选择性必修第二册第四章随堂学案

1、第2课时等差数列的性质及应用学习任务核心素养1. 掌握等差数列的有关性质(重点、 易错点).2. 能灵活运用等差数列的性质解决 问题(难点).1. 通过等差数列性质的学习，体现了 数学运算素养.2. 借助等差数列的实际应用，培养数 学建模及数学运算素养.悄境导学*探新知1悄地趣Z学预习林感如九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱， 令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、 戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”( “钱”是古代的一种质量单位)知识点1等差数列的图象等差数

2、列的通项公式an= ai + (n 1)d，当d = 0时，an是一个固定常数；当0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d_为斜率的直线上，是 这条直线上的一列孤立的点._ _an aian am 1 1.由an= ai + (n 1)d可得d=， d=，你能联系直线的n1nm斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？提示等差数列的通项公式可以变形为 an= nd+ (a1 d),是关于n的一次an a1函数，d为斜率，故过两点(1, a1)，(n，an)直线的斜率d=，当两点为(n，n 1an aman)，(m, am)时有 d=.n m榕.已知数列an是等差数列，a4= 15,

3、a7= 27,则过点P(3, a3)，Q(5,a5)的直线斜率为()1 1A . 4B . 4C. 4D. 4A 由数列an是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条 直线上的等间隔的点(n, an)，因此过点P(3, a3), Q(5, a5)的直线斜率即过点(4,27- 1515), (7, 27)的直线斜率，所以直线的斜率 k= 4.故选A .7 4知识点2等差数列的性质(1) an是公差为d的等差数列，若正整数 m, n, p, q满足m+ n= p+ q, 贝U am+ an = ap+ aq. 特别地，当 m+ n = 2k(m, n, k N*)时，am+ an= 2

4、ak. 对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，_即 a1 + an= a2+ an-1 = = ak+ ank+1 =(2) 从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列.(3) 若an是公差为d的等差数列，贝U c+ an( c为任一常数)是公差为d的等差数列； can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； an + an+ k(k为常数，k N*)是公差为2d的等差数列.若an, bn分别是公差为d1, d2的等差数列，则数列pan + qbn(p, q是常数)是公差为pd1 + qd2的等差数列.(5)an的公差为d,则d>0? an为递

5、增数列;d<0? an为递减数列;d = 0? an为常数列.邑乩2.若an为等差数列，且 m+ n= p(m, n, p N*)，贝U am+ an = ap一定成立吗？提示 不一定.如常数列an , 1 + 2= 3,而a1+ a2 = 2a3.空也2.思考辨析(正确的画“V”，错误的画“X”)(1) 若an是等差数列，则|an|也是等差数列.()若|an|是等差数列，则an也是等差数列.()若an是等差数列，则对任意 n N都有2an+i = an+ an+2.()答案X (2)x V提示(1)错误，如2,- 1, 0, 1, 2是等差数列，但其绝对值就不是等 差数列.(2) 错误

6、，如数列1, 2， 3, 4， 5其绝对值为等差数列，但其本身不是 等差数列.(3) 正确，根据等差数列的通项可判定对任意n N*都有2an+1 = an+ an + 2成立.介作探究*释魁难的闘解.略学斛林臥类型1灵活设元解等差数列【例1】 已知递减等差数列an的前三项和为18,前三项的乘积为66,求 数列的通项公式，并判断一34是否为该数列的项.解法一：设该等差数列的前三项为a d, a, a+ d,则(a d) + a + (a + d) = 3a = 18.解得a=6.又前三项的乘积为66.6X (6 + d)(6 d) = 66,解得d= ±j.由于该数列单调递减，所以d=

7、 5,且首项为11,所以通项公式为an= 11 + (n 1)X ( 5)= 5n+ 16.令5n+ 16= 34,解得 n= 10. 34是数列an的第10项.4/12ai + a2 + a3= 18, 法二：依题意得ai a2 a3 = 66,3ai + 3d= 18,ai ai + d ai+ 2d = 66,ai = ii,ai = i,解得或d= 5,d= 5.数列an是递减等差数列,#/12#/12 dv0.故 ai = ii, d= 5.an= ii + (n i)x ( 5) 5n + i6,即等差数列an的通项公式为an 5n+ i6.令 an 34,即5n+ i6 34,得

8、 n i0.34是数列an的第i0项.等差数列的设项方法与技巧(i) 当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为ai，公差为d,利用已知条件建立方程求出ai和d,即可确定数列.(2) 当已知数列有2n项时，可设为a (2n i)d,，a 3d, a d, a+ d, a + 3d,，a+ (2n i)d,此时公差为2d.(3) 当已知数列有2n+ i项时，可设为a nd, a (n i)d,，a d, a, a + d,，a+ (n i)d, a+ nd,此时公差为 d.跟进训练85i .已知五个数成等差数列，它们的和为 5,平方和为8，求这5个数.解设第三个数为a,公差为d,则

9、这5个数分别为a 2d, a d, a, a+ d, a+ 2d.由已知有a 2d + a d + a+ a+ d + a+ 2d = 5,22222 85a 2d + a d + a + a + d + a + 2d "9 ,5a = 5,整理得Sa2+ 10d2譽2解得 a 1, d =±3.2 1157当d2时，这5个数分别是一3, 3，1，5，3；27当d= 3时，这5个数分别是3,1 3-5-3?6/12#/1211, 1，13.115775综上，这5个数分别是3，3，1，3，3或3，3,类型2等差数列的性质【例2】(1)已知等差数列an中，a3 + a6= 8，

10、则5a4 + a7=()A . 32 B. 27 C. 24 D. 16(2) 若关于x的方程x2 2x+ m= 0和x2 2x+ n= 0(mn)的四个根可组成首1项为4的等差数列，贝U |m n|的值是.能否通过性质“ m+ n= p+ q? am + an= ap+ aq”找出解题突破口 .由此可以 顺利解出来1(1) C (2)2 (1)法一：设等差数列an公差 d,贝U a3 + a6= 2a1+ 7d = 8,所以 5a4 + a7= 6a1 + 21d= 3(2a1 + 7d) = 24.法:在等差数列中，m+ n = p+ q,贝U am + an = ap + aq.a2+

11、a6 a3 + a5 2a4,-5a4 + a7 a母題探究 (变条件，变结论)本例中条件变为“在等差数列an中，若a5 8, a10 20”，求 a15.解法一：因为a5, a10, a15成等差数列，所以 a5 + a15 2a10.所以 a15 2a10 a5 2X 20 8 32.法二：因为an为等差数列，设其公差为d,12所以a10 a5 + 5d,所以20 8 + 5d,所以d石.12所以 a15 a10+ 5d 20+ 5x5 32. (变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列an中，a3 + a4 + a5+ + a3 + a4+ a5 + a6+ a7.又 a2 +

12、a7 a3 + a6 a4 + a5. 5a4 + a7 3(a3 + a6) 3X 8 24.(2) 设a, b为方程x2 2x+ m 0的两根，贝U a+ b 2, c, d为方程x2 2x1+ n 0的两根，则c+ d 2,而四个根可组成一个首项为4的等差数列，现假定1 t17a4,则 b2 4 4.根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，17这个等差数列的顺序为玄，c，d，7nt 35则 c 4, d4._715 m ab16，n cd花.7151-|m n|屁-花-2 a6 + a7 = 450”,求 a2 + a8.解法一：在等差数列an中a3 + a7=

13、a4 + a6= 2a5,-(a3 + a7)+ (a4 + as)+ a5 = 5a5 = 450.解得a5= 90.a2+ a8 = 2a5 = 180.法二：设等差数列an的首项为ai,公差为d.根据an= ai+ (n- 1)d,- a3+ a4 + a5 + a6 + a7=5ai + 20d= 5(ai + 4d) =450.- ai + 4d = 90.而 a2 + a8= 2ai + 8d = 2(ai + 4d)= 2X 90= i80.广 返屈领梧-J.1la等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑

14、利用等差数列的下列性质：(1) 若 m+ n= p+ q(m, n, p, q N ),贝U am+ an = ap+ aq, 其中 am, an, ap, aq是数列中的项.该性质可推广为：若 m+ n+ z= p+ q+ k(m, n, z, p, q, k N ),贝U am+ an + az= ap+ aq + ak.(2) 若 m+ n = 2p(m, n, p N ),则 am+ an = 2ap.h跟进训练2. 已知数列an满足ai= 1, |an+1-an|= pn, n N*.若an为递增数列，且ai, 2a2, 3a3成等差数列，则p的值为.13 因为数列an是递增数列，所

15、以an+1 an= |an+1 an|= pn,而ai = 1,所2以 a2= p+ 1, a3= p + p+ 1.又ai, 2a2, 3a3成等差数列，所以4a2 = ai + 3a3,2 1即 3p2 p= 0,解得 p= 0 或 p = 3.1当p= 0时，an + 1 = an,这与数列an是递增数列矛盾，故p = 3.类型3等差数列的实际应用【例3】 为了测试某种金属的热膨胀性质，将由这种金属制成的一根细棒 加热，从100 C开始第1次测量细棒长度，以后每升高50 C测量一次，把依次 量得的数据所构成的数列In在图象中表示出来，如图，根据图象解答下列问题.J2.UO6ZOOS2()

16、04*2003t2.002«2(X)1ft0J 2 3 4 5 6 7测口序彗a(1) 第5次量得的金属棒长度是多少？此时金属棒的温度是多少？(2) 求数列In的通项公式和金属棒长度In(单位：m)关于温度t(单位：C )的 函数关系式(设长度In是关于测量序号n的一次函数).(3) 如果在30 C的温度条件下，把两块这种金属制成的矩形板平铺在一个平 面上，这个平面的最高温度可达到500 C,问铺设时两块金属板之间至少要留多 宽的空隙？解 由图得l5 = 2.005(m),此时金属棒的温度t = 100+ (5 1)X 50 =300(C).即第5次量得的金属棒长度是2.005 m,

17、此时金属棒的温度是300 C .(2)设 ln = dn+b,由 l1 = 2.001, 12 = 2.002,2.001 = d+ b,d = 0.001,得解得2.002= 2d+ b,b= 2.所以ln的通项公式是ln = 0.001 n + 2(n N*).由题意可得 t= 50(n 1)+ 100= 50n + 50,t 50所以n =运厂，代入通项公式，得ln = 0.000 02t+ 1.999.由上式可知，ln也是关于t的一次函数，不过t不限于取 正整数，可以取不致失去实际意义的任何实数.(3) 由(2)知当 t = 30 C 时，ln= 0.000 02X 30+ 1.999

18、= 1.999 6(m);当 t= 500 C 时，ln= 0.000 02X 500+ 1.999= 2.009(m).在30 C温度条件下铺设两块这种金属板时，它们之间的空隙至少为2.0091.999 6= 0.009 4(m). 板思领悟、解决等差数列实际问题的基本步骤(1) 将已知条件翻译成数学(数列)问题；(2) 构造等差数列模型(明确首项和公差)；(3) 利用通项公式解决等差数列问题；(4) 将所求出的结果回归为实际问题.V/跟进训练3. 我国明代数学家程大位在算法统宗 中常以诗歌的形式呈现数学问题， 其中有一道“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三 升九，上

19、梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法， 也教算得到天明.这个问题的意思是九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为(注：升是容量单位)()A . 0.9 升 B . 1 升 C. 1.1 升 D . 2.1 升B 不妨令九节竹的盛米容积由下向上成等差数列 an，公差为d.依题意ai + a2 + a3= 3.9,a2= 1.3,得故即 a2 + 5d+ a2 + 6d= 2a2 + 11d = 2.6a6 + a7 + a8 + a9 = 3,a7 + a8= 1.5,+ 11d= 1.5,解得 d= 0.1，故 a5 = a

20、2 + 3d= 1.3-0.3= 1(升).故选 B.十堂达标-夯離础潭堂加识趙测小敛间趾.量评1 .若数列an是公差为d的等差数列，则数列2an是()A .公差为d的等差数列B .公差为2d的等差数列C.非等差数列D .以上说法均不正确B 由条件可设an = dn+ b,贝U 2an = 2dn + 2b, 数列2an的公差为2d.2. 在等差数列an中，a1 + a9= 10,则a5的值为()A . 5B. 6C. 8D. 10A 由等差数列的性质，得a1 + a9 = 2a5,又Ta1 + a9= 10, 即 2a5= 10,二 a5= 5.3. 已知等差数列an满足3a3 = 4a4,

21、则该数列中一定为零的项为()A. a6 B . a7 C . a8 D . a9B t 3a3 = 4a4, /. 3a3= 4(a3 + d)= 4a3 + 4d,二 a3= 4d,an= a3 + (n3) d= 4d+ (n 3)d= (n 7)d, / a7 = 0,故选 B.4. 在等差数列an中，a1 + 3a8 + a15= 60,贝U a2 a8 + a14=.12 在等差数列an中，a1 + a15= 2a8, / a1+ 3a8 + a15= 60,二 5a8= 60 即a8= 12.又 a2 + a14= 2a8, 二 a2 a8 + a14= 2a8 a8= a8= 1

22、2.5. 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为一8,则这四个数是.2, 0, 2, 4 设这四个数为 a 3d, a d, a+ d, a+ 3d(公差为 2d),依题意，2a= 2,且(a 3d)(a+ 3d)= 8,即 a= 1, a2 9d2 = 8,id2= 1,二d= 1 或 d= 1.又四个数成递增等差数列，所以 d>0, d= 1,故所求的四个数为一2, 0, 2, 4.I、回顾本节知识，自我完成以下问题：在等差数列an中，注意两项之间的关系是什么？提示 在等差数列an中，an= am+ （n m）d.在等差数列an中，常用的性质有哪些？提示性质1通项公式的推广：an= am+ （n m）d（n，m N*）性质2右an为等差数列，且 k+1 m+ n（k，l，m，n N ），贝U ak+ al am+ an性质3右an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d性质4右an，bn分别是以d1，d2为公差的等差数列，则pan+ qbn）是以 pd1 + qd2为公