人教A版数学必修一专题4函数的奇偶性.docx

1、&鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&专题4函数的奇偶性d。3 L j,._ t _.习回眄1 .函数的奇偶性定义对于函数f(x)的定义域内任意一个 X： f ( - x) = f (x) ? f(x)是偶函数;2 2) f(-x)=- f(x)? f (x)是奇函数.2 .函数的奇偶性的性质(1)对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x必须成立；(3)可逆性：f ( x) =f (x)? f (x)是偶函数;f ( x) = f (x)? f(x)是奇函数;(4)等价性：偶函数：f ( x) f (x) = 0;奇

2、函数：f ( x) + f(x) = 0;(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.3 .分类 奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数.4 .函数的奇偶性判断方法与步骤 利用定义判断：(1)定义域是否关于原点对称，(2)数量关系f(x) = ±f(x)哪一个成立.|壑上典.例题例1判断下列函数是否具有奇偶性.(1) f (x) =x + x3+ x5；(2) f (x)=43 x2 + W3.鑫达捷变式训练 1 判断下列函数是否具有奇偶性 f(x)=x2+1;(2) f(x)=x+1; f(x) =x： xC -1,3.x2 x，x<0 ，例2求函数

3、f(x)=2+>0的奇偶性.的奇偶性.x2 2x 3，x<0，变式训练2判定函数f(x) =,+ 2x 3 x>0例3若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x) = x(1x),求当x>0时，函数f(x) 的解析式.变式训练3 已知函数f(x)是定义在(一8, +OO )上的偶函数，当xC(8, 0)时，f(x) = x-x4,求当xC(0,+8)时，f(x)的表达式.I 强化提高A级1 .函数f (x) =2x3的图象()A.关于y轴对称B.关于x轴对称C.关于直线y= x对称D.关于原点对称2 .奇函数f(x)的定义域为R若f (x+2)为偶函数，且

4、f(1) =1,则f (8) +f(9)等于()A. - 2 B. 1 C.0 D . 13.函数 f (x) =x+ 2()xA.是奇函数，但不是偶函数B.是偶函数，但不是奇函数C.既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，又不是偶函数24.设f(x)是定义在R上的奇函数，当xw。时，f (x) =2x x,则f等于()A. - 3B. - 1C. 1D. 35 .若f (x) = (x+a)( x4)为偶函数，则实数 a=.6 .若奇函数f(x)的定义域为p, q,则p+q =.7 .奇函数f(x)的定义域为2,2,若f(x)在0,2上单调递减，且f(1+m+f(m<0,则 实数m的取

5、值范围是.B级8 .已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(0, +8)上是增函数，则()A. f(3)< f( -2)<f(1)B, f (1)< f ( 2)<f(3)C. f( 2)<f(1)< f(3)D, f (3)< f (1)< f (-2)9 .已知函数f(x)对任意的xC R有f(x)+f( x)=0,且当x>0时，f (x) =ln( x+1),则函 数f(x)的大致图象为()10 .函数f (x) = x| x+a| + b是奇函数则()B. a+b=0D. a= bA. a - b= 0C. a2 + b2=

6、0111 .定义在2,2上的奇函数f(x),当xC (0,2时，f(x)= X+1,则不等式f(x)-f(- x) >2x的解集为.12 .函数f (x)在R上为奇函数，且 x>0时，f(x)=，x+1,则当x<0时，f(x)=.13 .函数f(x)的定义域为D=x|xw0,且满足对于任意x1,xzCD,有f(x1 x2) =f(x1) +f (x2) .(1)求f (1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4) =1, f(x1)<2,且f(x)在(0, +8)上是增函数，求 x的取值范围.1 + x214.设函数 f (x) = 2.1 -

7、x(1)判断它的奇偶性；,1，一(2) xw0,求 f() + f (x)的值； x1111计算 f(5)+f(4) + f(3)+f(2)+f(0) +f(2) +f(3)+f(4) +f(5)的值.答案精析专题4函数的奇偶性典型例题例1 解(1)函数f (*) = *+*3+*5的定义域为R当 xCR, xCR. f ( x) = x x3 x5 = (x+ x3+ x5) = f (x).1. f (x) = x+x3+x5为奇函数.3-X2>0,广、 厂(2)由 2 § 0得 x = - tf3,或 x= yj3.，函数f(x)的定义域为斓，y/3).又.对任意的x&#

8、163;-5,/, - x£_® /,且 f(x)=f(x)=f(x)=0,.f(x)既是奇函数又是偶函数.变式训练1 解(1)函数f(x) =x2+1的定义域为 R,当xCR时，一xCR. . f(-x) =(-x)2+1 = x2+1=f(x),1. f (x) = x2 + 1是偶函数.(2)函数f (x) =x+ 1的定义域是 R,当xC R时，一xC R,- f ( - x) = x+ 1 = (x1),- f(x) = - (x+1),f ( x) w f (x)且 f ( x) w f (x)( x C R- .f (x) = x+1既不是奇函数，也不是偶函数

9、.(3)因为函数的定义域关于原点不对称，存在 3c 1,3,而一3? 1,3 .f(x) = x2, xC1,3既不是偶函数，也不是奇函数.例2 解 函数定义域为(一巴 0) U (0 , +8).当 x<0 时，一x>0,则 f ( x) = ( x) 2 x=(x2+x) = f (x)；当 x>0 时，一x<0,则 f ( x) = ( x)2x = x2x=(-x2+x) = - f (x).，对任意 xC(8, 0)U(0, +8 )都有 f( x) = f(x).故f (x)为奇函数.变式训练2 解当x>0时，一x<0f(x)=(x)2+ 2(

10、-x) +3=x22x+ 3= f (x);当 x<0 时，-x>0f(-x) = - (-x)2+2(-x) -3=-x2- 2x- 3= - f (x).，f (x)是奇函数.例3解由f(x)是奇函数， 当 x>0 时,f (x) = - f ( -x)= -( 一X)1 (x) =x(1 +x);当 x = 0 时，f (0) = f (0),即 f (0) = 0.- 当 xA 0 时，f(x)=x(1+x).变式训练3解当xe (0, +8 )时，一 x£(8, 0),因为 xC ( 8, 0)时，f(x) =x-x4,所以 f( x) = ( x) (

11、x) 4= x x4,因为f(x)是定义在(一8, +oo )上的偶函数，所以f(x)=f(x), 所以当 xC(0, +8)时，f(x)= xx4.强化提高一31 . D . f (x) = 2x , 一33一f ( -x) = 2( -x) = 2x = f (x),故函数f(x)是奇函数，故函数图象关于原点对称，故选 D.2. D 因为f(x)为R上的奇函数，所以 f( -x) =-f (x) , f(0) =0.因为f(x+ 2)为偶函数，所以 f(x+2) =f(-x+2),所以 f(x+4) =f(-x)=-f(x),所以 f(x+8) =f(x),即函数f(x)的周期为8,故 f

12、(8) +f(9) =f (0) +f(1) =1.2 .一3. A f(x) = x+-的定义域为x|xw0,关于原点对称， x且"-x) = x(x+o x x=-f (x).所以f(x)为奇函数，故选 A.4. A . f (x)是奇函数，当 xW0 时，f(x) =2x2-x,-f(1) =- f(-1)=- 2X(-1)2-(-1) =-3.5. 4解析 : f (x) = (x+a)( x4)为偶函数，f (x) =f(x)对于任意的x都成立，即(x+ a)( x 4) = ( x + a)( x 4),x2+( a4) x-4a = x2+ (4 a)x- 4a,，(a

13、4)x=0,，a=4.6. 0解析 因为奇函数f(x)的定义域p, q关于原点对称，故有 p= - q,即 p+ q= 0.17(-2，1解析 二.函数f(x)定义域在2,2上为奇函数，则由 f(1 + m) +f(m)<0 ,可得 f(1 +m)<-f(m)=f(-m),又根据条件知函数f (x)在定义域上单调递减，-2< - m<1 + mK 2, 一,11解可得，2<m 1.8. B /f (x)在(0 , +8)上是增函数，且 1<2<3, f(1)<f(2)< f(3).又:“*)是定义在R上的偶函数，f (2) =f(-2),因

14、此，f (1)< f( -2)<f (3),故选 B.9. D 二.函数 f(x)对任意的 xC R有 f(x)+f ( x) =0,函数f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，排除 A、B, 将y=ln x的图象向左平移1个单位长度，即可得到f(x) = ln( x+1)的图象，由对数函数的图象性质排除C,故选D.10. C 若f(x)是奇函数，则 f(-x)=-f(x),即一x| x+ a| + b= x| x+ a| 一 b 恒成立,亦即 x(| xa| |x+a|) = 2b恒成立,要使上式恒成立，只需 |x a| |x+ a| =2b=0,即 a= b= 0,故选C.1

15、1. x| 2 < x< 2或 0w x w 233解析二.函数f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x),则 f(x)-f(-x) = 2f(x)>2x, 即 f (x) >x,11当 x (0,2 , f(x)= 一2x + 1 >x,解得0<xw|, 3当 x = 0 时，f(x)=0>x,解得 x= 0,1当 xC2,0) , f(x)= 2x1>x,解得一 2< x -3综上所述：-2w xw 刁或Owxw,. 3312 . - /"*x- 1解析:Mx)为奇函数，x>o时，”x)=qx+1, 当 x<0 时，

16、一x>0,f (x) = - f( -x) = - (V-x +1), 即 x<0 时，f(x) = (yjx +1) =-1.13 .解 (1)二.对于任意 x1, xzC D, 有 f (x1 x2) = f (x1) + f (x2), 令 x1=x2= 1,得 f(1) =2f(1), .f (1) = 0.(2)令 x1 = x2= 一 1,有 f(1) =f(-1) + f(-1),1 f(-1) =2"1) =0.令 x1=1, *2=*有£(x) = f(-1) +f(x),，f(x)=f(x),，f(x)为偶函数.(3)依题设有 f (4 X 4) = f(4) + f (4) =2, 由(2)知，f (x)是偶函数， f (x1)<2? f(| x- 1|)< f (16).又f(x)在(0 , +8)上是增函数. .0<| x 1|<16,解之得1