直线与方程习题课

1、1.直线的倾斜角：理解直线的倾斜直线的倾斜角：理解直线的倾斜角的概念要注意三点：角的概念要注意三点：（1）直线向上的方向；直线向上的方向；（2）与与x轴的正方向；轴的正方向；（3）所成的最小正角，其范围是所成的最小正角，其范围是0,）.知识点回顾知识点回顾2.直线的斜率：直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是定义：倾斜角不是90的直线它的直线它的倾斜角的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，的正切值叫做这条直线的斜率，常用常用k表示，即表示，即k=tan.=90的直线斜率不的直线斜率不存在；存在；（2）经过两点经过两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）的）的直线的斜率公式（其中直线的斜率公式（其中x1

2、x2）.2121yykxx 3.直线的方程：由直线的几何要素确定直线的方程：由直线的几何要素确定（1）点斜式：点斜式：y-y0=k（x-x0）,直线的斜直线的斜率为率为k且过点（且过点（x0,y0）；）；（2）斜截式：斜截式：y=kx+b,直线的斜率为直线的斜率为k，在在y轴上的截距为轴上的截距为b；（3）两点式：直线过两两点式：直线过两点（点（x1,y1）,（x2,y2）,且且x1x2,y1y2；（4）截距式：直线在截距式：直线在x轴上轴上的截距为的截距为a，在，在y轴上的截距为轴上的截距为b；（5）一般式一般式Ax+By+C=0（A，B不全不全为零）为零）.112121,yyxxyyxx

3、1xyab ， 4.两条直线的平行与垂直：已知直线l1：y=k1x+b1;l2：y=k2x+b2，则直线l1l2k1=k2且b1b2；直线l1l2k1k2=-1. 5.求两条相交直线的交点坐标，一般通过联立方程组求解. 6.点到直线的距离： 点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0的 距离0022AxByCdAB ； 特别地，点P（x0,y0）到直线x=a的距离d=x0-a； 点P（x0,y0）到直线y=b的距离d=y0-b； 两条平行线l1：Ax+By+C1=0与l2： Ax+By+C2=0的距离 7.若P（x1,y1）,Q（x2,y2），则 线段PQ的中点是2122.CCdAB PQ

4、 221212xxyy（） （）；1212,.22xxyy（）练习1：直线ax+y-1=0与直线y=-2x+1互相垂直，则a=.12 练习2：若直线ax+2y-6=0与x+（a-1）y-（a2-1）=0平行，则点P（-1，0）到直线ax+2y-6=0的距离等于.5 重点突破：直线的倾斜角与斜率重点突破：直线的倾斜角与斜率 已知点已知点A（-3，4），），B（3，2），过），过点点P（2，-1）的直线）的直线l与线段与线段AB有公共点，求直有公共点，求直线线l的斜率的斜率k的取值范围的取值范围.直线直线PA的斜率的斜率k1=-1，直线，直线PB的的斜率斜率k2=3，所以要使，所以要使l与线段与线

5、段AB有公共点，有公共点，直线直线l的斜率的斜率k的取值范围应是的取值范围应是k-1或或k3. 直线的倾斜角和斜率的对应关直线的倾斜角和斜率的对应关系是一个比较难的知识点，建议通过正切函系是一个比较难的知识点，建议通过正切函数数y=tanx在在0,）（,）上的图象变）上的图象变化来理解它化来理解它.22已知点已知点A（-3，4），），B（3，2），过点），过点P（2，-1）的直线）的直线l与线段与线段AB没有公共点，则直线没有公共点，则直线l的斜的斜率率k的取值范围为的取值范围为. 可用补集思想求得可用补集思想求得-1k0），直），直线线l2：-4x+2y+1=0和直线和直线l3：x+y-1=

6、0，且，且l1与与l2的距离是的距离是（）求求a的值；的值；（）能否找到一点能否找到一点P，使得，使得P点同时满点同时满足下列三个条件：足下列三个条件：P是第一象限的点；是第一象限的点；P点到点到l1的距离是的距离是P点到点到l2的距离的；的距离的；点点P到到l1的距离与点的距离与点P到到l3的距离的比为若能，的距离的比为若能，求出求出P点坐标；若不能，说明理由点坐标；若不能，说明理由.75.101225.（）直线直线l2：2x-y-=0所以所以l1与与l2的距离的距离所以因为所以因为a0,所以所以a=3.122217251021ad （），（）1725105a ，（）假设存在点假设存在点P，

7、设点，设点P（x0,y0），），若若P点满足条件，则点满足条件，则P点在与点在与l1,l2平行的直平行的直线线l：2x-y+C=0上，且上，且解得解得C=或或.所以所以2x0-y0+ =0,或或2x0-y0+ =0.35C 11225C ，132116116132 若P点满足条件，则由点到直线距离 公式，有 即 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0， 由于P点在第一象限，所以3x0+2=0是不可能的.00002312552xyxy ，0000231xyxy， 联立方程联立方程2x0-y0+=0和和x0-2y0+4=0， x0=3 y0= (不合，舍去不合，舍去) 2x0-y0+ =0 x0

8、-2y0+4=0所以存在点所以存在点P()同时满足三个条件同时满足三个条件. 解得解得12由由116，解得，解得019x 03718y ，1 37,9 18132利用两平行线间的距离公式时，利用两平行线间的距离公式时，x，y项对应的系数必须相同；解决存在性项对应的系数必须相同；解决存在性问题，先假设存在，再加以推证问题，先假设存在，再加以推证.已知点已知点P（2，-1），过），过P点点作直线作直线l.（）若原点若原点O到直线到直线l的距离为的距离为2，求，求l的方程；的方程；（）求原点求原点O到直线到直线l的距离取最大的距离取最大值时值时l的方程，并求原点的方程，并求原点O到到l的最大距离的最

9、大距离. ()当lx轴时，满足题意，所以所求直线方程为x=2； 当l不与x轴垂直时，直线方程可设为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0. 由已知得解得k=.所以所求 直线方程为3x-4y-10=0. 综上，所求直线方程为x=2或3x-4y-10=0. ()结合几何图形，可知当l直线OP时，距离最大为5， 此时直线l的方程为2x-y-5=0.21221kk ，34经过点经过点P（2，1）的直线）的直线l分别与两分别与两坐标轴的正半轴交于坐标轴的正半轴交于A，B两点两点.()求当求当ABO（O为坐标原点）的面为坐标原点）的面积最小时直线积最小时直线l的方程；的方程；()求当求当OA+OB

10、最小时直线最小时直线l的方程；的方程；()当当PAPB最小时直线最小时直线l的方程；的方程； 求引入参数表示直线方程，建引入参数表示直线方程，建立相应的目标函数，确定当目标函数取最立相应的目标函数，确定当目标函数取最值时的参数，从而求得直线方程值时的参数，从而求得直线方程.设直线方程为设直线方程为y-1=k（x-2），显），显然然k0.令令x=0，得，得y=1-2k；令；令y=0，得，得所以所以A（0,1-2k），），B（2-,0）.12xk，1k（）ABO的面积的面积当且仅当当且仅当-=-4k，即，即k=-时等号成立，时等号成立，此时直线方程为此时直线方程为y-1=-（x-2），），所以当所

11、以当ABO的面积最小时直线的面积最小时直线l的方程的方程为为x+2y-4=0.1411122222kkSkk （）（）（）（）124224kk（）（），1k1212（）OA+OB=（1-2k）+（2-）=3+（-）+（-2k）3+2当且仅当当且仅当-=-2k，即，即k=-时等号成立，时等号成立，此时直线方程为此时直线方程为y-1=-（x-2），），所以当最小时直线所以当最小时直线l的方程为的方程为1k1k1-2kk（）（）32 2，1k2222OAOB 2220.xy（）PAPB当且仅当即当且仅当即k=-1时等号成立，时等号成立，此时直线方程为此时直线方程为y-1=-（x-2），），22212

12、212121kk（）（）2222112112 2kkkk（）（）2212 224kk ，221kk ，所以当最小时直线所以当最小时直线l的方程的方程为为x+y-3=0.解决与最值相关的问题，一解决与最值相关的问题，一般有两种思路，一种是用函数的思想，般有两种思路，一种是用函数的思想，建立目标函数求解；另一种是用几何性建立目标函数求解；另一种是用几何性质求解质求解.PA PB1.求斜率一般有两种方法，其一，已知求斜率一般有两种方法，其一，已知直线上两点，根据直线上两点，根据求斜率；其二，求斜率；其二，已知倾斜角已知倾斜角或或的三角函数值，根据的三角函数值，根据k=tan求斜率求斜率.斜率范围与倾斜角范围的转化，要斜率范围与倾斜