补充三角函数与反函数

1、11 1、反函数、反函数 设函数设函数 y=f (x) 的定义域为的定义域为 D, 值域为值域为W 则对于任意则对于任意 y0W, 必定有必定有x0D, ,使使 x0= (y0) 即：即：x也是也是y的函数，记作：的函数，记作：x= (y) 其定义域为其定义域为W，值域为，值域为D. .称为称为 y=f (x) 的的反函数反函数。 相对于相对于 x= (y)， y=f (x) 称为称为直接函数直接函数。 在同一个坐标系中，在同一个坐标系中，x= (y)和和 y=f (x) 的图像是同一条曲线，的图像是同一条曲线，只不过自变量只不过自变量 所在的坐标轴不同。所在的坐标轴不同。习惯上，总是以习惯上

2、，总是以 x 作为自变量，函数记做：作为自变量，函数记做：y= (x), 在同一个坐标系中，在同一个坐标系中，y= (x)和和 y=f(x) 的图像是不同的两条的图像是不同的两条 曲线，它们关于直线曲线，它们关于直线 y =x 对称。对称。习惯上习惯上记为记为)(1xfy20 x0y0 x0yxyDR)(xfy 函数函数oxyDR)(yx 反函数反函数o)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函数数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 31 1、反函数、反函数 设函数设函数 f (x) 与与 g(x)互为互为反函数，反

3、函数，当且仅当当且仅当它们满足它们满足 f(x) 的定义域为的定义域为 g(x) 的值域；的值域； g(x) 的定义域为的定义域为 f(x) 的值域；的值域； f (g(x)=x 及及 g(f (x)=x 。例如：例如：( )lnf xx( )exg x ()ln exf g xxln( ( )exg f xx42 2、反三角函数、反三角函数正弦函数的正弦函数的反函数：反函数：反正弦函数反正弦函数定义如下：定义如下： y= arcsinx 当且仅当当且仅当 siny=x 并且并且 22y11x 余弦函数的余弦函数的反函数：反函数：反余弦函数反余弦函数定义如下：定义如下： y= arccosx

4、当且仅当当且仅当 cosy=x 并且并且 0y11x 5xyarcsinxy11O2 2 xyarccos yx112 O 反正弦函数反正弦函数 反余弦函数反余弦函数arcsinyxarccosyx62 2、反三角函数、反三角函数正切函数的正切函数的反函数：反函数：反正切函数反正切函数定义如下：定义如下： y= arctanx 当且仅当当且仅当 tany=x 并且并且 22yx 余切函数的余切函数的反函数：反函数：反余切函数反余切函数定义如下：定义如下： y= arccotx 当且仅当当且仅当 coty=x 并且并且 0yx 7xyarctan2 2 Oyxxarcycot2 Oyx 反正切函

5、数反正切函数反余切函数反余切函数arctanyxarccotyx83. 3. 余割函数与正割函数余割函数与正割函数 1cscsinyxx6422464224xyOsinyxcscyx93. 3. 余割函数与正割函数余割函数与正割函数 1seccosyxx6422464224xyOcosyxsecyx104. 4. 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数 2sh xxeex 双双曲曲正正弦弦：双曲函数的性态：双曲函数的性态： xey21xey21xyO211shxy （1）定义域：）定义域： ),(（2）奇函数，图象过原点且关于）奇函数，图象过原点且关于 （3）在）在 ),(上单调增加。上单调

6、增加。 （4）第一象限接近）第一象限接近 xey21xey21 ；第三象限接近；第三象限接近 。原点对称。原点对称。 11双曲余弦双曲余弦 ： ,2chxxeex双曲余弦的性态：双曲余弦的性态： yxey21xey21xO211xych（1）定义域：）定义域： ),(（2）偶函数；图形过（）偶函数；图形过（0，1）点，）点， 关于关于y对称。对称。 （3）在）在 )0 ,(), 0(内单调减少；在内单调减少；在 内单调增加。内单调增加。 （4）第一象限接近）第一象限接近 xey21.21xey；第二象限接近；第二象限接近 12双曲正切：双曲正切： .chshthxxxxeeeexxxxyO11双曲正切的性态：双曲正切的性态： （1）定义域：）定义域： ),(（2）奇函数，图象过原点且关于）奇函数，图象过原点且关于 （3）在）在 ),(上单调增加。上单调增加。 （4）图像夹在直线）图像夹在直线 1y1y ；第三象限接近；第三象限接近 。 原点对称。原点对称。 第一象限接近第一象限接近 之间，当之间，当 x很大时，很大时，1y13得得下下面面若若干干公公式式：根根据据双双曲曲函函数数的的定定义义可可1lnarsh :2xxxy反双曲正弦,1lnarch :2xxxy反双曲余弦xxxy11ln21arth :反双曲正切反函数为：双曲函数xyxyxyth