弹性力学平面问题有限元法

1、材料力学主要研究杆、梁、柱结构力学主要研究杆系（或梁系）弹性力学主要研究实体和板得受力和变形弹性力学假设所研究的物体：连续的、完全弹性的均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的在这假设基础上研究受力物体一点上的应力、应变、变形和平衡关系。vPvxPvyPvzPTvvxvyvzPppp面力是作用于弹性体表面上的外力，如流体压力和接触压力。TssxsyszPppp如果外力作用面很小，或者说外力作用在某一点上，则这种外力称为集中力。TccxcyczPpppoxyzPAFpIIImnA 0FAlimppF12L MToxyz yz y yx z zy zx xy x xz PA BCxzxzdxxx

2、yxydxxxxdxxzyzydzzzxzxdzzzzdzzyzyzdyyyydyyyxyxdyyxfyfzf,PAx PBy PCz (, , )iix y z( , , )iji jx y ziioxyz yx xy zx xz zy yzxzzxxyyxyzzy弹力规定弹力规定xyyx yzzy xzzx 材力规定材力规定 xyzyzxzxyu vwTwvu1.平衡方程（应力和体力之间关系）平衡方程是弹性体内部必须满足的条件，它说明六个应力分量不是独立的，它们通过三个平衡方程相互联系。应力和体力在三个坐标方向上满足一下平衡方程0Xdxdydzdxdydxdydzzdxdzdxdydyyd

3、xdydydzdxxzxzxzxyxyxyxxxx在X方向有0 xF000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx2. 几何方程（几何量位移和应变）xxyyyzzxzuuvxyxvwvyyzwuwzzxxudxdxudxdxxuuxyuxvyuxvyvdydyyuxudxdxxvyxxy1111tantan3. 物理方程（应力分量与应变分量；与材料的物理特性有关）1()1(1()xyxxyzxyyzyyxzyzxzzzxyxzvEGvEGvEG222xxxyxyyyyzyzzzxzxzGGGGGGxyz DE2(1)EGzy22yxozxy(,;,; , )xyxyffff u

4、vz()2z 2|0zz2|0zxz2|0zyz0z0zx0zy0 xz0yzxyxyxyyxzxy、z0z0zyyz0zxxz( , )xxx y( , )yyx y( , )xyxyx yxyxyyxxy、( , )yxyxx yvuxyyxxyyx00 D2100010112EDzoyxxyzxy(,;,; , )xyxyffff u vz0w uvz( , )uu x y( , )vv x y0w zxy、0w uvz( , )uu x y( , )vv x y0w zxy、( , )uu x y( , )vv x y0w 0 xzuwzxxuxyvy0zwzxyuvyx0yzwvyz

5、xyxyyx、xy00zxzy 、00zxxzzyyz 、=00 xzyz 、0z0zxxz0zyyz( , )xxx y( , )yyx y( , )xyxyx y( , )yxyxx yxyxyyxxy、0z1()zzxyE ()zxy z xy、z zzz D101110112112002 1EDuv、0w uv、0w xyxy、0zxzyxyxy、0zyzxzxy、0zxzyzxy、0zxzy()zxy xoyxoyzz()zxyE xyxyzxoy连续体被分割为只在节点处连接的单元集合，受力后原连续体被分割为只在节点处连接的单元集合，受力后原来是一体的公共边可能出现裂缝，原来单元应该

6、均匀变来是一体的公共边可能出现裂缝，原来单元应该均匀变形，这时也可能出现非均匀变形。形，这时也可能出现非均匀变形。选择选择适当的单元位移插值函数适当的单元位移插值函数来限制单元的变形，使得来限制单元的变形，使得连续体尽管被人为地分割成单元的集合，而且只在有限连续体尽管被人为地分割成单元的集合，而且只在有限个节点处相连，但模型仍然能够部分满足连续性的要求。个节点处相连，但模型仍然能够部分满足连续性的要求。 ymxmyjxjyiximjieFFFFFFFFFF第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量mjFxiFyiiuv(x,y)oy

7、x三角 形三节点单元u1v1 mmjjiimjievuvuvuyxvyxu654321 多项式项数越多，逼近精度越高。项数的多少应根据单元自由度数确定。多项式项数越多，逼近精度越高。项数的多少应根据单元自由度数确定。三节点三角形单元有三节点三角形单元有6个自由度，可以确定个自由度，可以确定6个待定系数。个待定系数。 yxfyxyxvuyx,10000001,654321（49）yx,这一步的目的是求出待定系数。这一步的目的是求出待定系数。第三步：第三步： 求单元中任一点位移求单元中任一点位移与节点位移与节点位移 e的关系的关系由于节点由于节点i、j、m在单元上，它们的位移自然也就满足在单元上，

8、它们的位移自然也就满足位移函数式。将三个节点坐标和位移值分别代入式中，得：位移函数式。将三个节点坐标和位移值分别代入式中，得：123456123456123456iiiiiijjjjjjmmmmmmuxyvxyuxyvxyuxyvxy上式共有上式共有6个方程，可以求出个方程，可以求出6个待定系数。根据个待定系数。根据Gramer法则，法则，求出各待定系数求出各待定系数mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjiivcvcvcAvbvbvbAvavavaAucucucAubububAuauauaA212121212121654321,ijmmjijmimjjmiimjm

9、ijimmijjimijmjiax yx ybyycxxax yx ybyycxxax yx ybyycxx其中，节点的坐标值是已知的，令其中，节点的坐标值是已知的，令mmjjiiyxyxyxA11121为三角形单元的面积。为三角形单元的面积。iijjmmi ijjm muN uN uN uvN vN vN v用节点坐标和节点位移表示的位移函数为用节点坐标和节点位移表示的位移函数为形函数，它们是坐标的函数，与节点坐标有关，而与节点位移无关。形函数，它们是坐标的函数，与节点坐标有关，而与节点位移无关。其中，其中，)(21)(21)(21ycxbaANycxbaANycxbaANmmmmjjjji

10、iii以矩阵表示为以矩阵表示为 上式就是单元位移的插值表达式，它表明只有知道了节点位移，就可通上式就是单元位移的插值表达式，它表明只有知道了节点位移，就可通过形函数插值求出单元内任意一点的位移。过形函数插值求出单元内任意一点的位移。000000ijmijmNNNNNNN emmjjiimjimjiNvuvuvuNNNNNNvu000000其中，其中，称为形函数矩阵；称为形函数矩阵；为单元节点位移列阵。为单元节点位移列阵。 Tmmjjiievuvuvu第四步：第四步： 求单元应变求单元应变单元位移单元位移节点位移之间的关系节点位移之间的关系xvyuyvxuyxxyyx,第五步：第五步： 求应力求

11、应力应变应变节点位移之间的关系节点位移之间的关系由物理方程，由物理方程， eeSBDD evTevoldBDBF eTetBDBF第六步：第六步： 求节点力与节点位移之间的关系求节点力与节点位移之间的关系 tBDBKTe按节点号叠加单元刚度矩阵元素可得到结构总体刚阵，再引入按节点号叠加单元刚度矩阵元素可得到结构总体刚阵，再引入一定的边界条件和外载荷就可以求解。最后的计算格式仍然是一定的边界条件和外载荷就可以求解。最后的计算格式仍然是 KF 第七步：第七步： 单元应力与节点位移的关系单元应力与节点位移的关系 eBDyx,二、约束条件处理二、约束条件处理1、置大数法、置大数法总体刚度矩阵是一个奇异

12、矩阵，施加约束条件后的方程组则是有唯一解的。总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，施加约束条件后的方程组则是有唯一解的。施加零位移后，将零位移所对应的行和列划去，使方程组减小。施加零位移后，将零位移所对应的行和列划去，使方程组减小。但对改变矩阵阶数的方法在编程序时不方便，而且对非零位移的情况无法处理。但对改变矩阵阶数的方法在编程序时不方便，而且对非零位移的情况无法处理。将该位移分量所对应的主对角元素置为大数，再将载荷列阵将该位移分量所对应的主对角元素置为大数，再将载荷列阵F中对应的分量置为大数乘以已知的节点位移，而其余各中对应的分量置为大数乘以已知的节点位移，而其余各行保持不变行保持不变2、置、置1赋赋

13、0法法将总刚度矩阵中给定位移将总刚度矩阵中给定位移a 分量所对应行和列的主对角元素分量所对应行和列的主对角元素置为置为1，而其他元素皆变为，而其他元素皆变为0。在节点载荷列阵中，将零位移。在节点载荷列阵中，将零位移分量所对应的节点载荷也变为分量所对应的节点载荷也变为a 。六节点三角形单元六节点三角形单元三节点三角形位移插值函数是线性的，单元内的位移是线性变化的。三节点三角形位移插值函数是线性的，单元内的位移是线性变化的。几何方程、物理方程可知单元内的应变和应力都是线性的。几何方程、物理方程可知单元内的应变和应力都是线性的。3-5 六节点三角形单元和矩形单元六节点三角形单元和矩形单元6314522121121098726524321yxyxyxvyxyxyxu四节点矩形单元四节点矩形单元y0 xyyxvxyyxu87654321的物理意义是：当节点i在某坐标方向发生单位位移而其他节点的位移为零时，单元内的位移分布形状。,1,0iiiijjimmNxyNxyNxyiN,1,0iijiijjimxxNx yxxxxNx yxxNx y 形函数具有以下三条性质：（1） 在i节点上的值为1，而在其他节点处为零，即iN