地形图数字化坐标变换数学模型分析

1、测绘通报241998年第11期地形图数字化坐标变换数学模型分析赵广信常跃广(抚顺市勘察测绘院113008摘要】本文对地形图数字化中坐标变换常用的两种数学模型相似变换和仿射变换进行【了比较分析, 认为仿射变换优于相似变换。一、引言在传统的白纸测图中, 常遇到两种坐标系统间的变换问题, 这种变换是利用两种坐标系中重合点的坐标经相似变换实现的。坐标变换的精度将直接影响测图精度。在地形图数字化过程中, 也要进行类似的坐标变换, 即将数字化仪坐标变换为地形图坐标, 这种变换与白纸测图的坐标变换一样, 变换的精度将直接关系到一幅图数字化成果的精度。与白纸测图中新旧坐标变换所不同的是, 地形图数字化坐标变换

2、的目的除实现数字化仪坐标系与地形图坐标系之间的变换外, 还要通过这种变换消除地形图中规律性的形变误差。故此, 在这种坐标变换中, 不但要求定向点的选择要合适、数据采集精度要高, 而且还要求坐标变换的数学模型须与被数字化地形图的客观物理模型相适应, 否则将使这种转变产生系统误差, 进而影响数字化成果的质量。在国内流行的一些商业化GIS 软件及电子平板软件中, 均附有地图数字化模块, 但这些软件所采用的坐标转换数学模型却不尽相同, 有的采用相似变换模型, 有的采用仿射变换模型。这是坐标变换中常用的两种数学模型, 但它们所适应的客观物理模型是有区别的。那么, 哪一种数学模型更好一些呢? 本文对这一问

3、题进行了分析。(i =0, 1, 2 为变换参数。仿射变换是基于仿射坐标系而建立的一种坐标变2换数学模型。所谓“仿射坐标系”, 与平面直角坐标系一样, 有原点和过原点的两条有向直线, 但与之不同的是, 仿射坐标系的两条有向直线之间的夹角不一定是90°, 两条有向直线上的长度单位也不要求相同, 更不要求为单位长。平面直角坐标系是平面仿射坐标系的特例。仿射变换是经过原点平移, 分别相对两条坐标轴进行旋转和在两条坐标轴上分别进行尺度变换实现的, 其数学模型为1X =a 1x +a 2y +a 0Y =b 1y +b 2x +b 0(2式中, X 、Y 为地形图坐标, x 、y 为数字化仪坐

4、标, a i 、b i (i =0, 1, 2 为变换参数。这种变换要求至少有3个定向点, 但地形图上的坐标轴(即纵横坐标线 不要求相互垂直, 在纵横方向上的形变尺度因子无需相同。三、坐标变换分析由上述可知, 相似变换只适合于直角坐标系间的变换, 而仿射变换则不但可以用于直角坐标系间的变换, 而且还可用于仿射坐标系间的变换, 相似变换是仿射变换的特例。反之, 如果用相似变换来处理仿射坐标系间的坐标变换, 则将产生系统误差。那么, 地形图数字化中地形图坐标与数字化仪坐标间的变换属于何种坐标系间的变换呢?我们知道, 一台合格的数字化仪, 它内部设置的坐标系一定是平面直角坐标系, 但是, 一幅要数字

5、化的具体地形图的客观实际坐标系就不一定是平面直角坐标系了。只有在地形图的纵横坐标线及对角线等数学精度在规定的限差之内, 或地形图在各方向的形变是均匀的条件下, 其坐标系才能属于平面直角坐标系。事实上, 被数字化的地形图, 尤其是绘制时间较长了的地形图, 不, 二、坐标变换概述由数学理论知, 所谓相似变换, 是基于笛卡尔直角坐标系而建立起来的一种坐标变换数学模型, 它要求坐标系的坐标轴要相互垂直, 且坐标轴上的长度单位要一致。这种变换是经坐标系的平移、旋转和尺度变化来实现的, 它要求至少有两个定向点, 并用下列方程求得变换参数1:X =a 1x +a 2y +a 0Y =a 1y -a 2x +

6、b 0(1式X , x , i1998年第11期测绘通报25的形变因子不同、在对角线方向上产生了形变等情况下, 图上的实际坐标系就不能视为理论上的平面直角坐标系了, 而是变成了仿射坐标系。在这种情况下, 只有采用仿射变换, 才能消除这种规律性形变误差, 若在数字化时对这种地图采用相似变换, 则必然产生系统误差。由于仿射变换包含了相似变换(当(2 式中的a 1=b 1, a 2=b 2时 , 所以, 仿射变换较相似变换所适应的物理模形条件更为广泛。故此, 地形图数字化坐标变换, 应用仿射变换要优于相似变换。误差小的优于误差大的。一幅图中有36个采集点, 求其中误差, 并将两个不同的中误差进行比较

7、, 即可反映出两种坐标转换模型在一幅图中坐标转换精度的优劣。实验结果表明, 对于数学精度较高的图幅, 两种转换结果的精度无明显差别, 而在数学精度较差的图幅中, 则仿射变换的精度高于相似变换, 且图幅的变形越大, 这种精度差别越明显。这也证明我们的理论分析结论是符合实际的。现选出3幅有代表性图幅的实验结果列于表1。表1实验结果/mm图号AB图廓线长度BCC DDE对角线长度ACDB变换精度相似仿射0. 140. 140. 13四、实际验证为验证以上分析结果, 我们在30幅不同时期测绘的聚脂薄膜地形图上进行了数字化实验。所用数字化仪为Housto n Instrument HI-9236A 型。

8、首先在A uto CA D 软件环境下, 用2个图廓点及当时得到的数字化坐标值进行定向, 之后再对36个格网点进行坐标数据采集, 并作记录, 这样得到的数据就是格网点的数字化仪坐标值。最后从每幅图中取5个点(4个图廓 点, 1个为图幅中间的方里网点 , 以相应点的数字化仪坐标值及其所在图幅格网理论坐标值, 分别利用模型(1 和模型(2 经最小二乘平差求得该图幅相似变换和仿射变换的两套坐标转换参数, 再用(1 、(2 两式及数字化仪坐标值分别求得所在图幅中36个格网点的地形图坐标。这样, 每一个被数字化的格网点就有3种地形图坐标值:理论坐标值、用相似变换求得的坐标值和用仿射变换求得的坐标值。将格

9、网点理论值作为其真值, 分别与另外两种坐标值比较可得2个误差值, 该误差值中既包含坐标转换所产生的误差, 也包括其他误差, 如数字化采集对点误差等, 但就同一个点而言, 其他误差是相同的, 所以, 2个误差值的差别即代表了两种坐标转换数学模型的差别, (上接第20页81夏青. 实时战场环境仿真系统中三维地形模型简化的研究. 解放军测绘学院学报, 1997(282陈刚. 一种符合视觉规律的基于地图数据库的虚拟地景仿真. 测绘学报, 1997(383宋国民等. 分布交互式作战指挥训练模拟系统与军事测绘保障. 解放军测绘学院学报, 1997(4 84方炳炎等. 关于地图学发展问题的思考. 地图, 1

10、996(385王家耀(执笔. 地图学与地理信息系统的现状与趋势. 测绘通报, 1997(6499. 8499. 9499. 9500. 1707. 1706. 90. 14500. 5500. 4500. 4500. 4707. 7707. 70. 16499. 8499. 9499. 9500. 1708. 5705. 50. 72注:A 、B 、C 、D 为图廓四角编号五、结束语通过本文的分析可知, 在地形图数字化的坐标系变换中, 仿射变换优于相似变换, 对于与此有关的商业软件, 应提供用户在相似变换和仿射变换两者间选择的条件。用户自己在开发地形图数字化坐标转换处理软件时, 应采用仿射变换数学模型。参考文献1杨启和等. 数字化地形图数据处理方法分析. 测绘通报, 1995(22南开大学数学系. 空间解析几何引论(上册 . 北京:人民教育出版社, 19783汪来福. 图纸数字化程序的设计. 工程勘察, 1998(186陈述彭等. 地理信息系统的基础研究地球信息科学. 地球信息, 1997(387承继成. 地球信息科学基础理论纲要. 地