有效数字与运算规则20140512

1、有效数据定义、运算及其修约规则一、有效数据1.1有效数字定义有效数字是指实际能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。1.2实际意义有效数字能反映出测量时的准确程度。例如，用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23cm，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，如测得物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。这个数值就是四位有效数字。在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效

2、数字。例如，分析天平称得的物体质量为7.1560g，滴定时滴定管读数为20.05mL，这两个数值中的“0”都是有效数字。在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字。（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字（2）分析天平（万分之一）取4位有效数字（3）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L（4）pH 4.34 ,小数点后的数字位数为有效数字位数 对数值，lgX =2.38；lg(2.4´102) 1.3有效数字中0的意义0在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：物质称量瓶Na2CO

3、3H2C2O4·2H2O称量纸质量（）10.07801.20560.20440.0120有效数字位数6位5位4位3位 以上数据中“0”所起的作用是不同的。“0”是有效数字：10.0780，6位有效数字。1.2056中，5位有效数字。“0”作为数字定值： 0.2044中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字；0.0120中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。 称量精确至0.0002g; 15000m 和10000g很难肯定其中的0 是否是有效数字还是数字定值，写为1.5×104m，则表示有效

4、数字是二位；如果把它写为1.50×104m则表示有效数字是三位。综上所述，数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字，而数字前面所有的“0”只起定值作用。以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不确定。二、数字修约规则我国科学技术委员会正式颁布的数字修约规则，通常称为“四舍六进五成双”法则。四舍六进五考虑，即当尾数4时舍往，尾数为6时进位。当尾数4舍为5时，则应是末位数是奇数还是偶数，5前为偶数应将5舍往，5前为奇数应将5进位。大（于）5进，小（于）5舍，是5看奇偶，奇进偶不进。这一法则的具体运用如下：a. 将22.125和22.155处理成4位有效数字，则分别为22.12和22.16。

5、b. 若被舍弃的第一位数字大于5，则其前一位数字加1，例如18.2645处理成3为有效数字时，其被舍往后的第一位数字为6，大于5，则有效数字应为18.3。c. 若被舍其的第一位数字即是5，而其后数字全部为零时，则是被保存末位数字为奇数或偶数（零视为偶），而定进或舍，末位数是奇数时进1，末位数为偶数时还进1，例如18.350、18.250、18.050处理成3位有效数字时，分别为18.4、18.2、18.0。d. 若被舍弃的第一位数字为5，而其后的数字并非全部为零时，则进1，例如18.2501，只取3位有效数字时，成为18.3。e. 若被舍弃的数字包括几位数字时，不得对该数字进行连续修约，而应根

6、据以上各条作一次处理。如35.454546 ，只取4位有效数字时，应为35.45,二不得按下法连续修约为35.46：35.45454635.4545535.454635.45535.46三、有效数字运算规则在分析计算中，有效数字的保存更为重要，下面仅就加减法和乘除法的运算规则加以讨论。3.1 加减法在加减法运算中，保存有效数字的以小数点后位数最少的为准，即以绝对误差最大的为准，例如：0.0121+25.64+1.05782=?正确计算             不正确计算0.0

7、1                   0.0121   绝对误差 0.000125.64                  25.64 0.01+    1.06    

8、;            +      1.05782 0.00001                            26.71    

9、60;              26.70992          上例相加3个数字中，25.64中的“4”已是可疑数字，因此最后结果有效数字的保存应以此数为准，即保存有效数字的位数到小数点后面第二位。3.2 乘除法乘除运算中，保存有效数字的位数以位数最少的数为准，即以相对误差最大的为准。例如：0.0121×25.64×1.05782=以上3个数的乘积应为

10、：不正确计算：0.0121×25.64×1.05782=0.3281823正确计算：0.0121×25.6×1.06=0.328在这个计算中3个数的相对误差分别为：        E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8        E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04     

11、   E%=（±0.00001）/1.05782×100=±0.0009 有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位数。 ±0.1 /139.8 ´ 100% =±0.07% 例：(0.0325 ´ 5.103 ´ 60.0)/ 139.8 = 0.0712（0.071179184） 0.0325 ±0.0001/0.0325 ´ 100%=±0.3% 5.103 ±0.001 /5.103 ´ 100%=±0.02% 60.06 &#

12、177; 0.01 /60.06 ´ 100%=±0.02% 139.8 ±0.1 /139.8 ´ 100% =±0.07%(0.0325 ´ 5.10 ´ 60.0)/ 140=0.0710 ±0.0002 /0.0710´ 100% =±0.28%显然第一个数的相对误差最大（有效数字为3位），应以它为准，将其他数字根占有效数字修约原则，保存3位有效数字，然后相乘即可。3.3自然数在分析化学中，有时会碰到一些倍数和分数的关系，化学计量关系中的分数和倍数，这些数不是测量所得，它们的有效数字位数可视为无限多位；如：        H3PO4的相对分子量/3=98.00/3=32.67水的相对分子量=2×1.008+16.00=18.02在这里分母“3”和“2×1.008”中的“2”由于它们是非丈量所得到的数，是自然数，其有效数字位数可视为无穷的。关于pH、pK和lgK等对数值，其有效数字的位数仅取决于小数部分的位数，因为整数部分只与该真数中的10的方次有关。例如，pH=13