初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题1(精选50题附答案)

1、初中数学二次函数的应用题型分类一一动态几何图形问题1 (精选50题附答案)1 .我们规定，以二次函数 y=ax2+bx+c的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的一次函数 y=2ax+b叫做二次函数y=ax2+bx+c的子函数”，反过来，二次函数y=ax2+bx+c叫做一次函数y=2ax+b的 母函数(1)若一次函数y=2x-4是二次函数y=ax2+bx+c的 子函数”，且二次函数经过点(3,0), 求此二次函数的解析式及顶点坐标.(2)若 子函数"y=x-6的母函数”的最小值为1,求 母函数”的函数表达式.(3)已知二次函数y=-x2-4x+8的 子函数”图象直

2、线l与x轴、y轴交于C、D两点，动 点P为二次函数y=-x2-4x+8对称轴右侧上的动点，求 4PCD的面积的最大值.2 .如图，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AD向终点D移 动，设移动时间为t(s).连接PC ,以PC为一边作正方形 PCEF,连接DE、DF .设PCD的面积为y (cm2). y与t之间的函数关系如图 所示.(1) AB cm, AD cm;(2)点P从点A到点D的移动过程中，点 E的路径是 cm.当t为何值时，DEF的面积最小？并求出这个最小值；(4)当t为何值时， DEF为等腰三角形 叫直接写出结果。 3,已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+

3、c可以由y=a(x-m)2向上平移n个单位长度所得，且抛物线过点B(t,0)(t>0)和C(0,3)，实数a,m是一元二次方程8x2-6x-9=0的两个根 若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE，x轴于点E,交直线BC于点D,连接PC.(1)求抛物线的解析式和实数n的值；(2)当动点P在第一象限的抛物线上运动时，过点P作PF，BC于点F试问 PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值；如果没有，请说明理由； 当点P在抛物线上运动时，将4CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点 Q,试问四边形CDPQ能否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标;如果不能，请说明理由.4 r321pi

4、234567KX4 .如图，已知抛物线 y = x2 ax+a24a4与x轴相交于点 A和点B ,与y轴相交于点D (0, 8),直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点 C,动点P以每秒2个单位长 度的速度从C点出发，沿直线CD运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点 A 出发，沿直线 AB运动，连接PQ、CB、PB,设点P运动的时间为t秒.归'(1)求a的值；(2)当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值.(4)当t为何值时，4PBQ是等腰三角形？(直接写出答案)5 .如图，在 RtAABC 中，/B=90°, AB=6

5、cm , BC=8cm ,点 D 从点 A 出发以 1cm/s的速度运动到点 C停止.作DEXAC交边AB或BC于点E,以DE为边向右作正方形DEFG .设点D的运动时间为t (s).(2)请用含t的代数式表示线段 DE的长.(3)当点F在边BC上时，求t的值.(4)设正方形DEFG与4ABC重叠部分图形的面积为 S (cm2),当重叠部分图形为四 边形时，求S与t之间的函数关系式.6 .如图1,抛物线y=ax2+ (a+2) x+2 (a与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点 P (m, 0) (0vmv4),过点P作x轴的垂线交直线 AB于点N, 交抛物线于点M.(

6、1)求a的值；(2)若 PN： MN =1： 3,求 m 的值；(3)如图2,在(2)的条件下，设动点 P对应的位置是Pi,将线段OPi绕点O逆时3针旋转得到 OP2,旋转角为 & (0 v /V 90 ),连接AP2、BP2,求AP2+ BP2的最小值.21 27 .一次函数y=kx+2的图象与二次函数 y=-x的图象交于A、B两点(A在B的左侧)，8且点A坐标为(-8, 8).平行于x轴的直线l过点(0, -2).(1)求一次函数的解析式；(2)证明：线段 AB为直径的圆与直线l相切；(3)把二次函数的图象向右平移 4个单位，再向下平移 t个单位(t>0),二次函数的 图象与

7、x轴交于M、N两点，一次函数图象交 y轴于点F.当t为何值时，过F、M、N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？8 .已知直线y = kx+3 (k<0)分别交x轴、y轴于A、B两点，线段 OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点 P作x轴的垂线交直线 AB于点C,设运动时间为t秒.(图】)强力(1)当k= - 1时，线段OA上另有一动点 Q由点A向点O运动，它与点P以相同速 度同时出发，当点 P到达点A时两点同时停止运动(如图1).直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；若以Q、C、A为顶点的三角形与 AOB 相似，求t的值.3 c (2)当k 时，设以C为顶点的抛

8、物线 y= (x+m) 2+n与直线AB的另一交点为 4D (如图2),求CD的长；设 COD的OC边上的高为h,当t为何值时，h的值最大？9.如图1所示，一张三角形纸片 ABC, /ACB = 90°, AC=8, BC=6.沿斜边 AB的 中线CD把这张纸片剪成 4人6口1和BC2D2两个三角形(如图所示).将纸片AC1D1 沿直线D2B(AB)方向平移(点A, D1, D2, B始终在同一直线上)，当点D1于点B重合时， 停止平移.在平移过程中，C1D1与BC2交于点E, AC1与C2D2、BC2分别交于点 F、P.(1)当AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的 D1E

9、与D2F的数量关系，并证 明你的猜想；(2)设平移距离D2D1为x, AACiDi与BC2D2重叠部分面积为 y,请写出y与x的函数 关系式，以及自变量的取值范围；(3)对于(2)中的结论是否存在这样的 x的值使得y='&abc；若不存在，请说明理由.410 .如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a w0)顶点坐标为 Q(2, -1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A, B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点 C 沿抛物线向点 A运动(点P与A不重合)，过点P作PD / y轴，交AC于点D.(1)求该抛物线的函数关系式;(2)当4ADP是直角三角

10、形时，求点 P的坐标；在题(2)的结论下，若点 E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以 A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.11 .如图，等边三角形 ABC的边长为2J3,它的顶点A在抛物线y x2 2j3x上运动，且BC/x轴，点A在BC的上方.(1)当顶点A运动至原点重合时，顶点 C是否在该抛物线上？请说明理由.(2) AABC在运动过程中被x轴分成两个部分，若上下两部分的面积之比为1： 8 (即S上部分：S下部分=1 : 8),求顶点A的坐标.(3) AABC在运动过程中，当顶点B落在坐标轴上时，求顶点 C的坐标.12 .如图，在平面直角坐标系

11、 xOy中.抛物线y=mx2-2mx-3m (m<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧).(1)点A的坐标为,抛物线的对称轴为 .(2)经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D.且 AD=5AC .求直线l的函数表达式(其中 k、b用含m的式子表示)；设P是抛物线的对称轴上的一点.点Q在抛物线上.以点 A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 p的坐标，若不能，请说明理由.%备用国13.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B , C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式；

12、(2)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点 P的坐标；(3)是否存在点P使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由14.综合与研究如图，抛物线y X2 2x 3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C点D (m, 0)为线段OA上一个动点(与点 A, O不重合)，过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P,与抛物线交于点 Q,连接BP,与y轴交于点E.(1)求A, B, C三点的坐标；(2)当点D是OA的中点时，求线段 PQ的长；(3)在点D运动的过程

13、中，探究下列问题：是否存在一点D,使得PQ+ Y2pc取得最大值？若存在，求此时 m的值；若不存2在，请说明理由；连接CQ,当线段PE=CQ时，直接写出 m的值.15 .如图，在 RtABC中，/C=90°, AC = 6, BC= 8.点P从点A出发，沿 AB以每 秒1个单位的速度向终点 B运动；同时，点 Q从点A出发，沿AC - CB以每秒2个单 位的速度向终点 B运动，当P、Q两点其中一点到达点 B时，另一点也随之停止运动， 过点P作PM / AC,过点Q作QM / AB.当点M与点Q不重合时，以PM、QM为邻 边作PM、QN.设P、Q两点的运动时间为t (t>0)秒.(

14、1)求线段CQ的长.(用含t的代数式表示)(2)点Q在边AC上运动，当点 M落在边BC上时，求t的值.(3)设？ PMQN与 ABC重叠部分图形的面积为 S (S>0),当点M在4ABC内部时， 求S与t之间的函数关系式.(4)当？ PMQN的一边是它邻边 2倍时，直接写出t的取值范围.16 .已知抛物线昭"的顶点为I匕且过点SR(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线先向左平移 1个单位长度，再向下平移、0)个单位长度后得新抛物线.若新抛物线与工轴交于AE两点(点A在点B的左侧)，且OB = OA，求n】的值；若是新抛物线上的两点，当口 Wn11 ,由14时，均有¥三

15、¥， 求的取值范围.3 29 c17 .如图，抛物线 y -x 二x 3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y 44轴于点C.(1)如图，点P为直线BC上方抛物线上的一点，过点 P作PQ / AC交BC于点Q,连接PA, PB,当凹四边形PAQB的面积最大时，点 S为y轴上一动点，点 T为x轴上一动点，连接 PS, ST, TB,求PS+ST+1TB的最小值；2(2)如图，将4AOC绕点A逆时针旋转45。，得到AO'C',延长C'A交y轴于点R,3 2 9_点S是抛物线y -x -x 3对称轴上一个动点，连接 CS、RS,把4CRS沿直线 44CS翻折得到

16、CR'S,则BRR'能否为等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点S的坐标；若不能，请说明理由.18 .如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A, B的坐标分别为(3, 0), (3, 4).动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，沿 OA向终点A移动，点N从 点B出发沿BC向终点C以同样速度移动.过点N作NPLBC交AC于点P,连接MP .(1)当动点运动了 xs时，求P点的坐标(用含x的代数式表示)；(2)求4MPA面积的最大值，并求此时的 x值；如图，在平面直角坐标系 甯为中，已知二次函数¥二山处的图像与V轴交于点 口03),与X轴交于A、B两点

17、，点B的坐标为h19 .求二次函数的解析式及顶点D的坐标；20 .点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点 M的坐标；21 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标.22 .如图1,在 ABC中，A 30o,点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线 A C B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P, Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s), APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图像由C1，C2两段组成，如图2所示.

18、(1)求a的值；(2)求图2中图像C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时 APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时 APQ的面积，求x的取值范围y(cn?)23.如图.抛物线y=ax2+bx+3 (awQ与x轴、y轴分别交于 A( - 1, 0)、B (3, 0)、C三点.(1)求a和b的值；(2)点D (2, m)在第一象限的抛物线上，连接 BC、BD、CD,在对称轴左侧的抛物 线上存在一点 P,满足/ PBC= / DBC ,请求出点P的坐标；(3)如图，在(2)的条件下将BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为 B'O'

19、;C'在平移过程中， B'O'C'与4BCD重叠部分的面 积记为S,设平移的时问为t秒，请直接写出S与t之间的函数关系式(并注明自变量 的取值范围).24 .如图在平面直角坐标系中抛物线经过A (2, 0), B (0, 4)两点，将4OAB绕点O逆时针旋转90。得至IJ OCD ,点D在抛物线上.(2)已知点M在y轴上(点M不与点B重合)，连接AM ,若AOM与4AOB相似, 试求点M的坐标.25 .如图，抛物线y ax2 bx 3的图象与x轴交于A( 4,0) , B(3,0)两点，动点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿 AC方向运动，以 AD为边作矩

20、形ADEF(点E在x轴上)，设运动的时间为t秒.Q 4y(1)求抛物线y ax2 bx 3的表达式；3(2)过点D作DN x轴于点N ,交抛物线于点 M ,当t 3时，求点M的坐标;(3)如图，动点P同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿 BA方向运动，以BP 为边作等腰直角三角形BPQ( BPQ 90 ) , EF与PQ交于点G .给出如下定义：在四边形ABCD中，AB AD , CB CD且AB w BC ,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做 筝形”当矩形ADEF和等腰三角形BPQ重叠的四边形是 筝形”时，求 筝形”的面积.26 .如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx

21、+c过A, B, C三点，点A的坐标是(3, 0),点C的坐标是(0, - 3),动点P在抛物线上.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线 AC于点D,交x轴于点E,垂足为 巳-求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点 P的坐标；(3)是否存在点P,使得4ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.27.如图，已知抛物线经过点 A ( - 1, 0), B (4, 0), C (0, 2)三点，点 D与点C 关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点 P的坐标为(m, 0),过点P做x轴的 垂线

22、l交抛物线于点 Q,交直线BD于点M .(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)已知点F (0, 1),当点P在x轴上运动时，试求 m为何值时，四边形 DMQF2是平行四边形？(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.28 . 如图1,在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，抛物线 y= ax2+bx+5与x轴 交于A,点B,与y轴交于点C,过点C作CDy轴交抛物线于点 D,过点B作BE±x 轴，交DC延长线于点E,连接BD,交y轴于点F,直线BD的解析式为y= - x+2.(1

23、)写出点E的坐标；抛物线的解析式.(2)如图2,点P在线段EB上从点E向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时，点Q在线段BD上从点B向点D以J2个单位长度/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，当t为何值时，4PQB为直角三角形？(3)如图3,过点B的直线BG交抛物线于点 G,且tan/ABG=1,点M为直线BG2上方抛物线上一点，过点M作MH ±BG,垂足为H,若HF = MF,请直接写出满足条件的点M的坐标.29 .如图抛物线y=ax2+bx,过点A (4, 0)和点B (6, 26)，四边形OCBA是平行四边形，点 M (t, 0)为x轴正半轴上的点，点 N

24、为射线AB上的点，且 AN=OM，点 D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；(2)当4AMN的周长最小时，求t的值；(3)如图，过点M作ME ±x轴，交抛物线y=ax2+bx于点E,连接EM , AE ,当4AME 与 DOC相似时.请直接写出所有符合条件的点M坐标.30 .如图，在VOAB中，AO AB, OAB 90，点B坐标为(10,0).过原点。的 抛物线，又过点 A和G,点G坐标为(7,0).(1)求抛物线的解析式；(2)边OB上一动点T(t,0) , (T不与点O、B重合)过点T作OA AB的垂线，垂足分别为C、D .设4TCD的面积为S,求S的

25、表达式(用t表示)，并求S的最大值；(3)已知M (2,0),过点M作MK OA ,垂足为K,作MN OB ,交点OA于N.在 线段OA上是否存在一点 Q,使得RtAKMN绕点Q旋转180后，点M、K恰好落在(1)所求抛物线上？若存在请求出点Q和抛物线上与 M、K对应的点的坐标，若不存在请说明理由.x a x 4 a 0与x轴交31 .如图1,在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点3 25 (1)若D点坐标为 一，一，求抛物线的解析式和点 C的坐标;2 4(2)若点M为抛物线对称轴上一点，且点 M的纵坐标为a ,点N为抛物线在x

26、轴上 方一点，若以C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求 a的值；(3)直线y 2x b与(1)中的抛物线交于点 D、E (如图2),将(1)中的抛物线 沿着该直线方向进行平移， 平移后抛物线的顶点为 d。与直线的另一个交点为 E ,与x 轴的交点为B ,在平移的过程中，求 D E的长度；当 ED B 90时，求点B的坐逆时针旋转90°得到 OCD，点D在抛物线上B 0,4两点.将 OAB绕点O(1)求该抛物线的表达式；(2)已知点M在y轴上(点M不与点B重合)，连接AM,若AOM与AOB相似, 试求点M的坐标。33.已知：RtA EFP和矩形ABCD如图摆放(点C与点E重合

27、)，点B, C (E), F在同一直线上， AB=3cm, BC=9cm, EF=8cm, PE=PF=5cm,如图， EFP 从图的位置出发，沿 CB方向匀速运动，速度为 2cm/s,当点F与点C重合时 EFP停止运动 停止.设运动时间为 t (s) (0vtv4),解答下列问题：(1)当0vt<2时，EP与CD交于点M,请用含t的代数式表示 CE=,CM=;(2)当2vt<4时，如图，PF与CD交于点N,设四边形EPNC的面积为y (cm2), 求y与t之间的函数关系式；(3)当2V tv 4时，且S四边形EPNC： S矩形ABCD = 1 ： 4时，请求出t的值；(4)连接B

28、D,在运动过程中，当 BD与EP相交时，设交点为 O,当t=时；O 在/ BAD的平分线上.(不需要写解答过程)34.如图，在矩形 ABCD中，已知AB=6, BC=8,动点P从点D出发，沿DA的方 向运动到点A,每秒1个单位，同时点 Q从点B出发，沿BD的方向运动到点 D,每秒5个单位.当某一个点到达终点时，整个运动就停止.设运动时间为t(秒).(1)填空：当 t=时，PQ/ AB ;(2)设4PCQ的面积为S,求S关于t的函数表达式;当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，求 t的值.35.如图，在矩形 ABCD中，AB = 10cm,BC = 5cm,点 P,点 Q 分别以 2c

29、m/s 和 1cm/s的速度从A, B沿AB, BC方向运动.设t秒(tw时，4PBQ的面积为y.(1)试写出y与t的函数关系式.(2)当 t 为何值时,SaPBQ=6cm2?(3)在P、Q运动过程中，四边形 APQC的面积是否有最小值？如果有，直接写出S四边形APQC =pi36 .抛物线y=ax2- 2ax- 3a图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴 交于C点，顶点M的纵坐标为4,直线MDx轴于点D.图1图2(1)求抛物线的解析式；(2)如图1, N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰ANAG,且G点落在直线CM上.若在直线CM上满足条件的G点有

30、且只有一个时， 请直接写出点N的坐标.(3)如图，点P为第一象限内抛物线上的一点，点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点 P的横坐标大1,连接PC、AQ.当PC="5AQ时，求S/CQ的值.937 .在平面直角坐标系中，点 A (4, 0), B为第一象限内一点，且 OBAB, OB = 2. (1)如图，求点B的坐标；(2)如图，将4OAB沿x轴向右平移得到 OAB',设OO'= m,其中0vmv4,连 接BO', AB与OB交于点C.试用含m的式子表示ABCO的面积S,并求出S的最大值；当ABCO为等腰三角形时，求点 C的坐标(直接写出结果即可).

31、38 .如图，抛物线 y=ax2+bx+2与x轴相交于A (-1, 0), B (4, 0)两点，与y轴相 交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)将 ABC绕AB中点M旋转180°,得到 BAD.求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由；(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使4BMP与ABAD相似？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.39 .如图，有一形状为直角三角形的空地 ABC, C 90°, AC 30m, BC 40m,现要作一条垂直于斜边 AB的小道EF（点E在斜边上，点F在直角边上）.设AE x,VAEF的面积为V.1求y

32、与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；40.已知抛物线y2当x为何值时y有最大值？并求出最大值.1，-x 1 x m ,其中m 0,直线l是它的对称轴，把该抛物线5沿着x轴水平向左平移 5个单位长度后，与 x轴交于点A、B, （A在B的左侧），如 2图1, P为平移后的抛物线上位于第一象限内的一点1点A的坐标为；一32若点P的横坐标为一，求出当m为何值时VABP的面积最大，并求出这个最大值;23如图2, AP交l于点D,当D为AP的中点时，求证： PAB 450 .41 .已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+2与x轴的交点是 A （3, 0）、B （6, 0）,与y轴的 交点是C.(1

33、)求抛物线的函数表达式;(2)设P (x, v) (0vxv6)是抛物线上的动点，过点P作PQ/ y轴交直线BC于点Q.当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？是否存在这样的点 P,使OAQ为直角三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存 在，请说明理由.42 .如图，在矩形 ABCD中，AB = 4, AD = 3,点N为BC边上的一点，且 BN=n (n >0),动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿 AB边向点B运动，连接NP, 作射线PMLNP交AD于点M,设点P运动的时间是t秒(t>0).(1)当点M与点A重合时，t等于多少秒，当点 M与点D重合时，n等

34、于多少(用含 字母t的代数式表示)(2)若 n= 2,则在点P运动过程中，点 M是否可以到达线段 AD的延长线上？通过计算说明理由； 连接ND,当t为何值时，ND/ PM?(3)过点N作NK / AB,交AD于点K,若在点P运动过程中，点K与点M不会重合,鲁用典43 .如图，在 4ABC 中，/ABC=45° , / ACB=60° , BC=2 百+2, D 是 BC 边上异于点B, C的一动点，将三角形 ABD沿AB翻折得到4ABD1 ,将4ACD沿AC翻折得到AACDz,连接D1D2,则四边形Di BCD 2的面积的最大值是 44 .如图，在平面直角坐标系中，直线 y

35、=-2x+10与x轴，y轴相交于A, B两点，点C的坐标是(8, 4),连接AC, BC.(1)求过O, A, C三点的抛物线的解析式，并判断 4ABC的形状；(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点 B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点 C运动.规定其中一个动点到达 端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA ?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M,使以A, B, M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.45 .如图，抛物线 y= 1x2+bx+c与x轴交于点 A和点B,

36、与y轴交于点C,点B的坐3标为(3, 0),点C的坐标为(0, -5).有一宽度为1,长度足够长的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q,交直线AC于点M和点N,交x轴于点E和点F.(1)求抛物线的解析式及点 A的坐标；(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF ,如果sin/AMF =30 ,求点Q的坐10标；(3)在矩形的平移过程中， 是否存在以点P, Q, M, N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.046 .如图，直线y= x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y= - x2+bx+c 经过A、B两点，与x

37、轴的另一个交点为 C.(1)求抛物线的解析式；(2)直线AB上方抛物线上的点 D,使得/ DBA = 2Z BAC,求D点的坐标;(3) M是平面内一点，将BOC绕点M逆时针旋转90。后，得到B1O1C1,若BiOiCi的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点Bi的坐标./ EDF= 120 °,47 .如图，4ABC是边长为4的等边三角形，点 D是线段BC的中点,把/ EDF绕点D旋转，使/ EDF的两边分别与线段 AB、AC交于点E、F .(1)当 DFLAC 时，求证：BE=CF;(2)在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是， 求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)在旋转过程中，

38、连接 EF,设BE = x, ADEF的面积为S,求S与x之间的函数解 析式，并求S的最小值.B D C48 .我们知道：x2- 6x=(x2-6x+9) -9=(x-3)2-9； -x2+i0x=- (x2- 10x+25)+25 = -(x - 5)2+25 ,这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题:(1)按上面材料提示的方法填空：a2 - 4a=- - a2+12a=(2)探究：当a取不同的实数时在得到的代数式 a2-4a的值中是否存在最小值？请说明 理由.应用：如图.已知线段 AB =6, M是AB上的一个动点，设 AM =x,以AM为一边 作正方形 AMND ,再以MB、MN为

39、一组邻边作长方形 MBCN .问：当点 M在AB上 运动时，长方形 MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请 说明理由.,亍"E49.如图，在4ABC中，ZB=90°, AB=12 , BC=24 ,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点 Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点 C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么 4PBQ的面积S随出发时间t (s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围.50 .如图，在 AOB 中，Z 0= 90°, AO = 18cm, BO = 30cm,动点 M

40、从点 A 开始沿 边A0以1cm/s的速度向终点 0移动，动点N从点0开始沿边0B以2cm/s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动.如果M、N两点分别从A、0两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2.(1)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围;(2)判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值.P, Q同时从A, B两点出发,51 .如图，4ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点分别沿AB, BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s,当点P运动到B时，P, Q两点停止运动，设 P点运动时间为t(s).(1)当t为何值时，4PBQ是直角

41、三角形？(2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小面积.52 .如图，在4ABG中，AB=AC=1 , /A=45。，边长为1的正方形的一个顶点 D在边AG上，与4ADC另两边分别交于点 E、F, DE / AB ,将正方形平移，使点 D保持在AC上(D不与A重含)，设AF=x ,正方形与4ABC重叠部分的面积为 y.(1)求y与x的函数关系式并写出自变量 x的取值范围;(2) x为何值时y的值最大?参考答案21. (1) y x2 4x 3,抛物线的顶点坐标为2, 1 ； (2)母函数”的函数表达式为1 2y x 6

42、x 19；当m 1时，Svpcd最大，最大值为13.2【解析】【分析】(1)根据二次函数y=ax2+bx+c的 子函数”的定义，可知a=1, b=-4,再把点(3, 0)代入解 析式即可解决问题.(2)子函数"y1 2x 6的母函数”为y -x 26x c.利用最小值为1即可求出C的值.(3)得直线l的表达式为y 2x 4 ,可求C,D坐标,再根据SVPCD SVPCO SVCOD SVPOD可解决问题.【详解】解：(1)由题意得a 1, b 4,抛物线的解析式为y x2 4x c,把点3,0代入可得c 3,抛物线的解析式为 y x2 4x 3.22y x2 4x 3 x 21,，抛

43、物线的顶点坐标为2, 1 .12c(2)手函数y x 6的母函数为y x 6x c.21 212y - x 12x c - x 618 c,2 218 c 1,c 19 ,1 2母函数的函数表达式为 y -x2 6x 19.22如图，连接OP,设P点的坐标为 m, m 4m 8 .由题意得直线l的表达式为y 2x 4 ,-S*A PCDSA PCOSA CODSA POD2m 4m 8 4 2m22m 2m 12 m 113 ,，当m 1时，SVPCD最大，最大值为13.本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，理解题意，学

44、会利用参数解决问题， 学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考压轴题.2. (1) 4,10； (2)10； (3)当 t=4 时，最小值为 6； (4) t=1 , 3, 4 .【解析】【分析】(1)根据图三角形PCD的面积，可得矩形的长和宽；(2)由题意得：AP=t, PD=5-t,根据三角形面积公式可得y与t的关系式，由图 得:Sadef+Sapdc= S正方形efpc,代入可得结论;2(3)当4DEF为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算PD和AP的长，可得t的值.【详解】(1)由图知：AD=5 ,当 t=0 时，P 与 A 重合，y= 1 XAD)

45、x CD=5 ,21一 X5>CD=5 ,2CD=2cm ,四边形ABCD是矩形， .AB=CD=2cm ,故答案为：2, 5；(2)由题意得：AP=t, PD=5-t,y= 1CD?PD=1?2?(5-t)=5-t,22四边形EFPC是正方形，Sadef+Sapdc= S正方形 EFPC,2 PC2=PD2+CD2,PC2=22+ (5-t) 2=t2-10t+29,SADEF= (t2-10t+29 ) - (5-t) = t2-4t+ = (t-4) 2+,22222当t为4时，ADEF的面积最小，且最小值为3 ;2(3)当4DEF为等腰三角形时，分三种情况：当FD=FE时，如下图

46、所示，过 F作FGXAD于G,匚四边形EFPC是正方形,PF=EF=PC , / FPC=90 ,PF=FD , FGXPD,PG=DG= IpD2 . / FPG+/CPD=/CPD+/DCP=90 , ./ FPG=ZDCP, . / FGP=/PDC=90 , . FPGA PDC (AAS),PG=DC=2 ,PD=4 ,AP=5-4=1 ,即 t=1 ；当DE=DF时，如下图所示，E在AD的延长线上，此时正方形 EFPC是正方形，PD=CD=2AP=t=5-2=3当DE=EF时，如下图所示，过 E作EGXCD于G, FE=DE=EC ,CG=DG= 1CD=12，同理得： PDCCG

47、E (AAS),PD=CG=1 , . AP=t=5-1=4 ,综上，当t=1s或3s或4s时，ADEF为等腰三角形.【点睛】本题是四边形的综合题， 考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函 数的解析式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能3. (1) y=- 3x2+ 9x+3, 4436长为 ；(3)存在这样的5(-,-25).33【解析】力，综合性强，难度适中.n= 75 ；(2)当P点横坐标为2时, PDF的周长取得最大值，最大周16Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为(工，竺)或3 6【分析】(1)根据a,m是一元二次方程

48、 8x2-6x-9= 0的两个根求出 a,m,从而可求y=a(x-m)2.由C(0,3)可求出C的值，再根据平移或求 y=ax2+bx+c.(2)利用PFDsboc,周长比等于相似比，再由二次函数的最值解决问题(3)所设设P(n,-3n2+ 9 n+ 3),用n表示出点D的坐标，再用n的代数式表示PD、CD的 44长度，利用PD=CD解出n值即可.【详解】(1)，,抛物线 y=ax2+bx+c 开口向下, a<0.;实数a,m是一元二次方程 8x2-6x-9=0的两个根,解方程得：a= ,m=.42:抛物线y=ax2+bx+c可以由y=a (x-m)2向上平移n个单位长度所得 .x=m是

49、抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴，:m=- - , b=- 2am= .2a4二.抛物线过点C(0,3), ：c=3,:抛物线的解析式为 y=- 3x2+-x+3.44:抛物线y=ax2+bx+c可以由y=a (x-m)2向上平移n个单位长度所得, y= (x- -) 2+n=- - x2+ x+ 3,424475.n二 一.16(2)设抛物线与x轴的另一交点为 A,如图,令 y=-3x2+9x+3=0, 44解得:xi=-1,x2=4, A(-1,0)、B(4,0).设 P(m,-3m，9 m+3)QPFD 的周长为 L,44;直线BC经过B(4,0)、C(0,3)两点，设直线BC的解析

50、式为：y=kx+d ,4k dd 3,0,解得:343.;直线BC的解析式为:y=-x+3.4则 D(m,-2 m+3),PD=|y P-yD|=- - m2+3m,44.PEx 轴，：PE / OC,/ PFD= / BOC= 90°, : PFDA BOC,PD PF DFOC OB BCPD, B(4,0),C(0,3),BCOC= 3,OB=4,在 RtABOC 中，由勾股定理知 BC= JOB2 OC2=5,故 OC+OB+BC= 12,32 Q.L - m 3mK、，.，L=-9m2+36m=-9(m-2)2+26 555536当m=2时,L最大=一.5即当P点横坐标为2

51、时, PDF的周长取得最大值，最大周长为 更5(3)存在这样的Q点使得四边形CDPQ是菱形.由轴对称的性质知：CD=CQ ,PQ=PD，/ PCQ= / PCD ,：CD=PD时,四边形CDPQ是菱形，过D作DG，y轴于点G,如图,设 P(n, n2+ n+3),44则 D(n,-3n+ 3),4G(0,-3n+3),4在RtACGD中,由勾股定理知：CD2=CG2+GD2,：CD=4n 33?n = -n，而 PD= -4n3n ,. PD=CD ,- - n2+ 3n= n或- n2+ 3n= - n解方程 得:n尸7或 出=0(不符合题意，舍去), 317 ,、解万程 得:出=万或n4=

52、0（不符合题意，舍去），当 n=7 时,P（7,空），当 n=!7 时,Pl",-：25）,33 6333综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（工，竺）或3 6（17,-25）.33【点睛】 本题是二次函数和几何图形的综合题， 综合考查了相似的判定的性质、 二次函数的最大最小 值及平移、菱形的判定与性质； 通过作辅助线把坐标转化为线段长度， 用代数式表示线段之 间的关系.64. （1） 8（2） （3） - （4）-一 5【解析】解：（1 ） 抛物线 y = x ，-ax + a *4-4 经过点（0, 8）解得：a =6, a=2 （不合题意，舍去）

53、 a的值为6（2）由（1 ）可得抛物线的解析式为y = x 6x+8当丫 = 0 时，x *6x + 8= 0解得：x i=2, x：=4.A点坐标为（2, 0）, B点坐标为（4, 0）当y = 8时，x = 0 或 x = 6.D点的坐标为（0, 8）, C点坐标为（6, 8）DP=6-2t, OQ=2+ t当四边形 OQPD为矩形时，DP=OQ44 102+t=6-2t, t=T , OQ=2+t =-43310 80S= 8 x=-即矩形OQPD的面积为SO(3)四边形 PQBC的面积为：(3。+产。工芯，当此四边形的面积为 14时,-(2t+2t) X8=1423解得t=二(秒)当t=W时，四边形 PQBC的面积为14(4)过点P作PELAB于E,连接PB,当QE=BE时，4PBQ是等腰三角形，,.CP=2t,DP=6-2t, . BE=OB-PD=4- (6-2t) =2t-2 ,OQ=2+t , . QE=PD-OQ=6-2t- (2+t) =4-3t,4-3t