13二次根式目标一 掌握二次根式的概念目标二 掌握二次根式的运算模块一二次根式的概念【知识导航】二次根式的定义：形如 ja （ a-0）的式子叫做二次根式.二次根式存在的意义：被开方数大于等于0,即、而存在，则a- 0二次根式的三大性质：（1）双重非负性： 亚-0且a- 02 2) (Ja)2 = a ( a- 0)(3) Ja = a|【例1】a(a- 0)旬a < 0)1.当x取何值时，下列式子有意义

39、?(1) 5/3X1(2)7X+1(3)1 -x2 x(4)(5)2.化简(1) J(2 7J)2(3) (a -3)3.已知a, b两实数在数轴上对应位置如图所示，化简:(a -1)2(b 1)2 ' , (a b)2b.,_a_-2-1012【练】1.当x取何值时，下列式子有意义?(1)庠(2)(3) (x 1 +j2x八年级秋季尖子班第（5）旧13讲学生版2.下列命题中，正确的是（）A.若 a>0,则 7aT=a；C.若a为任意实数，则 Va =力B.若 Ja2 =a，则 a >0；D.若a为任意实数，则（启）2 =±a3 .若 a -2| +Vb-3 +(

40、c -4)2 =0 ,则 a -b +c =【拓】1.当 0 <a 父1 ,化简：a-l)2 +4 +、；(a+2)2 -41 2.当-2刑a -,化间： Ji -4a +4a +da +4a +4【例2】把下列各式中根号外的因式移入根号内:(1) 2 万(4)(af1 a【练】把下列各式中根号外的因式移入根号内:(1)与夜 (2) 10而7(4) (a 3) . -a -4【模块二】最简二次根式与同类二次根式最简二次根式：二次根式后(a-0)中a称为被开方数，满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式:(1)被开方数不含分母(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式在二次根式的运算中，

41、一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化互为有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含二次根式， 它们就互为有理化因式.例如:(4+Jb)(。而 =a -b ,所以 « +石和dG一而互为有理化因式.(分母有理化一定有理化因式不为0)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二a . x -b x =(a -b)., x次根式.合并同类二次根式：只有同类二次根式才能合并，例如:【例3】1.把下列式子化成最简二次根式 9x3 -18x2 ( x-2 )2.把下

42、列式子分母有理化& 3 5 -2 33 5 2.3 2(a -1)2a 43.已知最简二次根式b_a/3b和0b机+2是同类二次根式，则 a =【练】1.把下列式子化成最简二次根式2.把下列式子分母有理化_2 二 12 14 3 3-23 2 <22-3-3 23.已知最简二次根式 a J2a +b与a历是同类二次根式，求a, b的值.【拓】把下列式子分母有理化1111Tx+1-Vx66-155+144-355a a，ba - . b a , b -c . d x-1 二 x 615 .14 - 35乘法二次根式的积与积的算术平方根可互相转化：4ahzb = JOE (a废0,b

43、 0)二次根式的 计算结果要 写成最简二 次根式的形 式除法二次根式的商与商的算术平方根可互相转化：理=J- ( a- 0,b >0 )Vb Vb加减先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式【模块三】二次根式的运算二次根式运算法则计算-.;3(1) 345M2质(2) 2712X3-4(3) 5 *35 N2,2 1(【练】1 L-计算：(1) 2712M-73-5乏(2)4(3)jabi_J(4)3 %a5 2：4):第L(_|指尸M. 27 . 50 - 6身感【例4】【例5】计算(1) 9a ,25a(3 )240.5 -(. 8 - .6)x 0)【例6】计算(1) (3. 2a

44、3 -2 a)|_ a(4 )(T663)(-1Va>/03'' J a5) (a>0)248(5) (Ta3b _3ab+Vab3)+Tab ( a >0 , b >0 )【例71计算：(i)(J3+物2(2)(疾-60(43而)(3) (V3-272)2 -42( 13-242)(4)已知x= 2 -翼,求代数式(7 +4%/3)x2 +(2 +73) x +点的值.【拓】计算(1) (1+7x)(1 _Jx)(1 +x+/X)(1 +x _Jx)(2) (2石-布)16(2点+ 布)17(3)(布 +五-V5)2 _(痴-V2 +忖【疯狂训练】【2

45、015年八下各区期中考试真题】计算：2.36-2(5 3 - 2,5)22 712-6+3748（2亚6&十3.画+2点2 .12 立 5 24阮6；+后（24-.2）-（'86）2 12-63 27217血*48385日国2 后一嘴j+2XJl ,其中 X=10已知xy = 5,求xj 十yx的值.16a 6426 2 - 6°二2一 3一 一（ 一3）(76-2715)x73-6-272-163 1)(.3-1) 8(2 3 -3.2) 2 -(2 3 -3-. 2)2第13讲【课后作业】二次根式1 .若J3m _1有意义,则m能取的最小整数值是（）A. m= 0

46、 B. m= 1 C. m= 2 D. m= 32 .当a <0, b <0时，化简JN节的值是（）A. a b B. a . -bC. -a ,/bD. -a . -b3 .下列各式不是最简二次根式的是（）A. .a2 1 B. . 访 C. -2bD.2X-14 .使式子 Je2有意义的 x是.5 .若 x、y 为实数，且 y = J1 4x +J4x_1 +1 ,则 J- +2 +- - ?- -2 +-的值为 2 y x ' y x6 .把（a -1）J 根号外的因式移入根号内，其结果是1 -a7 .下面四组二次根式：（1）点干和J工；省和； （3） J2X和8百；

47、（4） Jmln和JmZn .9x,3, am-n mn（m >n >0 ）.其中是同类二次根式的是8 .计算2 9x 6, x第14讲勾股定理知识目标目标一：勾股定理的证明目标二：勾股方程的使用目标三：勾股定理逆定理的证明和应用模块一：勾股定理知识导航勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边的数量关系，可以用来解决许多直角三角形中的计算问题.不仅是数学，勾股定理在其它自然科学，还有实际生活都有存在广泛应用.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.勾股定理也叫毕达哥拉斯定理.题型一：勾股定理应用【例1】1 .在 RtAABC, AB= c, BC= a, AC= b, / B= 90° .(1)已知 b = 8, c=4,求 a.(2)已知 b=