坐标法解立体几何习题及解析

1、百度文库-让每个人平等地提升自我坐标法解立体几何i空间直角坐标系: 单位正交基底，用S i）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为口国点O为原点，分别以I,j,k示；（2）在空间选定一点 O和一个单位正交基底I, j,k,以的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、2坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz,点O叫原点，向量向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2.空间直角坐标系中的坐标：存在唯一的有序实数组（x, y, z）,使在司用直角坐母系 O xyz中，对空间任一点 A OA xi yj zk,有序实数组在空间直角坐标系 O x

2、yz中的坐标，记作 坐标.3.空间向量的直角坐标运算律：（A(x, y, z) , x叫横坐标.)若 a (ai,a2,a3) ， b（x, y, z）叫作向量 Ay叫纵坐标，z叫竖（b,b2,0）,则a b (aiLa 1 ( ai,b,a2 b2,a3 ha2, a3)(R)，(ai b,a2 b2,a3 h),b a|b| a2a/baiA(,yi,zi)bi,a2b2,a3bB(x2,y2,Z2),则 A(R)，a3b30 . ( 2)若（X2 xi,y2 yi,Z2 Zi）. 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若(ai,a2,

3、a3), b (bi,b2,b3),则 |M|-2224ala2a3 ,aibia2b283b3cos a b异面直线所成的夹角:,2,，b3 . 5.夹角公式:2. 2. 2b2b3cos = I cos <a ? b > I -A(x,yi,Zi), B(X2,y2,Z2),则 |aB | 舄26.两点间的距离公式：若,、2,、2,.2、5/(x2 xi)(y2 yi)(z2 zi)，或d A,BJ(x2x)(y2 Yi)(22 zi)7、法向量直线的法向量：在直线 L上取一个定向量a,则与a垂直的非零向量n叫直线L的 法向量平面的法向量：与平面垂直的非零向量n叫平面的法向量.

4、构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了桥梁的作用，在解题过程中只 须求出而不必在图形中作出来.在空间直角坐标系下，构造关于法向量坐标的三元一次方 程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值.其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定.一、平面的法向鬓,例i已知AB= （2 2, i）, AC=（4，5，3）,求平面 八呼的法向量解：设面 ABC勺法向 量 n （x, y, z）,则 n AB 且 n AC ,即 n - AB =0,且 n 丁 AC =0,即 2x+2y+z=0 且i n x z, 4 i4x+5y+3z=0,解得 2 ，n =z （ ，一 i, i）2

5、 y z,点评：一般情况下求音向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有 一个自由度，可把 n的某个坐标设为i,再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向 量，故法向量的相反向量也是法向量。百度文库-让每个人平等地提升自我12、空间里的垂直关系1、 如图，在正方体 ABCD-ABCD中，E、F分别是BB、CD的中点证明AD XDF;解：取 D为原点，DA DC DD为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系， 取正方体棱长为 2,则 A二，0、A (2, 0, 2)、D (0, 0, 2)、E (2,2、 1)、F (0, 1 , 0) . DA DiF = (2, 0, 0) (0, 1

6、, 2) =0, AD ±DF2如图，已知正三棱柱/ ABC A1B1C1的棱长为,、2,底面边长为1, M是BC的中点.在直线CC上求一点N ,使MNAB1；解：以A&AA1分别为y轴、z轴，垂直于 人&人人的不为*轴建立空间直角坐标系A xyz,设|CN | a,则有3 1 A(Q0,0卜 Bi (, ,2)、2 2一 二3 1 一MN( - - a) AB14 4M (33,0)、N(0,1,a).4 4(3,-,2),由福 MN得2 2MN ABi 0( -,-,a)4 43 1(子” 031八2a8 81a -83、在直二面角 A AB- E中，四边形 AB

7、C比边长为2的正方形,AE=EB=/2, F 为 CE上的点，且BFL平面ACE.(I )求证：AE1平面BCE(n)求证：平面 BDFL平面 ABCD.证明：.ABCM正方形，.二BCAB,二二面角 D- AB- E为直二面角,解得,BCX面 AEB以线段AB的中点为原点O, OE所在直线为x轴，AB 所在直线为y轴，过。点平行于AD的直线为z轴，如图 建立空间直角坐标系0-xyz,则A(0, 1, 0),B(0,1,0) , C(0,1,2)D(0, 1,2), E(1, 0,0), .F 为 CE上的点,EC =( -1,1,2), EF= EC=(-, 2 ),，F (匚，2 BF=(

8、1-,1,2 ), AC =(0,2,2), AE=( 1,1,0), . BU平面 ACE BF?WC=2(1) 4 =0且1=0,),(I)x0=1, = ； , 1- E (1,0,0 ) , F( , AE=(1,1,0), BE=(-1,1, 0),2).-.AE± BE, BC面 AEB,BC±(n)面 abcM法向量为IAEL平面BCE;二(1, 0,0)，设面BFD的法向量为m= (x, y ,=(3,m ?BF32=x32), BD=(0, -2, 2), 322y z=0 且 m?BD =332y 2z=0,取 z=1,则 y =1, x=0 m =(0

9、, 1, 1),m?OE =0, .平面 BD吐平面 ABCD例7:在正方 体4助3中.E, F分别是CE二£口的中总求证:4*_1_平面ER以1正洱：女育日i反;国分&力传由诵由三在 建迂诃可宜用将栋设正司树钳希为2 / A(ao,0),H(2,2 0),dC2,Q2) E(q2>l)JF(l> 1,0)/二JLL 4由=(220)衣=(Q2D/K, 尸£»=(一11书4220) =0“m”： 一( 1.1 2)*(Q2D-0j牙户 1 成彳 R_l_度；二H 广 I15平面人80平面ABEF ABC比正万形，ABEF是矩形，且 AF -AD

10、 a,G是EF的中 2点，求证平面 AGCL平面BGC解：如图，以A为原点建立直角坐标系，则A (0, 0, 0) , B (0, 2a, 0) , C (0, 2a, 2a) , G (a, a, 0) , F(a,a,0),设平面AGC勺法向量为aG n1 0ax1AC n 02ay(0 2a,2a) BGni (x,y1,i)ay1 0x12a 0 y(a,Ia,0), BC(0,0, 2a)n1 (1, 1,1)BGC勺法向量为BG n2BC n.n1 3(1,y2,z2)，(a, 0, 0)a ay22az2 02即 n1n2V2 1Z21n2 (1,1,0)平面AGCL平面BGC三

11、、空间里的平行关系1、在正方体AC中，E为DD的中点，求证: 证明：如图建立坐标系。-外工设仞=2M(2,0,2)-Ct(0,27X£(OAl) LI.1.JjC1 =( 2,2,0)T Afi - (-2:0, 1)TDB. - (111).快平面Cj的法向量忖=(%人办则|'谒*疥0 hn r-2t + 2v-n，但为=QI-Z*t=0DB曰有"口】一：】；vDB； « = 1 + 1-2=0, DB1k4DB /平面4cg例6隹正方形A13CD A 一 EQDd ,求证：平面 A疗| 平面，'/?»】 ABCD A1B1C1D1 D

12、D C1D1 B1F ABE A1 B1BE BA1 BEA m x y z m?BE 2x 2y z m ?BA1 2x 2z xz y 3 m 3 CiDi BiF ABE x0 x0BF 22x0 2m?2)f2 ( 1) 2 %CiDi BiF ABE四、空间的角i、直三棱柱 ABC ABiCi 中，若/BAC 90 , AB ACACi所成的角。如图建立空间坐标系，设异面直线BAi与ACi所成的角为一 | BA. AC"则cos,_ ,设 AB=a ,易求点 B坐标:|BAi |ACi |点A坐标：(0,0,，点A坐标:(0, 0, 0)(0, a、0),，点Ci坐标：(a

13、,cos0 , a ),所以|0 aBA(0, a, 0 a a |a) , ACi,222222,0( a) a . a 0 a2a2 a2(a, 0, a)i2求异面直线BAi与602、在四B P,ABCD 中，ADAB,CD /ABPD，底面 ABCD, AB2,直AD线PA与底面ABCD成60°角，点M,N分别是PA、(i)求异面直线 DN与BC的夹角的余弦值；(2)求直线PA与面PBC所成的角正弦值；(3)求二面角PNC-D的大小的余弦值.解析：以D为原点，向量 正方向，建立坐标系，设. PD，底面 ABCDDA, DC, DP的方向分别为AD=i,则 AB=2AD =2,

14、PB的中点./ PAD为直线PA与面ABC所成的角,/ PAD=600 ,. PD=J3 ,D(0,0,0), A(i,0,0), B(i,2,0),C(0,2,0),P(0,0,3),M(；,0,3n(1,i,旦222DN=( 2,i,异面直线DN与BC的夹角的余弦值为| cos DN, BC | =l?l(2)PA=(i直平，0, - 73),4=(i , 2, J3),设面PBC的法向量为PA与面PBC所成的角为则 m?PB=X1 2yi=0 且 m?| m ?A. 2i m =(0,2, J3), sin -=1 Xi =0,取 Zi =2,则 Xi =0, yi = J3|m|?l由

15、(2)知面PBC的法向量为 m =(0,2,L 7J3),设面CDN的法向量为n = (x2, y2, z2),=(-2i= 2x2),DC =(0,2,0)2y2z2=0 且 n ?2=(0, 0, B ,= 2y2=0,取 z2=i,贝U x2 = - V3，y2 =0,则 n =( - 33 , 0, 1)I又 m?Dp=3>0,cos m,nm ?n = . 21|m|?|n|14n?Dp = J3>0,，二面角p nc-d的大小的余弦值为【点评】(1)对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为.21.14m、 n ,在求出m、n的夹角，设两异面直线的夹角 ，利

16、用cos =|cosm,n) |求出异面直线的夹角，注意：异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角的大小问题，先求出平面 、的法向量m、n ,再求出m、n的夹角，在内取一点A,在 内取一点B,设二面角/ l 大小为，若n?T与m?T同号，则=(m,n),若n?T与 m ?aB异号，则 =(m,n),注意二面角大小与法向量夹角的关系、'(3)对于线面夹角问题，求出线面夹角问题中，求出直线的方向向量m和平面法向量n ,设线面角为 ： 则直线方向向量 m在平面法向量n方向上的投影的长度1 m?n I与直线方向向量 m的模之|n| m |比1 m ?n |就是线面夹角的正弦值，即 sin

17、=|m?n |.| m | n |m |n |3、如图， BCD与 MCD都是边长为2的正三角形，平面 MCD平面平面 BCD , AB 2 J3.(1)求直线AM与平面BCD所成的角的大小；(2)求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.解：如图建立空间坐标系，设直线 AM与平面BCD所成的角的大小为九 AB 平面BCD是平面BCD的一个法向量花 | AM BA|故sin 点A坐标：(0, 0, 23)点B坐标：(0| AM |BA|0,点M坐标：(3 ,上3 , J3 ) 22(注明：先作 MOL CD于O,过点C作CH BD于E, CGL y轴于。也y轴于H,再利用坐标定义求出点 M

18、坐标)G,过点于是AM3(2sin,32|32BA(0, 0, 24r3)03 2.3|“l)2(；)2 (3)2 0202 (2、.3)22BCD, AB0)。作 OF, BD于 F6.1245(2)易知平面 BCD勺一个法向量为 n1 =(0, 0, 1)设平面ACM勺法向量n2 (x0)n2 1 AM 可得 n2 AC =0,而 A (0, 0, 2，M(-2n2 AM =0,5 , C(1 , M2AM(3,手,5 等gl, 2 )AC (1,73,2北)所以2z 02.3z2z取z2, x 0(0, 2,1)0 0 2 1%151_5"5"，平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值为4、如图，四棱锥PA AB 金,占八、5ABCD中，底面ABCD为矩形，PAE是棱PB的中点.(1)(2)(1)证明：AE若 AD 1,平面PBC ;求二面角B EC证明：如图建