直线与平面垂直的判定

1、直线和平面垂直判定教学目标：1 .理解直线与平面垂直的定义；2, 掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程；3. 应用直线与平面垂直的判定定理解决问题 -教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程 教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程 教学方法：探究法教 具：多媒体、实物投影仪教学过程一、复习引入：1 直线与平面的位置关系2 直线与平面平行的判定与性质3思考：天安门前的国旗杆与天安门所在地面上的所有直线是什么关系？与其所 在的地面又是什么关系？（垂直）今天就来研究一下线面垂直问题二、新授：1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任 意一条直

2、线都垂直，我们就说这条直线和这个平面 互相垂直”其中直线叫做平面的 垂线, 平面叫做直线的 垂面交点叫做垂足.直线与平面垂直简称线面垂直，记作：I丄 画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂 直如图所示：说明：“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂 直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？） 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足+ a丄a等价于对任意的直线mua，都有a丄m. 直线与平面垂直的判定方法：定义法例1.求证：若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知：a

3、 II b,a丄 求证：b丄a. 证明：设m是内的任意一条直线a -:m a _ ma/bb - mmb - -本题的作用：要证b丄，没有办法？而已知a/ b,只需证a丄即可，在证题时 起转移作用，但具体要证a丄还需其他方法，2. 判定定理：探索： 一直线垂直于平面内的一条直线则直线垂直于平面 一直线垂直于平面内的两条直线则直线垂直于平面 一直线垂直于平面内的无数条直线则直线垂直于平面(2)猜想：一直线垂直于两相交直线，那么垂直于这个平面 图形表示：符号表达：若I丄m，I丄n，m A n = B， m ： ， n _ ：，则I丄(5)验证：已知：m、n是平面内的两条相交直线，直线I与的交点为B

4、,且I丄m，I丄n 求证：I丄分析：在o(内平移m，n，使它们都通过点B，这时m，n仍保持和I垂直*过点B 作任一条不与m，n重合的直线g，如果我们能根据I丄m且I丄n推出I丄g，那么就证 明了直线I和过点B的所有直线都垂直，即I垂直:为此，我们在I上自点B起于平面口的两侧分别截取BA=BA，于是m，n都是线 段AA的垂直平分线，它们上面的点到 A、A'的距离相等如果我们能证明g上的点到A、A'的距离也相等，那么g也是AA的垂直平分线， 于是g就垂直于I +在g上任取一点E，过点E在内作不通过点B的直线，分别与m, n相交于点C、 D,容易证明厶AC雀A CD，进而又可证明 A

5、CEAA CE于是EA=EA, g丄I.一般地：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个 平面+已知：m, n 是平面内的两条相交直线，直线I与的交点为B，且I _m：I_ n，求证：I证明：过点B作m/m； nn，.T _ m , I _ nI _ m, I _ n，过B任作直线a，在I上于平面两侧分别截取BA二BA，. m,n都是AA的垂直平分线，.AD =AD,AC =AC，在a上任取点E，过E在平面内作不通过B的直线分别 与m,n相交于点C, D，. ACD 二=ACD，. ACD ACD，又 AC = A C，.ACE 三- A CE，二 AE = A E.a

6、 _ I， . I -.(6)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么这条直线垂直于这个平面三、例题：例 1.如图，已知平面，-EF， A 二 AB 二 B 一：，BC 一：，C :求证：EF_平面ABC(2)AC _ EF例2.过一点和已知平面垂直的直线只有一条 已知：平面:和一点P.求证：过点P与垂直的直线只有一条.证明：不论P在平面内或外，设直线PA.I二，垂足为A (或P )若另一直线PB _ :，设PA, PB确定的平面为，且丿1:a PA _ a, PB _ a又 PA,PB在平面1内，与平面几何中的定理矛盾所以过点P与垂直的直线只有一条结论：

7、过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直， 过空间内任一点也有且只有一 条直线与已知平面垂直例3.有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的 下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上)C,D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么?解：在 ABC和.ABD中，AB =8m, BC = BD =6m,AC = AD =10m2 2 2 2 2 2- AB BC =68 =10 二 ACAB2 BD2 =62 82 = 102 二 AD2 ABC 二 ABD 二 90即 AB _ BC,AB _ BD 又t B,C, D 不共线 AB _平面BCD，即旗杆和地面垂直；例4.已知：空间四边形 ABCD，AB=AC，DB = DC， 求证：BC AD四、练习：1. 选择题(1) “直线丨垂直于平面：内的无数条直线”是“丨丄:”的(B )E(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(2)如果一条直线丨与平面的一条垂线垂直，那么直线丨与平面的位置关系是(D )(A)丨二:；(B) l 丄(C)l / ：(D)丨"或丨 /2. 填空题(1) 过直线外一点作直线的