指数函数经典题目

1、为什么要规定a0,且a1呢？ 若a=0，则当x0时，xa=0；0时，xa无意义. 当x 若a0 ,且a1在规定以后，对于任何xR，xa都有意义，且xa0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+).1( 2)2xyx 在 时就没有意义 。识记与理解识记与理解 练习：练习：（口答）判断下列函数是不是指（口答）判断下列函数是不是指 数函数，为什么？数函数，为什么？xxxxxyaaayyyyxyaaaxy32)7() 10()6(1)5()3()4()31()3()2() 10() 1 (31且且例1 已知指数函数的图象经过点(2, 4)，求f(0), f(1), f(-3)。1且a0,aaf(x

2、)x 解: 因为 的图象经过点(2, 4),所以f(2)=4,即 ,解得 a=2 ,于是 f(x)= 所以, f(0)=1, f(1)=2, f(-3)=8_xaxf)(42ax21x 21.一般地，函数一般地，函数 叫做指数函数，其中叫做指数函数，其中x是是 ，函数的定义域是，函数的定义域是 值域是值域是 .2.函数函数y=ax(a0,且且a1)，当，当 时，在时，在(-,+)上是增函上是增函数；当数；当 时，在时，在(-,+)上是减函数上是减函数.3.y=ax(a0,且且a1)的图象一定过点的图象一定过点 .当当a1时，若时，若x0,则则y ，若，若x0，则，则y ;当当0a0,则则y ,

3、若若x0,且且a1,m0)的图象可以看成指数函数的图象可以看成指数函数y=ax的图象向的图象向 平移个平移个 单位单位得到的；函数得到的；函数y=a (a0,且且a1,m0)的图象可以看成指数的图象可以看成指数函数函数y=ax的图象向的图象向 平移个平移个 单位得到的单位得到的.x m+y=ax(a0,且且a1)自变量自变量R（0,+）a10a1(0,1)(0,1)1右右2右右m左左mx m5.函数函数y=ax和和y=a-x的图象关于的图象关于 对称；函数对称；函数y=ax和和y=-a-x的图象关于的图象关于 对称对称.6.当当a1时，时，af(x)ag(x) ；当；当0aag(x) f(x)

4、g(x)5.函数函数y=ax和和y=a-x的图象关于的图象关于 对称；函数对称；函数y=ax和和y=-a-x的图象关于的图象关于 对称对称.6.当当a1时，时，af(x)ag(x) ；当；当0aag(x) f(x) ,且且a1.）21【分析】【分析】根据指数函数的定义进行判断根据指数函数的定义进行判断.【解析】【解析】由定义，形如由定义，形如y=ax(a0,且且a1)的函数叫指数函数的函数叫指数函数.由此可以确定（由此可以确定（1）（）（5）（）（8）是指数函数）是指数函数. （2）不是指数函数）不是指数函数. （3）是）是-1与指数函数与指数函数4x的积的积.(4)中底数中底数-40，且，且

5、y1.（2）定义域为）定义域为xR.|x|0,y= = =1,故故y= 的值域为的值域为y|y1.（3）定义域为）定义域为R.y=4x+2x+1+1=(2 )2+22x+1=( 2 +1)2,且且 0,y1.故故y=4x+2x+1+1的值域为的值域为y | y1.41x41x41xX)32(X)23(0)23(X)32(XX（4）令）令 0,得得 0,解得解得x-1或或x1. 故定义域为故定义域为x|x1，指数指数函数函数y=1.7x在在(-,+)上是增函数上是增函数.2.53,1.72.51.73.（2）函数）函数y=0.8x，由于，由于00.8-0.2，0.8-0.11.70=1,0.93

6、.10.93.1.讨论函数讨论函数f(x)= 的单调性的单调性,并求其值域并求其值域.xx22)32(u)32(f(x)的定义域为的定义域为R,令令u=-x2+2x,则则f(u)= .又又u=-x2+2x=-(x-1)2+1在在(-,1上是增函数上是增函数,即当即当 时，时，有有 .又又f(u)= 在其定义域内为减函数在其定义域内为减函数, .函数函数f(x)在在(-,1上为减函数上为减函数,同理可得同理可得f(x)在在1,+)上为增函数上为增函数.又又u=-x2+2x=-(x-1)2+11,f(u)= 在在(-,1上是减函数上是减函数,f(u) .即即f(x)的值域为的值域为 21uu 12

7、1 xxu)32()()(21ufufu)32()32(,328 ,41【解析】【解析】令令 =t,x-3,2,t ,y= =t2-t+1= ,当当t= 时，时，y= ;当当t=8时，时，y=57.函数的最大值为函数的最大值为57,最小值为最小值为 .214343)21(2t43x2124xx求函数求函数y= ，x-3,2的最大值和最小值的最大值和最小值.124xx【分析】【分析】令令 = t，化函数为关于，化函数为关于t的二次函数，再求解的二次函数，再求解.x2已知函数已知函数y=a2x+2ax-1(a1)在区间在区间-1,1上的最大值上的最大值是是14,求求a的值的值.令令t=ax,x-1

8、,1，且，且a1,t .原函数化为原函数化为y=t2+2t-1=(t+1)2-2.单调增区间是单调增区间是-1,+),当当t 时时,函数单调递增函数单调递增,当当t=a时时, =(a+1)2-2=14,解得解得a=3或或a=-5,又又a1,a=3.aa,1aa,1maxy画出函数画出函数 的图象，并根据图象指出这个函数的的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质一些重要性质.12xy【解析】【解析】其图象是由两部分合成的，一是把其图象是由两部分合成的，一是把y=2x的图象向右平移的图象向右平移1个单位，在个单位，在x1的部分，二是把的部分，二是把 的图象向右平的图象向右平移移1个单位，在个单

9、位，在x1的部分，对接处的公共点为的部分，对接处的公共点为(1,1)，如，如上图上图.xy)21(1,)21(1,22111xxyxxx由图象可知函数有三个重要性质：由图象可知函数有三个重要性质：（1）对称性：对称轴为）对称性：对称轴为x=1;（2）单调性：）单调性：(-,1上单调递减，上单调递减，1,+)上单调递上单调递增；增；（3）函数的值域：）函数的值域：1,+).画出函数画出函数y=2x-1+1的图象，然后指出其单调区间及值域的图象，然后指出其单调区间及值域.先画出指数函数先画出指数函数y=2x的图象，然后将其向右平移一个单的图象，然后将其向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可，由图

10、象可看出函数的单位，再向上平移一个单位即可，由图象可看出函数的单调增区间为调增区间为(-,+),函数的值域为函数的值域为(1,+).设设a是实数，是实数，f(x)=a- (xR).（1）证明：不论）证明：不论a为何实数，为何实数，f(x)均为增函数；均为增函数；（2）试确定）试确定a的值，使的值，使f(-x)+f(x)=0成立成立.122x(1)证明证明：设：设x1,x2R，且，且x1x2，x1-x20,则则f(x1)-f(x2)= (a- )-(a- )= .由于指数函数由于指数函数y=2x在在R上是增函数，且上是增函数，且x10得得所以所以f(x1)-f(x2)0,因为此结论与因为此结论与

11、a的取值无关，的取值无关，所以不论所以不论a为何实数，为何实数，f(x)均为增函数均为增函数.（2）由）由f(-x)+f(x)=0得得 得得a=1.2121)2(212221)(2222a0,122-a122-axxxxxxxx-1,11,21221xx2xy 说明下列函数图象与图象的关系。1(1)2xy1(2)2xy122xxyy将的图象向右平移1个单位就得到的图象122xxyy将的图象向左平移1个单位就得到的图象x说明下列函数图象与y=2 的图象的关系(1)21xy(2)21xy211xy x将的图象向下平移 个单位就得到y=2的图象211xy x将的图象向上平移 个单位就得到y=2的图象

12、2xy 说明下列函数与图象的关系(1)2xy (2)2xy2xyy-x作图象关于 轴对称的图象，即为y=2 的图象。2xyyyx删出图象在轴左侧的部分，将轴右侧的部分对称到左侧，形成对称图象，即为y = 2的图象。2xyyyx删出图象在轴左侧的部分，将轴右侧的部分对称到左侧，形成对称图象，即为y = 2的图象。删除例例 题题例例4 指数函数指数函数y3x的图象经过怎样的变换，可以得的图象经过怎样的变换，可以得到函数到函数y3x11的图象，并画出它的图象的图象，并画出它的图象解解 把函数把函数y3x的图象向左平移一个单位得到函数的图象向左平移一个单位得到函数 y3x1的图象，再把函数的图象，再把

13、函数y3x1的图象向上平移的图象向上平移1个单位就得到函数个单位就得到函数y3x11的图象，如图的图象，如图_x4311yOxy313xy131xy 知识要点知识要点1.1.整数指数幂及其运算法则整数指数幂及其运算法则( ,)( ,)()( ,)()()mnm nmm nnmnmnnnnaaam nZaam nZaaam nZababnZ)0( 10aa*), 0(1Nnaaann 2.2.分数指数分数指数（1 1）根式的定义；）根式的定义；（2 2）根式的性质；）根式的性质；（3 3）分数指数幂；）分数指数幂；一般地，若一般地，若 则则x x叫做叫做a a的的n n次方根次方根n n叫做根指

14、数，叫做根指数，a a叫做被开方数叫做被开方数 *), 1(Nnnaxn当当n n为奇数时，为奇数时， =a=a；当；当n n为偶数时，为偶数时， =|a|= =|a|= nnanna)0()0(aaaanmnmaanmnmaa1 设函数y1=a2x2+1,y2=ax2+5,求使 y11时，使y1y2,由性质(3)有 2x2+1x2+5 x 24 -2x2 (2)当0a1时，使y1x2+5 x24 x2或x2或x二、课前练习二、课前练习 例例4 .如图是指数函数如图是指数函数y=ax, y=bx, y=cx, y=dx的图象则的图象则a,b,c,d与与1的大小关系是的大小关系是( )在在y轴右

15、侧的图象，底大图高轴右侧的图象，底大图高.xyoab1cdB. ba1dcC. ab1dcC. ba1cdB在第一象限内在第一象限内,按逆时针方向按逆时针方向,底数越来越大底数越来越大.记忆方法记忆方法:x=1例例1、解下列不等式解下列不等式221341 61201( ).( ).(,)xxxaaaa 且且(1)解：解：160 原不等式可化为原不等式可化为 21066x y6x是是R上的上的增函数增函数原不等式等价于原不等式等价于 x210解得：解得：-1x1原不等式的解集为原不等式的解集为 (-1，1) 四、例题讲解四、例题讲解当当0a1时时yax是是R上的上的减函数减函数原不等式等价于原不

16、等式等价于 3x0解得：解得：x4当当0a1时时yax是是R上的上的增函数增函数原不等式等价于原不等式等价于 3xx2-4 即即 x2-3x-40解得：解得：-1x1时时原不等式的解集为原不等式的解集为 (-1，4) 例例2 、截止到、截止到1999年底，我们人口哟年底，我们人口哟13亿，如果今亿，如果今后，能将人口年平均增长率控制在后，能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过，那么经过20年年后我国人口数最多为多少（精确到亿）？后我国人口数最多为多少（精确到亿）？解：设今后人口年平均增长率为解：设今后人口年平均增长率为1%，经过，经过x年后年后 我国人口数为我国人口数为y亿，则亿，则 13(1 1%)xy 2013(1 1%)16()y 亿当x=20时， 答：经过答：经过20年后，我国人口数最多为年后，我国人口数最多为16亿亿.10101122144), A B C D xya