反比例函数知识点及典型例题

1、反比例函数知识点及考点：(一)反比例函数的概念: 知识要点:1、一般地，形如 y = k ( k是常数，k = 0 )的函数叫做反比例函数。x注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)解析式有三种常见的表达形式：(A) y = k(kw 0) ,(B)xy = k (kw 0)(C) y=kx-1 (kw0)x例题讲解：有关反比例函数的解析式111x1(1)下列函数， x( y 2) 1.y y =.y 一y y ；其中是y关x 1 x2x23x于x的反比例函数的有： 。2(2)函数y (a 2)xa 2是反比例函数，则 a的值是()A . - 1B. - 2C. 2D. 2 或21

2、(3)若函数y ft(m是常数)是反比例函数，则 m=,解析式为 x(4)如果y是m的反比例函数， m是x的反比例函数，那么A .反比例函数B.正比例函数C. 一次函数D.反比例或正比例函数练习：(1)如果y是m的正比例函数，m是x的反比例函数，那么 y是*的()(2)如果y是m的正比例函数， m是x的正比例函数，那么 y是*的()k(5)反比例函数y (k0)的图象经过(一2, 5)和(，2 , n),x求1) n的值；2 )判断点B ( 4亚， J2 )是否在这个函数图象上，并说明理由(6)已知y与2x 3成反比例，且x 1时，y=2,求y与x的函数关系式.4（7）已知函数y y y2,其

3、中y1与x成正比例,y?与x成反比例，且当x = 1时，y = 1;x = 3时，y = 5.求：（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x =2时，y的值.（二）反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。2、位置：（1）当k>0时，双曲线分另位于第 象限内；（2）当k<0时，双曲线分另位于第 象限 内。3、增减性：（1）当k>0时,y 随x的增大而 ;（2）当k<0时,y 随x的增大而。4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点 ; （2）对于k取互为相反数的两个反比

4、例函数（如：y =和丫= -）来说，它们是关于 x轴，y轴。xx例题讲解：反比例函数的图象和性质：（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 .m2 2（2）若反比例函数y （2m 1）x 的图象在第二、四象限，则 m的值是（）A、 一1或1; B、小于1的任意实数；C、一 1；D、不能确定2（3）下列函数中，当 x 0时，y随x的增大而增大的是（）1 41A. y 3x 4 B y - x 2C. y D. y .3x2x2 一.一一（4）已知反比例函数y-；-的图象上有两点A （x1，y1），b（x2,y2）,且Xx2,则y y的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定（5

5、）若点（x1y1）、（ x2, y2）和（x3,y3）分别在反比例函数y2的图象上，且xXix2 0X3,则下列判断中正确的是（A.yiy2丫3B. y3y1y2C.y2y3yd.y2yik 1在反比例函数y 的图象上有两点x(x1, y1)和(x2, y?),若x10 x2时，yi y2,则k的取值范围是（7）老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质甲：函数的图象经过第二象限乙：函数的图象经过第四象限丙：在每个象限内,y随x的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数（8）作出反比例函数y 4的图象，结合图象回答:x当x=2时，y的值;(2)当1VXW4

6、时，y的取值范围;当1Wy<4时，X的取值范围.（三）反比例函数与面积结合题型。知识要点:1、反比例函数与矩形面积:k右Rx, y）为反比例函数y -（kW0）图像 xPM/L x轴于 M彳PNh y轴于N,求矩形分析：S矩形PMO= PM PNy x xyk y , xy=k,x作2、反比例函数与矩形面积:若Qx,y）为反比例函数轴于A（或作QBL y轴于E），连结QO则所得三角形的面积为:ky 一 （kw。）图像上的任意一点如图 x图说明：以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关(1)如图3,在反比例函数 y 6 (x<0)的图象上任取一点 P,过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂

7、足分x图7MNLx轴，垂足为 N.如果Samon=2,这A C两点,别为M N,那么四边形 PMON的面积为k(2)反比例函数y 的图象如图4所不，点M是该函数图象上一点, x个反比例函数的解析式为2(3)如图5,正比例函数y kx (k 0)与反比仞函数y 一的图象相交于 x过点A作AB，X轴于点B,连结BC.则A ABC的面积等于(A. 1B.2 C. 4D.随k的取值改变而改变.(4)如图6,B是函数的图象上关于原点对称的任意两点,BC/轴，AC/轴， ABC勺面积记为，则(A.C.D.(5)如图7,y轴正半轴上的任意一点 P,彳x轴的平行线,分别与反比例函数y4 .2一和y 的图象交于

8、点A和点B,若点C是x轴上任意一点，连接 AG BC则 ABC的面积为(四)一次函数与反比例函数一次函数y=-2x+1和反比例函数<5y=：的大致图象是(A、B、 C、(2) 一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是k2 , 一(3) 一次函数 y产k1x+b和反比例函数 y2=(k1？k2W0)x的图象如图所示,若yi>y2,则x的取值范围是()A、- 2<x<0 或 x> 1B、 一 2< x< 1C、xv 2 或 x>1D> xv 2 或 0vxv1x2(4)正比例函数y 一和反比例函数y 一的图象有个交点.2xk 一(5)

9、正比例函数y=kix(k产0)和反比例函数y= (k 20)的一个交点为(m,n),则另一个交点为 .x(6)设函数y=2与y=x- 1的图象的交点坐标为(a, B),则1 1的值为xa bk 如图，Rt A ABO勺顶点A是双曲线y 与直线y x m?在第二象限的交点，AB垂直x轴于B,且S3Bk -,2则反比例函数的解析式 .一.4 一， r ，一 一、"k .一 一一 . 、.一一(8)右反比例函数y人与一次函数y=3x + b都经过点(1 , 4),则kb=.(第(7)题)x(9)如图，已知A (4, a), B (2, 4)是一次函数y=kx + b的图象和反比例函数 y=

10、 m的图象的交点. x(1)求反比例函数和一次函数的解祈式；(2)求 A0B的面积.kk(10)如图，在平面直角坐标系中，直线y x 与双曲线y 在第一象限交于点 A,2x与x轴交于点C, AB± x轴，垂足为 B,且SAoB=1求:(1)求两个函数解析式;(2)求 ABC的面积.(11)平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A,交y轴于点B且与反比例函数图象分别交于C D两点，过点解析式和反比例函数解析式.C作CMLx轴于 M AO=6 BO=3 CM=5求直线 AB的(五)反比例函数的应用：例题讲解：1 . 一个水池装水12立方米，如果从水管中每小时流出x立方米的水，经过 y小时可

11、以把水放完，那么 y与x的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 .2 .三角形的面积为 6cm2,如果它的一边为 ycm,这边上的高为 xcm,那么y与x之间是 函数关系，以x为自变量的函数解析式为 .3 .长方体的体积为40cm3,此长方体的底面积 y(cm2)与其对应高x(cm)之间的函数关系用图象大致可以表示为下面的().4 .下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是 ().(A)小明完成百米赛跑时，所用时间 t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系(B)长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系2(C)压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m)之间的关系(D)一

12、个容积为25L的容器中，所盛水的质量nmkg)与所盛水的体积 V(L)之间的关系5 .在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体 对汽缸壁所产生的压强，如下表：体积x(ml)10080604020压弓虽y(kpa)6075100150300则可以反映y与x之间的关系的式子是().(A)y= 3000x(B)y = 6000x(C) y 3000(D) y 60006.甲、乙两地间的公路长为300km. 一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为V(km/h),到达时所用的时间为t ( h),那么t是V 的函数,V关于t的函数关系式为 7.农

13、村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布 y(m2)与半径R(m)的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)8 .有一面积为60的梯形，其上底是下底长的三分之一，若下底长为x高为y,则y关于x的函数关系式是()，八 4530-90_(A) y (x 0) (B) y (x 0) (C) y (x 0)(D)15y (x 0)x39. 一个长方体的体积是 100cm ,匕的长是 y(cm),范是5cm,图是x(cm).(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量 x的取值范围;(2)画出(1)中函数的图象;(3)当高是3cm时，求长.10. 一个气

14、球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的 气压p(kPa)是气体体 积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.(1)写出这一函数的解析式；(2)当气体体积为1m3时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于 140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？11.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6毫克，请根据题图中所提供的信息解答下列问题：(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取

15、值范围是 ;药物燃烧后y关于x的函数关系式为.(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量小于毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于 10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？练习1.反比例函数的概念(1)下列函数中，y是x的反比例函数的是().A y=3xB.C. 3xy=1D.(2)下列函数中，y是x的反比例函数的是().A.B.C ,D.2.图象和性质(1)已知函数是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么 k=.若y随x的增大而减小，那么 k=.(2)已知

16、一次函数 y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第 象限.(3)若反比例函数经过点(，2),则一次函数的图象一定不经过第 象限(4)已知a-b<0,点P (a, b)在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是().A第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(5)若P (2, 2)和Q (m,)是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、二象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限(6)已知函数和(kw0),它们在同一坐标系内的图象大致是().B.C.D.3 .函数的增减性(1)在反比例函数的图象上有两点,，且

17、，则的值为().A.正数B.负数C.非正数D.非负数(2)在函数(a为常数)的图象上有三个点，则函数值、的大小关系是().A. <<B. <<C. vv D. <<(3)下列四个函数中：；.y随x的增大而减小的函数有().A. 0个B . 1个C. 2个D. 3个(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当 x> 0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而(填“增大”或“减小”).4 .解析式的确定(1)若与成反比例，与成正比例，则 y是z的().A.正比例函数B .反比例函数C. 一次函数D.不能确定(2)若正比例函数 y

18、=2x与反比例函数的图象有一个交点为(2, mD ,则m= k=,它们的另一个交点为.(3)已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值.(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为P (x 0, 3).求x o的值；求一次函数和反比例函数的解析式.5 .面积计算(1)如图，在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向 x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、，则().A.B.C.D.第（1）题图第（2）题图（2）如图，A B是函数的图象上关于原点 O对称的任意两点，AC/y轴，BC/x轴，4ABC的面积S, 则（）.A. S=1B. 1vS<2C. S=2D, S> 2（3）如图，RtAOB的顶点A在双曲线上，且 SAAOB=3求 m的值.第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线 y=x, y=2x在第一象限内分别相交于 P1和P2两点，过P1分别作x 轴、y轴的垂线P1Q1, P1R1,垂足分别为 Q1, R1,过P2分另1J作x轴、y轴的垂线P2 Q 2 , P2 R 2 ,垂足 分别为Q 2, R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小.（5）如图，正比例函数 y=kx （k>0）和反比