322垂径定理的应用

1、圆的对称性圆的对称性(2) (2) 垂径定理的应用垂径定理的应用3.23.2垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧MOACBN垂径定理垂径定理AM=MBAN=NBMOACBNAM=MBAN=NB垂径定理垂径定理推论推论1推论推论1. (1)平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。直于弦，并且平分弦所对的两条弧。MOACB

2、N垂径定理垂径定理推论推论1AM=MBAN=NB(2)(2)弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心, ,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧; ;MOACBN垂径定理垂径定理推论推论1AM=MBAN=NB(3)(3)平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径, ,垂垂直平分弦直平分弦, ,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧 圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所夹的弧相等。的弧相等。OABCDOABCDMM垂径定理垂径定理推论推论2ODCBAM解：连接解：连接OA在在 O中，直径中，直径CD弦弦AB AB =2AMOMA是直角三角形是直角三角形 CD = 20 A

3、O = CO = 10 OM = OC CM = 10 4 = 6在在Rt OMA中，中，AO = 10，OM = 6根据勾股定理，得：根据勾股定理，得：222AMOMAO86102222OMAOAM AB = 2AM = 2 x 8 = 16垂径定理垂径定理的应用的应用2 2、如图，在、如图，在O O中，中，ABAB为为O O的弦，的弦，C C、D D是直线是直线ABAB上两点，且上两点，且ACACBD BD 求证：求证：OCDOCD为等腰三角形。为等腰三角形。ABCDOE垂径定理垂径定理的应用的应用4、如图为一圆弧形拱桥，半径、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高，拱高为为4m，

4、求拱桥跨度，求拱桥跨度AB的长。的长。 ACBDO垂径定理垂径定理的应用的应用2.2.已知已知:AB:AB是是OO的直径的直径,CD,CD是弦是弦,AECD,AECD于于E,E, BFCD BFCD于于F. F. 求证求证:EC=DF.:EC=DF.AOGBFCDEOACDEFBG垂径定理垂径定理的应用的应用G.AOBECDFOABCDGEF解法训练解法训练:二、请你选择正确的答案二、请你选择正确的答案D垂径定理垂径定理的应用的应用1.下列命题中正确的是下列命题中正确的是( )A.弦的垂线平分弦所对的弧弦的垂线平分弦所对的弧;B.平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦;C.过弦的中点

5、的直线必过圆心过弦的中点的直线必过圆心;D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心;2.P2.P为为OO内一点内一点, ,且且OP=2cm,OP=2cm,若若OO的半径为的半径为3cm,3cm,则过则过P P点的最短弦长等于点的最短弦长等于( )( ) A.1cm B.2cm C. Cm D. A.1cm B.2cm C. Cm D.5cm52D垂径定理垂径定理的应用的应用解法训练解法训练: 二、请你选择正确的答案二、请你选择正确的答案3.3.已知已知:O:O中弦中弦ABCDABCD且且AB=9cm,CD=12cm, AB=9cm,CD=12cm,

6、 OO的直径为的直径为15cm,15cm,则弦则弦AB,CDAB,CD间的距离为间的距离为( )( ) A.1.5cm B.10.5cm; A.1.5cm B.10.5cm; C.1.5cm C.1.5cm或或10.5cm D.10.5cm D.都不对都不对; ;C垂径定理垂径定理的应用的应用解法训练解法训练: 二、请你选择正确的答案二、请你选择正确的答案OABCD1. 1. 同心圆中同心圆中, ,大圆的弦大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C,D,C,D,已知已知AB=4,CD=2,ABAB=4,CD=2,AB的弦心距为的弦心距为1,1,则两个同心圆的则两个同心圆的半径之比为半径之比为( )(

7、) A.3:2 B. : C. :2 D.5:4 A.3:2 B. : C. :2 D.5:42.2.已知已知:AB:AB是是OO的直径的直径,OA=10,OA=10,弦弦CD=16,CD=16,则则A,BA,B两点到两点到CDCD的距离之和等于的距离之和等于( )( ) A.24 B.12 C.16 D.6 A.24 B.12 C.16 D.6525BB垂径定理垂径定理的应用的应用解法训练解法训练: 二、请你选择正确的答案二、请你选择正确的答案3.3.已知已知: :矩形矩形ABCDABCD与与OO相交于相交于M,N,F,E.M,N,F,E.若若AM=2,DE=1,EF=8.AM=2,DE=1

8、,EF=8.则则MN=( )MN=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 A.2 B.4 C.6 D.8OABDCMNEFC垂径定理垂径定理的应用的应用解法训练解法训练: 二、请你选择正确的答案二、请你选择正确的答案6.6.已知已知: : 和和 是是OO的两条弧的两条弧, ,且且 =2 ,=2 ,则则( )( ) A.AB=2CD B.AB2CD A.AB=2CD B.AB2CD C.AB2CD D. C.AB2CD D.都不对都不对ABABCDCDABABCDCDC垂径定理垂径定理的应用的应用解法训练解法训练: 二、请你选择正确的答案二、请你选择正确的答案1.1.已知已知:AB:AB和和CD

9、CD是是OO的弦的弦,ABCD,ABCD于于E,OFCDE,OFCD于于F,AE=5,EB=13,F,AE=5,EB=13,则则OFOF的长为的长为( )( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 2.2.已知已知: :在在OO中中, ,弦弦AB=25,OA=13,CAB=25,OA=13,C是是ABAB上一点上一点. . 且且OC=5.OC=5.则则AC=( )AC=( ) A.9 B.16 C.9 A.9 B.16 C.9或或16 D.16 D.都不对都不对DC垂径定理垂径定理的应用的应用解法训练解法训练: 二、请你选择正确的答案二、请你选择正确的答案3.3.已

10、知已知:O:O的半径是的半径是r,ABr,AB是弦是弦,C,C是是ABAB的中的中 点点,CDAB,CDAB于于D,CD=1,D,CD=1,且且AB+CD=2r,AB+CD=2r,则则r=( )r=( ) A.1 B. C. D. A.1 B. C. D. 212325D垂径定理垂径定理的应用的应用解法训练解法训练: 二、请你选择正确的答案二、请你选择正确的答案4.4.已知直径已知直径ABAB被弦被弦CDCD分成分成AE=4,AE=4,EB=8,CDEB=8,CD和和ABAB成成30300 0角角, ,则弦则弦CDCD的弦心距的弦心距OF=_;CD=_.OF=_;CD=_.EOABCDF135

11、24.4.已知已知: :ABCABC中中,A=90,A=900 0, ,以以ABAB为半径作为半径作AA交交BCBC于于D,AB=5,AC=12.D,AB=5,AC=12.求求CDCD的长的长. .ABCED垂径定理垂径定理的应用的应用5.5.已知已知:O:O的弦的弦AB,CDAB,CD互相垂直互相垂直, , OEAD OEAD于于E,E, 求证求证:BC=2OE.:BC=2OE.OABCDE垂径定理垂径定理的应用的应用3.3.已知已知:AB:AB和和CDCD是是OO的两条等弦的两条等弦, ,点点E,FE,F分别在分别在ABAB和和CDCD的延长线上且的延长线上且BE=DF.BE=DF.求证求

12、证:EF:EF的垂直平分线经过圆心的垂直平分线经过圆心O.O.OFDCEABKL1.1.已知已知:AB,CD:AB,CD是是OO的两条平行的两条平行弦弦,MN,MN是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线. .求证求证:MN:MN垂直平分垂直平分CDCD2.2.在直径为在直径为130mm130mm的圆铁片的圆铁片上切去一块高为上切去一块高为32mm32mm的弓形的弓形铁片铁片. .求弓形的弦求弓形的弦ABAB的长的长. .3.3.已知等腰三角形已知等腰三角形ABCABC的底边的底边BCBC的长为的长为10cm,10cm,顶角为顶角为1201200 0, ,求它的外求它的外接圆的直径接圆的直径. .

13、OCDABMN作业作业:4.4.已知已知ABAB是是OO的弦的弦, ,半径半径OCAB,AB=24,OCAB,AB=24, OC=15, OC=15,求求BCBC的长的长. .5.5.用反证法证明用反证法证明: : 圆的两条不是直径的相交弦圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分不能互相平分OCAB作业作业:6.6.已知已知: :抛物线抛物线y=4xy=4x2 2-4(m+2)x+m-4(m+2)x+m2 2+4m-5+4m-5，抛物，抛物线与线与x x轴的两个交点分别是轴的两个交点分别是A,B,A,B,与与y y轴交于轴交于C C点点证明证明: :抛物线一定和抛物线一定和x x轴有两个不同的交点

14、轴有两个不同的交点; ;若若, ,试用含试用含m m的代数式表示的代数式表示ABCABC的面积的面积S;S;当当-5m1-5m1时时, , 求求ABCABC面积面积S S的最大值的最大值 求证求证:tgA+tgB:tgA+tgB为定值为定值. .作业作业:1.1.已知已知: :ABCABC内接于内接于O,O,弦弦CMAB,CNCMAB,CN是直径是直径,F,F为为ABAB中点中点, ,求证求证:CF:CF平分平分MCN.MCN.2.2.已知已知:O:O的直径的直径ABAB和弦和弦CDCD相交于点相交于点E,E,且且AE=1cm,EB=5cm,DEB=60AE=1cm,EB=5cm,DEB=60

15、0 0, ,求求CDCD的长的长. .1.1.在在OO中中, ,过圆周上一点过圆周上一点A A作弦作弦ABAB和和AC,AC,且且AB=ACAB=AC，M M和和N N分别为分别为ABAB及及ACAC弦的中点弦的中点. . 连连M M和和N N并反向延长交圆于并反向延长交圆于P P和和Q Q两点两点. .求证求证: PM=NQ.: PM=NQ.OCABPQHMN2.2.已知已知:O:O1 1和和OO2 2交于交于A,BA,B过过A A的直线分别交的直线分别交OO1 1和和OO2 2于于M,N.CM,N.C是是MNMN的中点的中点,P,P是是O O1 1O O2 2的中的中点点, ,求证求证:PA=PC.:PA=PC.O1O2MNACPEFQ3.O3.O1 1和和OO2 2相交于相交于A A和和B B两点两点, ,过点过点A A的直线的直线EFEF分