3.3.1　函数的单调性与导数

1、.3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数【选题明细表】知识点、方法题号函数单调性的判断1求函数的单调区间2,6由单调性求参数或范围5,7,11函数图象与导数的关系3综合问题4,8,9,10,12,13【根底稳固】1.在以下结论中,正确的有A单调增函数的导数也是单调增函数;单调减函数的导数也是单调减函数;单调函数的导数也是单调函数;导函数是单调的,那么原函数也是单调的.A0个B2个C3个D4个解析:分别举反例:y=ln x;y=1xx>0;y=2x;y=x2.应选A.2.函数fx=x3-3x2+1的递减区间是BA-,0B0,2C-,2D2,+解析:fx=3x2-6x,令f

2、x=3x2-6x<0,解得0<x<2,所以函数fx=x3-3x2+1的递减区间是0,2.应选B.3.如下图是函数fx的导函数fx的图象,那么以下判断中正确的选项是AA函数fx在区间-3,0上是减函数B函数fx在区间-3,2上是减函数C函数fx在区间0,2上是减函数D函数fx在区间-3,2上是单调函数解析:当x-3,0时,fx<0,那么fx在-3,0上是减函数.其他选项均不正确.应选A.4.2019·郑州高二检测函数fx=x+ln x,那么有DAfe<f3<f2Bf3<fe<f2Cfe<f2<f3Df2<fe<f3

3、解析:fx=12x+1x,所以x0,+时,fx>0,所以fx在0,+上是增函数,又2<e<3,所以f2<fe<f3.应选D.5.2019·厦门高二检测假设函数fx=kx-ln x在区间1,+上单调递增,那么k的取值范围是DA-,-2B-,-1C2,+D1,+解析:依题意得fx=k-1x0在1,+上恒成立,即k1x在1,+上恒成立,因为x>1,所以0<1x<1,所以k1.应选D.6.函数fx=x-2sin x在0,上的单调递增区间为. 解析:令fx=1-2cos x>0,得cos x<12,又x0,所以3<x&

4、lt;.答案:3,7.2019·南昌高二检测fx=x3-ax在1,+上是增函数,那么a的最大值是. 解析:fx=3x2-a0,即a3x2在1,+上恒成立,所以a3,即a的最大值是3.答案:38.2019·重庆高二检测设函数fx=13x3+mx2+1的导函数为fx,且f1=3.1求函数fx在点1,f1处的切线方程;2求函数fx的单调区间.解:1fx=x2+2mx,所以f1=1+2m=3,所以m=1.所以fx=13x3+x2+1,所以f1=73.所以切线方程为y-73=3x-1,即9x-3y-2=0.2fx=x2+2x=xx+2,令fx>0,得x>0或x&

5、lt;-2,令fx<0,得-2<x<0,所以函数fx的单调递增区间为-,-2,0,+,单调递减区间为-2,0.【才能提升】9.2019·赤峰高二期中定义在0,+上的可导函数fx满足:x fx+fx<0且f1=1,那么不等式xfx>1的解集为BAx|x<1Bx|0<x<1Cx|x>1Dx|0<x1解析:设gx=xfx,那么gx=xfx=xfx+fx<0,所以当x>0时,函数gx=xfx单调递减,因为f1=1,所以g1=1×f1=1,那么不等式xfx>1等价为gx>g1,即0<x<1

6、,那么不等式xfx>1的解集为x|0<x<1.应选B.10.2019·包头高二检测对任意实数x,有f-x=-fx,g-x=gx,且当x>0,有fx>0,gx>0,那么当x<0时,有BAfx>0,gx>0 Bfx>0,gx<0Cfx<0,gx>0Dfx<0,gx<0解析:由fx为奇函数,gx为偶函数.因为x>0时,fx>0,gx>0,所以fx,gx在0,+上都单调递增.所以x<0时,fx单调递增,gx单调递减.所以x<0时fx>0,gx<0.应选B.11.

7、2019·哈尔滨高二检测假设函数fx=ln x-12ax2-2x存在单调递减区间,那么实数a的取值范围是. 解析:fx=1x-ax-2=1-ax2-2xx,由题意知fx<0有实数解,因为x>0,所以ax2+2x-1>0有实数解.当a0时,显然满足;当a<0时,只要=4+4a>0,所以-1<a<0.综上知a>-1.答案:-1,+12.2019·兰州高二质检fx=ex-ax-1.1求fx的单调区间;2是否存在a,使fx在-,0上单调递减,在0,+上单调递增?假设存在,求出a的值;假设不存在,说明理由.解:1fx的定义域为

8、R,因为fx=ex-a,当a0时,有fx0在R上恒成立;当a>0时,令fx0,得exa,有xln a,令fx0,得xln a,综上,当a0时,fx的单调递增区间是-,+,无减区间;当a>0时,fx的单调递增区间是ln a,+,单调递减区间是-,ln a.2法一fx=ex-a.假设fx在-,0上单调递减,那么ex-a0在-,0上恒成立,即aex,而当x-,0时,ex1,所以a1;假设fx在0,+上单调递增,那么ex-a0在0,+上恒成立.即aex,而当x0,+时,ex1.所以a1.综上可得a=1,故存在a=1满足条件.法二由1知,a>0,且ln a=0,所以a=1.【探究创新】13.2019·柳州高二月考求证:x>1时,x>ln1+x.