稳态导热习题

1、稳态与习题1周体内的一维导热问题例1具有均匀内热源强度 qv的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为 2B ,导热系数 入为常数，两侧壁温各自均布，分别为tw1和tw2,试求该平壁内的温度分布表达式。解：根据题意，x坐标的原点取平壁的中心线，描述该平壁内稳态导热现象的微分方程 式为：d2tqvdx2边界条件：x= - B : t=t wix= B ： t=t w2(i)移项后积分该微分方程式两次可得其通解H 曳 x C1 dxt-qx2C1x C22代入边界条件twi2M)2Ci()C2tw2F 2 CiC22式(4) +式(5)(3)(4)Ctwitw2qv2C2 F式(4)式(5)Ci，w2 t

2、wi2(6)C和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式(2 2 x2)城twi-xtw2twi(8)ii例2具有均匀内热源 qv的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2导热系数 入为常数，两侧壁温各自均布且相同，均为tw,试求该平壁内的温度分布表达式。解：根据题意，导热微分方程式同上题。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，x坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为：(i)d2t dx2边界条件：x=0:dtdx44(2)x=B: t=tw该微分方程式的通解为a 2t xC1x C2(3)2代入边界条件0%0 C1(4)twa由式(4

3、)2 CiC2(5)(6)C10常数G代入式（5）C2 tw r 2常数。和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式t ( 2 x2) tw(8)(1)例3 锥台如附图所示，顶面和底面温度各为均匀的twi和tw2,侧面覆有保温材料。锥台的导热系数入为常数.该锥台横截面的直径随坐标x的变化规律为 d=cx（c为常数）。设锥台内的导热为 沿x方向的一维稳态导热。试求：a.通过锥台的热流量b.任意x处的热流密度解：锥台顶面和底面的温度已知，锥台内无内热源，侧面绝热，因此锥台内沿x方向的热流量 中为常数，导热系数 入为 常数,可用傅里叶定律直接积分求得。根据傅里叶定律A史dx式（1）两侧

4、分离变量并积分tw2x2dt dxtwixiAx由于热流量 中和导热系数 人均为常数,w2dttwix2dxx (cx)2(3)tw2 tw1二(c-)1x2 x(4)c2 tw2twl因此(6)X2Xi14任意x处的热流密度例4 一无限大平壁处于稳态导热，其厚度为B ,导热系数 入可用线性函数关系式入=入o(1+ct)近似，其中入。和C均为常数，两侧壁温各自均布，分别为 twi和tw2,试求通过 该平壁的热流密度 q。解:无限大平壁两侧的温度已知，平壁内无内热源，因此沿与平壁垂直的x方向的热流量中或热流密度q为常数，可用傅里叶定律直接积分求得。根据傅里叶定律式(1)两侧分离变量并积分tw2t

5、w2ttdtt o(1 ct)dttw1tw1o qdxdt t dx(2)(1), c 2、,t co(t 2t)|tW2 q(3)(4)因此q (tw1 2。)(tw2 2 tw；2)例5 导热系数为 入1= W/(m K),厚2 cm的无限大平壁，外覆盖一层导热系数入2=W/(m- K)的保温材料以减少热损失。当组合壁的内、外表面温度分别为 1300 C与30 C时， 2欲使稳态导热时热损失不超过1830 W/m,保温材料的厚度应为多少解：根据题意，各层壁内无内热源,因此沿壁厚方向的热流密度为常数。t1 22 21830(1300 30)0.0221.3 0.35因此,0.35(1300

6、 30 0.021830T30.2375入为常数，内热源例6已知一半径为r。的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数 强度qv为常数。圆柱体表面温度均布为 tw,试求圆柱体内的温度分布。解：由于这是一种对于圆柱体中心线的对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，r坐标的原点取圆柱体的中心线。当导热系数入为常数时，描述该圆柱体内稳态温度场的微分方程式为边界条件：r=0：dtdr1-d(rdt)生 0 r dr dr(1)r=r 0：t=tw(2)移项式（1）与式（3）两侧积分一次(3)dt rdrC1(4)式（4）两侧除以r后再积分一次，可得该微分方程式的通解t 殳 r2 C/nr C24(5)代

7、入边界条件当r 一0时，In r8,而圆柱体内的实际温度是有限的，因此取C=0时，该方程的解才符合实际情况。tw号02 C2（6）4qqv 2C2- r0 tw4常数。和G代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式,qv / 22(8)t 0r )tw4例7已知一直径为0的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数入为常数，内热源强度qv为常数。圆柱体表面浸在流体中。流体的温度为tf ,液体和圆柱体间的对流换热系数为ho试求圆柱体内温度分布的表达式。解:根据题意，几何条件，物理条件都同上题，可以从上题的公式（5）开始。t-qr2 C1 In r C2（5）4和上题，取C=0并代入圆柱体表

8、面的边界条件。t"" C2上题中式(2)可写成称土0h(t|r° tf)(7)因此C2 -qro 曳102 tf(8)3 h 4常数G和G代入微分方程式的通解式(5)得到圆柱体内的温度表达式t rr2 2 r° ) r。2 tf (9)42 h 4讨论：例题和的几何条件和物理条件相同,但因边界条件不同，因此解的形式完全不同。例8直径为3mm勺金属丝的单位长度电阻为Q/m,导热系数 入=19 W/(m- K),浸在温度为30 C的液体中，液体和金属丝间的对流换热系数h= kW/ (mb K)。当100 A的电流通过该金属丝时，试求金属丝的中心温度。解：根据

9、能量守恒，电流通过金属丝产生的热量应等于金属丝表面和液体之间的对流换 热量，因此可列出能量守恒方程(1)(2)12R=hA(tw- t f)式(1)中代入具体数值2100 X=5500X nXX1X(tw-30)因此可算得金属丝表面温度为tw=49.3 C(3)2 _2 _12R1002 0 1。(4)内热源强度qv LR -0一0 141.5 MW/mhl0.00152 1由解析习题中式(8)计算出金属丝中心(r=0)温度为t至 r02tw4141.5 106o4 190.00152 49.3 53.5 C (5)例9蒸汽管道的外直径为 6 cm,管外覆盖两层保温材料：第一层的厚度为1 cm

10、,导热系数入1= W/(m- K);第二层的厚度为2 cm,导热系数 入2= W/(m - K)。蒸汽管道的外表面温度t w1=300 C,保温层外表面温度为 t w3=40 o试求稳态导热时两层保温材料交界面的温度 t w2o解：多层壁的问题，采用热阻计算。根据题意，各层壁内无内热源，因此沿半径方向的 热流量为常数。ln(r1/r2)2 1Itw2 tw3ln(r22r3)22I(1)式(1)中消去2nI ,并代入具体数值,300 tw2tw2 40ln（3/ 4）ln（4/6）0.140.042因此可求得两层保温材料交界面的温度(3)tw2 =240.3 C例10已知一内外径分别为 ri和

11、2的圆球壁，它的密度 p和比热容c均为常数，无内热源。两侧壁温各自均布，分别为 twi和tw2o试求圆球壁稳态导热时壁内温度分布的 表达式。解：根据题意，这是一种对于圆心的对称情况，r坐标的原点取圆心。当导热系数 入为常数时，描述该圆球壁内稳态温度场的微分方程式为d / 2 dt、八（r ） 0（i）dr dr边界条件：r=r i： t=t wir=r 2：t=t w2（2）式（i）两侧积分一次2 dtcr Ci（dr式（3）两侧再积分一次，可得该微分方程式的通解tC2（4）r代入边界条件twiq C2ritw2 C2（6）r2式（5）式（6）Citwi tw2i ir2rii t t c式（

12、7）代入式（5）C2 1twitw2twi（8）ri 1 ir2ri常数G和G代入微分方程式的通解式（4）得到壁内的温度表达式tw1tw2 11172ritwi tw2 11 11(9)例11玻璃液柱式温度计插入一焊在气体管道的钢制细长套管内测定管道内的气体温 度。为了增强温度计和套管间的传热，减少测温误差，套管内灌入机油。温度计的指示温度为200 C,气体管道壁温为 80 Co钢制套管长 8 cm,直径为1.5 cm,壁厚为1 mm导热系 数约为40W/(m2 K)。气体与套管外表面间的对流换热系数为100 W/(m2 - K)。试求气体的实际温度。解：若忽略温度计和套管底面间的热阻，温度计

13、的指示温度可视为为套管底面的温度。套管可视为空心等截面直肋。求解时按绝热肋端边界条件忽略温度计玻璃柱和机油的导热, 加上长度修正，可简化计算过程。U d1mlc=x +4)=查得d；)3.14hUA因此mlch(mlc)4(152_ 315 10132) 1064.71 10100 4.71 10 240 4.4ch(mlc尸 ch=titf4.4 10(2)105(4)tfch(mlc)tich(mlc) t0ch(mlc) 1_ -151.73 m200 38.0538.05 1(6)80203.2 C(8)讨论：由肋片的传热分析可知，套管底面的温度和流体之间会有温差，即由于套管的导热而引

14、起的温度测量误差，增加套管的长度和适当改变m中的几个参数可以降低这一误差。例12某空气压缩机的气缸套有环状的铸铝肋片以加强散热。该肋片厚 别为° =50 mnf口 ri =90 mm肋片根部的温度为 70 C ,铸铝的导热系数 周围空气温度为20 C。由于风扇的冷却，空气和肋片间的对流换热系数 试求每片肋片的散热量。6 mm内外径分入=150 W/(m- K),.2 一h=60 W/ ( m K)。解：根据该肋片的几何形状, 按照相应的图上的公式计算如下：需要通过查图计算出肋片效率Y f后才能计算出散热量。l c=l+ B /2=0.023 m ric= r + B /2= r c+

15、l cr ic / r o =-4Am =l c 6 = x 10=0.048(2)(4)L3/2( -)1/20.0483/2(Am60150 1.38 101/24)0.1879(5)查图可得肋片效率Y f =(6)由于每片肋片有上下两个表面._, 22.,、o h 2 (%r0)(totf)(8)=60X2 n X () X ( 7020) = W 因此中= Tf。=X= W例13两根很长的直径为 5 mm的铝条焊在一起。焊接时周围空气温度为10 C,铝条与空气之间的对流换热系数h=15 W/(m2 - K)o若焊点处的温度为250 C,确定焊点处的加热量。解：铝条的导热系数取入=W/(m- K)每根铝条可视为一无限长的圆柱肋。等截面直肋的的稳态