江西省稳派名校学术联盟届高三12月调研考试数学文试题

1、江西省稳派名校学术联盟 2022届高三12月调研考试数学试卷理科考试范围集合与简单逻辑用语、函数与初等函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、数 列、不等式、立体几何、解析几何，概率直线，直线与圆的位置关系局部，可少量涉及圆锥曲线本试卷分第I卷选择题和第H卷非选择题两局部。总分值150分，考试时间120分钟。、 1参考公式：锥体体积公式 V Sh，其中S为底面积，h为高。3第I卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1. 集合M x|y ln(1 x)，集合N y|y ex,x Re为自然对数的底数那么 M n N

2、=A. x|x1B. x|x1 C. x|0x 1 D.2. 等比数列an中，aQ2a3a4a5 32，且 冇 8，那么a?的值为A. 4B. - 4C. ± 4D.± 2 23.如下列图是一个几何体的三视图，假设该几何体的体积为1一，那么主视图中三角形的高x的值为1A.-3B.-44. “ 2a2b 是 “ In aC. 13D.-In b 的A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.函数y 1与xx1, y轴和xe所围成的图形的面积为M,N=怡呼5，那么程序框1 tan 22.5图输出的S为D. 0A. 1B. 21C.26.设x 孑才

3、，那么f(X)cos(cosx)与g(x) sin(sin x)的大小关系是A.f(x)g(x)B.f(x)g(x)C.f(x)g(x)D.与x的取值有关yx7.已知实数x, y满足x2y 4，那么r的最小值为y2(x1)2 (y1)2r2(r0)A.2B.1C.4 2D.5月338. 随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具。某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从 A点出发沿曲线段 Bt曲线段Ct曲线段D，最后到达E点。 某观察者站在点 M观察练车场上匀速行驶的小车 P的运动情况，设观察者从点A开始随车子运动变 化的视角为/ AMP 0，练车时间为t,那么函

4、数 =f(t)的图像大致为相交。直线l1: ax3y0，l2：2x (a 1)y 60 ,和圆C：22小x y 2xb21(b0)的位置关系是“平行相交，那么b的取值范围为A.(占B. (0八 2)C. (0,3.2、D.(育)吟,10.函数f(a)(3m1)a2m，当 m0,1时,0 f(a)匕21恒成立，那么a2的最大值A. 315B.4C. 419D.4二、填空题:本大题共5小题，每题5分，共25分。ab11.直线 2x y 10的倾斜角为，那么 sin2cos2的值为i丿TboA*0IItiz加J0CI'o1)19.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：假设两直线中至少有一条

5、与圆相切，那么称该位置;否那么称为“平行关系为“平行相切；假设两直线都与圆相离，那么称该位置关系为“平行相离12.在平面直角坐标系中,O是原点，OA (1,0),P是平面内的动点，假设|OP OA| =g(x)|OP OA|，贝U P点的轨迹方程是13函数f (x)与g(x)的图像关于直线 x 2对称，假设f(x) 4x 15，那么不等式 飞x的解集是14.在区间a,a(a 0)内图像不间断的函数f (x)满足f ( x) f (x)g(x) ex f (x)，且 g(0) g(a) 0,又当0 x a时，有f (x) f (x)0，那么函数f (x)在区间a,a内零点的个数是15.将2n按如

6、表的规律填在 5列的数表中,2022设2 排在数表的第n行，第m列，那么第m列中的前n个数的和Sn =282162127292152226210214232521121324212三、解答题：本大题共 6小题，共75分。解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. 本小题总分值12分a, b, c分别为 ABC三个内角A , B, C的对边，且2bcosC 2a c。1求 B；22假设cosC ，求si nA的值。317. 本小题总分值12分方便、快捷、实惠的电动车是很多人的出行工具。可是，随着电动车的普及，它的平安性也越来越受到人们关注。为了出行更平安，交通部门限制电动车的行驶速度为24k

7、m/h。假设某款电动车正常行驶遇到紧急情况时，紧急刹车时行驶的路程S单位：m和时间t单位：s的关系为：3 2S(t) t2 t 51 n(t 1)。81求从开始紧急刹车至电动车完全停止所经过的时间；2求该款车正常行驶的速度是否在限行范围内？18. 本小题总分值12分正项数列an的前n项和为Sn，且Sn ( _ )2。81求数列an的通项公式an ；19. 本小题总分值12分三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 AAC丄平面 ABC, BC丄AC, D为AC的中点，AC = BC=AA 1 = A1C = 2。1求证：AC平面A1BC ;2求平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值。20. 本小

8、题总分值13分J3椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率e。它有一个顶点恰好是抛物线x2=4y的2焦点。过该椭圆上任一点P作PQ丄x轴，垂足为Q,点C在QP的延长线上，且|QP| |PC|。1求动点C的轨迹E的方程；2设椭圆的左右顶点分别为 A , B，直线ACC点不同于A , B与直线x 2交于点R, D 为线段RB的中点。试判断直线 CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论。21. 本小题总分值14分f(x) x a(x 1)l n( x 1)。1求f (x)的极值点；12当a 1时，假设方程f(x) t在,1上有两个实数解，求实数t的取值范围；23证明：当 m n 0 时，(1 m)n

9、(1 n)m。【试题答案】1.CM x|x 1 , N y | y 0，故 M N = x |0 x 1。2.A5由等比数列的性质，得a1a2a3a4a5a332，故a3 2，又a118 ,2a7a3 an，解得a74(负值舍去，因为a3,a5,a7同号)。3.C3由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为一，咼为x，体积为V13x1，解2322得x1 ,应选C。4.B当Ina Inb时，a b 0,那么2a 2b ；当2a 2b时，a b，此时无法得出ln aln b 。e 15. CM dx ln x:1 , N 1tan45o11，所以MN，又框图的功能是求1 x22M ,N中的较小值

10、，故输出的值为 -。26. Bf (x) cos(cosx)sin( cosx)2，又Ecosx)sin x 242 sin (x1) 0，x 时，(一cosx) 一，故 1 si nx ( cosx)，而函数 y si nx 在1,为 2 2 2 2 2 2 2增函数，故 sin(sin x) sin( cosx) cos(cosx)。2y x,7. A 在平面直角坐标系中画出不等式组x 2y 4,表示的平 面区域D ,由于圆y 22 2 2(x 1) (y 1) r经过平面区域D，因此其半径r的最小值为圆心(一1 , 1)到直线y=x的距离，即r min 2。8. D观察图象，可知随着时间

11、的增加，刚开始角度为0并且在增加，排除选项 A ;在曲线段B中间一段变化不大，然后角度减少到达曲线段C,接着角度增加，故排除选项C,后面又略减少到达曲线段D，之后一直增加到点E，并且角度要大于前面几段，排除选项B，应选D。9. D 圆C的标准方程为(x+1) 2+y2=b2，由两直线平行可得a(a+1) 6=0，解得a=2或a= 3 ,又当a=2时，直线|1与12重合，舍去，此时两平行线方程分别为x y 2=0和x y+3=0 ;由直线 x y 2=0 与圆(x+1) 2+y 2=b 2 相切，得 b，由直线2x y+3=0与圆相切，得b 2.2，当两直线与圆都相离时，b ,2，所以“平行相交

12、时，b满足10. Bh(m)1,2a2而-?一abb2511.-3由题意可知,12. y2=2x 1整理得y2=2x 1。b的取值范围是、2, ±2辽，。2 2(3atan2)m a b ,那么依题意 0h(0)1, 0h(1)11，画出可行域，构造点a,b与原点连线的斜率可得易知函数ut,代入可得：1-t为区间1,4上的增函数，故utt2，那么 sincos22sin2sin2cos2costan21tan_1设 P(x,y),那么 OP (x, y)，又因为 |OP15。4OA|= | OP OA|,所以(x 1)2+y2：=x2,113. (, 1)U,1) 假设 f(x)=4

13、x 15，贝U g(x)=f(4 x)=4(4 x) 15=1 4x，故不等式40 等价于 1yj4x0，即(X 1)(x 1)(4x 1) 0( x 1 且X 1)，解得 x< 1,或 1 x 1。x2 1x21414. 2/ f( x) f(x)= 0 ,/ f(x)为偶函数，/ g(x)=e xf(x) ,/. g (x) e f (x)f (x)0,. g(x)在0 , a上为单调增函数，又 g(0) ?g(a)<0 ,二函数 g(x)=e xf(x)在0 ,a上只有一个零点，又/ ex和，二f(x)在0 , a上有且仅有一个零点，t f(x)是偶函数，且 f(0)工,0

14、f(x)在a, a上有且仅有两个零点。15.2 2022 4152022由于2022=4 X 503+2，故2 位于表格的第 504行第3列，所以n=504, m=3。所以Sn22 1 (24)5041 2422022 4152 , 2 2a b c2ab2a c , 2 分)16.解：1由余弦定理知得2b- b2 a2 c2 ac, 4分 cosB 1,又 0 B2B 3。6分2/ COSCsin A sin(2sin cosC3B C)2cos sin C3sinC J , 8 分3C) 10 分2.36迈。12分17.解：1紧急刹车后电动车的速度v(t) S'(t)3 5v(t)

15、-t 1, 2分4 t 1当电动车完全停止时v(t) o ms，令v(t) -t 1三=o,2 8得3t2 t 240，解得t 3或t舍去)，3即从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为3s° 6分2由1知，从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为3s，3 5又由车的速度 v(t) t 1,4分4 t 1车子正常行驶的速度为：当0 时，v(0)21.6km/h 24km/ h ,故在限速范围内。12分18. 解:(1)由 Sn(an82)2 知8当n 1时，8耳耳24q 4，解得q当n 2时,anSnSn 1(On2)2(On1 2)23分整理得(an an 1 4)(an an 1

16、) 0，又 佝为正项数列，故an On 1 4( n 2)，因此数列an是首项为2,公差为4的等差数列,an2 (n1) 44n 2。(6 分)2由于24-4n 2 4n 2 4n 2 4n 2=4n 2 4n 2 8分2因此2=.ai 迁 a2, a3(6 .2) (.106)=4n 22 。 12 分2an(.4n 2. 4n 2)19.解法一：1由于平面 AAC 平面ABC , BC AC所以BC 面AAC，所以BC AC1。2分而Ai ACC i是菱形，因此 AC ACi ,所以AC1 平面ABC。4分2设 ACi 门 AC O，作 OE AB 于 E，连接 AE ,由1知ACi 平面

17、ABC，即AO 平面ABC，所以AO AB又 OE A1B 于 E，因此 A1B AE，所以 AEO为二面角的平面角，8分在 Rt A1EO 中，A1O 1，OAE45，故直角边OE142所以cos ，所以所求两平面夹角的余弦值为£。 12分AE77又因为Rt AEO中斜边AO3,因此Rt AEO中斜边AE解法如图，取 AB的中点E，贝U DE/BC，因为BC AC，所以DE AC，又AD 平面ABC ,2分*9mn7 2、3因此所求两平面夹角的余弦值为丄o712 分20.解：12x设椭圆C的方程为缶a2 y b21(ab 0，那么由题意知b = 1 ,设 C(x, y),2y0即动

18、点a 2，所以椭圆的方程为Px°,y°，由题意得x21，代入得4如2C的轨迹E的方程为X22设Cm, n，点r的坐标为 A,C,R三点共线，AC x2X)2y°，即1 o 2 分X0y。x1_y21，即x24。 6 分(2,t)，AR，以 DE,DC,DAi为 x,y,z轴建立空间直角坐标系，那么 A 0, 1,0 ,C 0,1,0 ,B 2,1,0 ,几 0,0,3 ,Ci 0,2, -j3 ,1AC10,3, 3 , BA12, 1, 3 , CB 2,0,0 , AC 0,1, .3由 AC1 CB 0, 知 AC1 CB , 5 分2由1知平面BC的一个法向量为 nAC10,3, . 3 ,再设平面ABA的法向量为m x, y, z,AB2,2,0,AA'所以mmAB 2x 2y 0AA y 3z 0，设 z 1 ,那么m 3,1,1 ,-一m n2 3-.70,1, 3 ,cos m,n又AC AG，从而AC1平面ABC ; 6分4nm 2而 AC (m 2,n) , AR (4,t)，那么 4n t(m 2),点R的坐标为2,丄复，点D的坐标