第19课四边形和平行四边形

1、1(2013浙江宁波)一个多边形的每个外角都等于 72， 则这个多边形的边数为()A5B6C7D8【解析】该多边形的边数是：360725.【答案】A2(2013浙江杭州)如图 191，在ABCD 中，下列结论一定正确的是()AACBDBAB180CABADDAC【解析】四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AB180.故选 B.【答案】B3(2013贵州六盘水)下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是()A正三角形B正六边形C正方形D正五边形【解析】正三角形、正方形、正六边形均能单独镶嵌平面，排除 A，B，C.D正五边形的一个内角度数为 1803605108，不是360的约数，不能

2、镶嵌平面，故选 D.【答案】D4(2013四川泸州)如图 192，四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是()AABDC，ADBCBABDC，ADBCCAOCO，BODODABDC，ADBC图 192【解析】A，B，C 均能判定 ABCD 是平行四边形，故排除D一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，也可能是梯形故选 D.【答案】D5(2013福建三明)如图 193，在四边形 ABCD 中，ABCD，请你添加一个条件，使得四边形 ABCD 成为平行四边形，你添加的条件是图 193【解析】答案不唯一，以 ABDC 为

3、例在四边形ABCD 中，ABCD，ABDC，四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)【答案】答案不唯一，如：ABCD 或 ADBC 或AC或BD或AB180或CD180等考点一多边形的有关概念和镶嵌考点一多边形的有关概念和镶嵌1n 边形(n3)的内角和(n2)180，外角和3602连结多边形不相邻两顶点的线段叫做多边形的对角线，从一个顶点出发，可以引 n3 条对角线3用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌4四边形不具有稳定性，如可拉伸的大门就利用了该性质考点点拨1多边形问题

4、常通过连结对角线转化为三角形问题来解决2多边形的边数、每一个内角度数、内角和之间可以互相转化，已知其中两个可以求第三个3能密铺的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 360，并使相等的边互相重合【精选考题 11】 (2013江苏扬州)一个多边形的每个内角均为 108，则这个多边形是()A七边形B六边形C五边形D四边形点评： (1)本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，难度较小(2)解决本题的关键是要会根据公式进行正确运算、 变形和数据处理解析：每个外角的度数是：18010872，则这个多边形的边数是：360725.故选 C.答案：C点评：(1)本题考查四边

5、形和五边形的内角和，难度较小(2)熟记多边形的内角和公式是解决本题的关键， 整体思想的利用也很重要解析：A45，BCD360A36045315.12BCD(52)180，12225.答案：225【精选考题 12】(2013四川乐山)如图194，在四边形 ABCD 中，A45.直线 l 与边 AB，AD 分别交于点 M，N，则12【预测演练 1】现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正方形，可以再选择正 n 边形搭配，则 n(填写一种即可)解析：答案不唯一，只要同一拼接点处能组成一个周角就行， 如： 2 个四边形和 3 个正三角形， 290360360.答案：3(答案不唯一)考点二正多

6、边形考点二正多边形正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形考点点拨1正多边形都是轴对称图形，正偶数边形也是中心对称图形2求正多边形外角(或边数)时常利用外角和除以边数(或一个外角的度数)【精选考题 2】 (2013浙江台州)如图 195，已知边长为 2 的正三角形 ABC 顶点 A 的坐标为(0，6)，BC 的中点 D 在 y 轴上， 且在 A 的下方，点 E 是边长为 2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中 DE 的最小值为()A3B4 3C4D62 3点评： (1)本题主要考查正多边形的计算及等边三角形的性质，难度中等(2)解决本题的关键是从

7、图形中提取直角三角形解析：如解图 1，当点 E 旋转至 y 轴上时，DE 最小ABC 是等边三角形，D 为 BC 的中点，ADBC，B60.ABBC2，ADABsinB 3.正六边形的边长为 2，易得 OEOE2.点 A 的坐标为(0，6)，OA6，DEOAADOE4 3.答案：B【预测演练 2】如图 196，两个正六边形的边长均为 1，其中一个正六边形的一边恰好在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是()A7B8C9D10(说明： (1)(2)的计算结果精确到 0.1 m， 参考数据：21.41，31.73， 52.24， 62.45.)解析： 正六边形每个内角都是

8、 120， 对角线平分一组对角，因此ACBABCEFGEGF60，所以ABC 与EFG 都是等边三角形，因此 ABAC，EGEF，因此这个图形外轮廓线的周长相当于 8 条边长答案：B考点三平行四边形的性质考点三平行四边形的性质1有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2平行四边形的性质：(1)平行四边形的邻角互补，对角相等；(2)平行四边形的两组对边分别相等；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形考点点拨1研究四边形的相关问题时，常从边、角、对角线三个角度考虑2平行四边形的性质常用于证线段相等、角相等或计算边长、角度等，在应用时注意分清对边、邻边、对角、邻角等3平行四

9、边形的对角线互相平分，这一性质常用来证线段相等或互相平分或求对角线长4连结对角线是平行四边形中最常用的辅助线【精选考题 3】(2013浙江台州)如图 197，在ABCD 中，点 E，F 分别在边DC，AB 上，DEBF，把平行四边形沿直线 EF 折叠，使得点 B，C 分别落在点B，C处，线段 EC与线段 AF 交于点G，连结 DG，BG.求证：(1)12；(2)DGBG.点评： (1)本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，难度中等(2)解决本题(2)的关键是证DEGBFG.解析：(1)在ABCD 中，DCAB，2FEC.由折叠，得1FEC，12.(2)12，EGGF.ABDC，DEG

10、EGF.由折叠，得 ECBF，BFGEGF.BFGDEG.DEBF，BFBF，DEBF，DEGBFG(SAS)，DGBG.【预测演练3】 如图198， 已知ABCD，DE 是ADC 的角平分线，交 BC 于点E，连结 AE.(1)求证：CDCE；(2)若 BECE，B66，求DAE 的度数解析：(1)在ABCD 中，ADBC，ADECED.又ADECDE，CDECED，CDCE.(2)在ABCD 中，ABCD.又CDCE，BECE，ABBE，BAEBEA.B66，BEA12(18060)57.ADBC，DAEBEA57.考点四平行四边形的判定考点四平行四边形的判定1两组对角分别相等的四边形是平

11、行四边形2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3两组对边分别相等(或平行)的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形考点点拨平行四边形的判定方法较多，但基本上是用角、边、对角线的关系来判定，如：(1)若条件中涉及角， 试着用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；(2)若条件中涉及对角线， 试着用“对角线互相平分”来证明；(3)若条件中涉及边，试着用“两组对边分别平行(或相等)”或“一组对边平行且相等”来证明也可以添加适当的辅助线，构建平行四边形，其中最常用的辅助线是连结对角线【精选考题 4】(2013湖南郴州)如图 199，已知BEDF，ADFCBE，AFCE，求证

12、：四边形DEBF 是平行四边形图 199点评：(1)本题主要考查平行四边形的判定，难度中等(2)解决本题的关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解析：BEDF，CEBAFD.在ADF 和CBE 中，ADFCBE，AFDCEB，AFCE，ADFCBE(AAS)，BEDF.又BEDF，四边形 DEBF 是平行四边形【预测演练 4】如图 1910，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形 ABCD 是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)关系：ADBC；ABCD；AC；BC180.已知：在四边形 ABCD 中，_，_；求证：四边形 ABCD 是平行四边形解析：如选.证明：

13、ADBC，AB180.AC，CB180，ABDC.四边形 ABCD 是平行四边形(选，均可)1.平行四边形中常用辅助线的添法：(1)连对角线把四边形问题转化为三角形问题；(2)有平行线时，作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如等腰三角形，等边三角形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置2 本课时常见的误区在于不能正确的判定一个四边形是平行四边形， 如：(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线

14、的四边形是平行四边形；(4)一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形这四种判定都是错误的，不能凭主观印象判定一个四边形是平行四边形1(2013山东烟台)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 720，那么原多边形的边数为()A5B5 或 6C5 或 7D5 或 6 或 7点评：(1)本题考查多边形的内角和定理，难度中等(2)分情况讨论是解决本题的关键解析：设内角和为 720的多边形的边数是 n，则(n2)180720，解得 n6.多边形截去一个角可能使该多边形少一个角，也可能角不变，也可能多一个角，原多边形的边数为 5 或 6 或 7.故选 D.答案：D2(20

15、12河北)用 4 个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图 1911，用 n 个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图 1911，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则 n 的值为点评：(1)本题主要考查平面密铺的知识，难度中等(2)解决本题的关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数解析：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240， 故如果要密铺， 则需要一个内角为 120的正多边形，而正六边形的内角为 120，故答案为 6.答案：63(2012福建厦门)如图 1912，在ABCD 中，对角线AC 与 BD 交于点 O，点

16、P 在边 AD 上，过点 P 分别作PEAC，PFBD，垂足分别为 E，F，PEPF.(1)若 PE 3，EO1，求EPF 的度数；(2)若点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，BFBC324，求 BC 的长点评： (1)本题考查平行四边形的性质以及特殊平行四边形的判定与性质，难度中等(2)解答本题第(2)小题的关键在于当 F 为 DO 中点时，判断出ABCD 是正方形解析：(1)连结 PO，如解图 2.（解图 2）PEPF，POPO，PEAC，PFBD，RtPEORtPFO.EPOFPO.在 RtPEO 中，tanEPOEOPE33，EPO30，EPF60.(2)点 P 是 A

17、D 的中点，APDP.又PEPF，RtPEARtPFD.OADODA.OAOD.AC2OA2ODBD.ABCD 是矩形点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，AOPF.PFBD，ACBD.ABCD 是菱形ABCD 是正方形BD 2BC.BF34BD，BC3 243 24BC，解得 BC4.4(2011四川成都)如图 1913，已知线段ABCD，AD 与 BC 交于点 K，E 是线段AD 上一动点(1)若 BK52KC，求CDAB的值；(2)连结 BE，若 BE 平分ABC，则当 AE12AD 时，猜想线段 AB，BC，CD 三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当 AE1nAD(n2)，而其余条件不变时，线段 AB，BC，CD 三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明点评： (1)本题既考查平行四边形的判定， 又考查相似三角形的性质，综合性较强，难度较大(2)本题设计较灵活，求解时需由特殊到一般，结论逐层递进(3)本题(2)思路较难，可以猜想一条线段等于两条线段的和，试用截长补短法解析：(1)ABCD，