概率论与数理统计

1、第四章 统计量与抽样分布数理统计是收集数据，分析数据，并作出推断的一门学科。数据通常来源于两个方面， 一类是通过设计，安排试验获得数据，另一类是通过调查、观察、访谈等获得数据。前者可 以通过正交试验、均匀试验等方法的学习，科学合理安排实验，以较少的实验次数，找到最 佳的实验条件，提高效益；后者通过学习抽样调查技术，使获得的数据精确性高， 代表性强，费用省。不过这局部内容不是数理统计的主要内容，在下面会介绍一种最根本的抽样方法一简单随机抽样，从而获得简单随机样本。这里主要介绍统计推断的思想与方法一一参数估 计与假设检验。下面先介绍根本概念。4.1总体与样本三个分布总体是指研究对象的全体， 总体中

2、的每个元素称为 个体。如某厂在某天生产的全部元件构成 一个总体，其中的每个元件就是个体。我们可以关注元件的很多方面，如材料的成分、质量指标，元件的使用寿命等；又如，我们关心某大学2021年招收的学生，那么该校2021年入学的全体学生构成总体，每个学生就是一个个体。对于每个学生，他的身高、体重、肺活量、 高考成绩、每月生活费等等，有很多指标，我们往往只关心其中的某个指标，因此总体就是 研究对象的某个数量指标值的全体，它是有一定分布的， 于是就有了，总体是一个随机变量X，它有分布函数Fx，但是人们对分布函数并没有完全了解，甚至可能了解的信息非常少，于是就要对总体的分布提出一定的假设。例例如：生产厂

3、家声称他们生产的灯泡平均寿命不低于6000小时，如何验证厂家说法的真伪？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡进行检验，通过这局部灯泡的寿命数据来推断整批灯泡的平均寿命。以局部数据信息来推断整体未知参数，就是数理统计研究问题的根本方式。数理统计中的统计推断主要是参数方法。为了推断总体中的未知参数，需要从总体中获得数据。称Xj|,Xn是从总体X中获得的容量为n的一个简单随机样本，如果满足1独立 性，XJHXn相互独立；2代表性，Xj与X同分布，i=1,n。如何获得简单随机样 本？可以从总体中采用放回抽样取n次，那么X1JH, Xn独立同分布，Xi与总体的分布相

4、同，所以X1,lH,Xn为X的简单随机样本，实际中，当总体的元素非常多，或者是无限总体时， 常采用不放回抽样获得样本。需要注意的是，简单随机样本XjH,Xn是n个独立同分布的随机变量，一旦实施了抽样，就得到n个数值xJH,焉，称为样本观测值。例4.1.2 :有四个同学参加了?概率论与数理统计?课程考试，成绩分别为88,75,70,63.X表示这四人的成绩，1 写出总体X的分布律，数学期望和方差；2从总体中 抽取容量为2的样本，列出全部的样本值解:X88757063p1/41/41/41/4E(X) =(88 75 70 63)； 4 = 74,D(X)二(88 - 74)2 (75 - 74)

5、2 (70 - 74)2 (63 - 74)2/4 = 83.5 (2)样本(Xi,X2)取值(xi,x2)有16个样本值.P(X = X2 = x2) = 16,具体(X,x2)如下表所示(88,88)(88,75)(88,70)(88,63)(75,88)(75,75)(75,70)(75,63)(70,88)(70,75)(70,70)(70,63)(63,88)(63,75)(63,70)(63,63)例，总体XN(J；2),叫二2未知，从总体获得样本 XJIIXn，要估计未知参数2 7匚，就要构造样本的函数 T(X1J|,Xn)，如果T(X!|,Xn)中不包含未知参数，称T(X!,川

6、，Xn)为统计量。常见的统计量有:(1)(2)1 n -样本方差s2二 (Xj _X)2，n 1 i 吕(3)1 n样本k阶矩AkX：，n imn_样本k阶中心矩Bk =丄7 (Xj -X)k， n i =i统计量是随机变量，而总体矩E(X),D(X), E(Xk),E(X -E(X)k，如果存在的话，是数,在数理统计中，这些数往往是未知的。下面介绍统计中非常重要的三个分布。2分布设随机变量X1JH,Xn独立同分布,nX1N(0,1)，那么2=vx22(n称为自由度为ni=1的2分布。其概率密度为x 0,，以下图为概率密度示意图。0,x 乞 0.图4.1自由度为2, 4, 8, 12的卡方分布

7、概率密度示意图2分布的性质:(1)假设 X 2(n),那么 E(X)二 n, D(X) = 2n。证明：由nnn2 定义，X 八 Xi2 2(n)， E(X)八 E(Xi2)八 D(Xi ) =n，i -1i=4i -1nnD(X)八 D(Xj2)八E(X：) -(E(X：)2二n(3-1) = 2n ,i 4i 4/x这里 E(X：)二X3_x2 2e-3X_v2 2e2dx = 3。近2二假设 X 与 Y 相互独立，X 2 (n), Y 2(m)，那么 X Y 2 (n m)。证明：由条件可以设 X1J|,Xn,Xn , JI|,Xn m是n+m个独立的同服从标准正态分布的随机nmn -m

8、变量，那么 X=7Xj2 2(n), Y 八2(m)，于是 X Y 八X： 2(n m)。i 1i =1i =1称2(n)是自由度为n的2分布上分位数，如果X 2(n), P(X 2.(n) =，。2.(n) 可以通过查表或在 Excel表中。2例设总体X N(二)，XjH,Xn为总体X的简单随机样本，证明：样本均值X N(),c2)，n；(X)2i理c22(n)。证明：XXi是正态分布随机变量的线性函数，所以X服从正态分布，- 1E(X)E(Xi)n1 n 2D(X)D(Xi)，从而n n. 2 N牡，-);因为nCT独立同服从标准正态分布，按照卡方分布定义,CT2(n)。t分布- 2X设随

9、机变量X N(0,1), Y (n) , X与Y相互独立，称T =t(n)是自由度为n的t分布，也称为学生氏分布。这是一个对称分布，其概率密度为ft(n)(X)=2(n1) 2(r X_)4n 1) 2.n二丨(n 2) n-：:x ：:。F图是t分布和标准正态分布概率密度示意图。图4.2 t(1)，t(2)，t(10)和标准正态分布概率密度示意图称 t.(n)为 t(n)的上：分位数，假设 T t(n),P(T . t.(n)二：。三.F分布设随机变量X 2(n), Y E2(m) , X与Y相互独立，称FY mF(n,m)是自由度为(n, m)的F分布。其概率密度为f (、H(nfm2(n

10、. m)n2x(n2)F(n，m)(x) - (n 2) (m 2)1 (nx m)(n m) 2F图是F分布概率密度示意图。图4.3F(10,40), F(11,3)分布概率密度示意图F 分布性质：(1) F F( n, m),= FF(m, n)。X n F (n,m)，因此,证明：由定义，X 2(n), Y 2(m), X与Y相互独立，F =Y： mF (m, n)。(2) T t( n),= T2 F (1, n)。2X证明：由定义，X N(0,1) , Y 2(n), X与Y相互独立，Tt( n)，因此,X 2 x 2 ix22(1)，且与Y相互独立，所以，讥齐=齐F(1，n)。称F

11、一.(n, m)为F (n,m)的上分位数，假设FF(n,m), P(F . F. (n, m)二：。于是由性质()，有 R/n, m)=1F(m, n)4.2抽样分布如果总体XF(x;R,-(可,.，耳)是未知参数(如正态分布N(,2)，J c2未知；均匀分布U(a,b), a,b未知；泊松分布 二(未知等)，通过获得简单随机样本 X1|,Xn，对未知参数进行估计检验等。由于未知参数往往是总体均值、方差的函数，而对于未知的均值和方差，可以用样本均值和样本方差进行估计，这样估计的依据和效果在后面的两章进行分析，这其中要涉及估计量的分布，称为抽样分布，在这一节介绍。(一)正态总体的抽样分布定理4

12、21设总体XN(；2)，X1,川，Xn是X的简单随机样本，X和S2分别是样本均值和样本方差。那么有(1)X N(即 X，N(0,1)；0Qn(2)(n- 1)S2n (Xi -X)22(n-1)，且X与S2相互独立;X t(n1),其中 S =S n证明：(1)证明见例4.1.4 ；(2 )的证明比拟复杂，略；X - 1(3)因为N(0,1),X - 1sn2 2 (n-1),且X与S相互独立，由t分布定义,(n -1) t(n -1)。定理422设有两个相互独立的总体X (叫2),丫 NC打),X1,IH，Xn和YJH，Ym分别为X和Y的两个独立的简单随机样本,X ,Y分别是样本均值，S2,

13、M分别为样本方差。那么有(4)X -Y N(叫9 打(X -丫)-(叫-2)2)，即( ( 2) N(0,1)；m匚2(X _YL22)t(n m-2)，其中Sw； 1 - 1 n m 2 2二 5-怡(m)S2nm无(Xi - X)2+I： (Y-Y)2i 生i=1n m -2n m -2(6) F (n -1,m -1)。证明：(4)由定理421(1)，X N Cl1,_ 2),YN(n2,_ 2- 2-)，X,Y相互独立，所以m2X _Y N( 7- 2, 1(5)因为 J2=；2，所以(X -丫)十2)N(0,1) ，由卡方分布可加性,二 11；n m22C2(n T)S一2(n m-2)，再由t分布定义,X 一丫一叫2Sw=X -丫-叫 一2十2恵 “mJ t(n m -2).X,Y分别是样本均值，s2 , &分别为样本方差。判断以下统计量的抽样分布:(1)12X5 S1，2a 区-X)2i 416Y2i 412 X _Y解：1由定理 4.2.2 4 N0,1，由定理 2，8S2分布定义，12X_Y9512X -YL8；2由定理4.2