数列(08奥赛培训)

1、精品文档精品文档南菁高级中学夏建新、等差等比数列问题：1、数列的概念：定义通项公式递推公式任何数列中an用Sn表示：an='E_S（2=21、 （07年全国竞赛）已知等差数列 的正有理数。若 ai=d, bi = d2,且§nSn-1（n>1）.2、等差数列与等比数列等差娄攵列（A.P.）等比娄工列（G.P.）定义anan-1=dan-qan1(qw0)递推公式an=an1+d3n+1=2anan-1an=an_1Ma21an+1=an1通项公式an=a1+(n1)dan=an1比n11中项1A=2(a+b)G=±/ab前n项和Sn-1,、1,Sn=2n(a1

2、+an)=na1+2n(n1)da1(qn1)Sn=-.(qw1)q-1Sn=na1(q=1)am与an的关系am=an+(mn)dm-nam=an>q若m+n=p+q(m,n,p,qCN*)am+an=ap=+aqam>an=apqan的公差d不为0,等比数列bn的公比q是小于1a：a2:a是正整数，求q的值。b1+b2+ba141 + q+ q2为一,其中m为正整数。m1L2 +，563m 4m解：因为脸标=产能柒片二石二故由已知条件知道:人,214令1+q+q=一,m由于q是小于1的正有理数，所以1cM3即盯*13且564mm是某个有理数的平1万，由此可知q=2。1一3、(0

3、6年湖南竞赛)设an是正数数列，其前n项和Sn满足Sn=4(an1)(an+3)(1)求数列an的通项公式；1(2)令bn=,试求bn的前n项和TnSn1斛(1)由a1=S1=-1)(a1+3)及an>0得，a1=311由Sn=4(an1)(an+3)倚Sn1=4(an11)(an13)122故an=4(anan-1)+2(anan-1)即2(an+an-1)=(an+an-1)(anan1)an+an-1>0-an-an-1=2an是以3为首项，2为公差的等差数列，故an=2n+1(2)an=2n+1Sn=n(n+2)切=«=1(1十)Sn2nn+2111111Tn=b

4、1+b2+bn=2(1-3)+(2-4)+(n-2)1111=2(1+2KE)4、(08年四川高考)设数列an的前n项和为Sn,已知ban2n=(b1)Sn(I)证明：当b=2时，ann2nT是等比数列；(n)求an的通项公式【解】:由题意知即=2,且ban-2n=(b-1)Sn,ban12n1=(b1)Sn1两式相减得b(an1an)2n=(b1)an+1即an+1=ban+2n(I)当b=2时，由知an+1=2an+2n于是an+1(n+1)2n=2an+2n-(n+1)2n=2(an-n2n1)又a1251=1W0,所以ann2n-是首项为1,公比为2的等比数歹U。(n)当 b= 2 时

5、,2吟。因此由(I)知an-n2nT=2nT,即an=(n+1)2n1当bw 2时,由得an+12n1=ban+2n2n1=ban-b-2n=b(an2-bn2-bn2b19n+1n1_勿2(1b)/an1-2-b2=b(a1-2-b2)=2-bb得an=21b2n+(22b)bn1_22,a2007.解 由 an+1 an5、(07年湖北预赛)若数列an满足：ai=3，an+i-an=J-(an+i+an),求2n+i+an)两边千方信3(an+lan)=2(an+l+an),又3(anan-1)2=2(an+an1),两式相减，得3(an+lan-1)(an+12an+an-1)=2(an

6、+1-an1)2由ai=7,求得a2=2,又由递推关系式易知数列an是单调递增数列，所以an+ian321w0,故3(an+i2%+an1)=2,即(an+1-an)(an-an-1)=彳，所以数列%+1an是以3a2一a=4为首项，2为公差的等差数列，所以an+1an=2(n+1),于是an=a1+%+3+3333+n)=1n(n+1),所以a2007=1343352.36、(07年第二届南方杯)已知数列an中，a1=2,前n项之和为Sn。若(n2+1)an+1=(2n+1)Sn+n4+2n3+3n2+2n+2,试求Sn及an的表达式。解：因为an+1=Sn+1Sn,所以有(+1)(Sn+1

7、Sn)=(2n+1)Sn+n"+2n3+3n2+2n+2,IP(n2+1)Sn+1(n2+2n+2)Sn=n4+2n3+3n2+2n+2,.(n2+1)Sn+1(n+1)2+1Sn=(n2+1)(n+1)2+1,所以/n48nLi；?S%=1，即是一个公差为1的等差数列。(n+1)十n十n十|，由S1=a1=2及等差数列的通项公式得：号;=母二+(n-1)=n,n+11+1所以Sn=n(n2+1)(n=1,2,3,)当n>2时，an=Sn-Sn1=n(n2+1)(n1)(n1)2+1=3n23n+2当n=1时，a1=2=3X123X1+2。总之，所求的an=3n23n+2(n=

8、1,2,3,)。7、(08湖南高考)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=(1+coS)an+sin20,n=1,2,3,(I)求a3,a4,并求数列an的通项公式；(n)设bn=a2n1?Sn=m+b2+bn,证明：当n>6时，|Sn2|v'a2nn解：(I)因为a1=1,a2=2所以a3=2,a4=4一般地，当n=2k1(kCN*)时，a2k+1=(1+coS"21兀)a2kl+sin2-(2k-21)-=a2k+1+1,即a2k+1a2k1=1精品文档所以数列a2k-1是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2ki=k当n=2k(kCN*)时，a2k2=(1+c

9、oS2k)a2k+sin22k=2a2k所以数列a2k是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k故数列an的通项公式为ann+ 12n22n=2k- 1(kC N*)n=2k(kC N*)精品文档,i,a2n1n_123n小(n)由(I)知，bn=i27=+，Sn=2+22+23+22Sn=p+，+亳+六小小/日11,11n1nn+2-伶，2Sn=2+21+下2T1=1一下一2邛所以Sn=2一2n-要证明当n>6时，|Sn2|<1成立，只需证明当n>6时，n竽1成立.证法一(1)当n=6时，6(6262)=3<1成立.(2)假设当n=k(k>6)时不等式成立

10、，即k(k2t2)v1则当n=k+ 1时,(k+1)(k+3)ck+1 2k(k+ 2)(k+1)(k+3)<(k+1)(k+3)v 12k x 2k(k+2) < (k+2) 2k<n(n+2)1由(1)、(2)所述，当n36时，-2<1。即当n>6时，|Sn"2|<n证法二2人n(n+2)Lr(n+1)(n+3)n(n+2)3-n令Cn=2n(n>6),则Cn+1-cn=2nH2n=2n+1<0一，一6(6+2)3所以当n第时，Cn+1<Cn。因此当n4时，CnC6=26=1于是当n4时，岁2)v1综上所述，当n弟时，|Sn-

11、2|<n8、(08年湖北高考)已知数列an和bn满足：a1=入an1=2an+n-4,bn=(1)n(an33n+21),其中入为实数，n为正整数.(I)对任意实数入，证明数列an不是等比数列；(n)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；n,都(出)设0vavb,Sn为数列bn的前n项和.是否存在实数入，使得对任意正整数精品文档有avSnb?若存在，求入的取值范围；若不存在，说明理由.(湖北卷21)本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，(满分14分)(I)证明：假设存在一个实数入，使an是等比数列，则有a2

12、2=aia3,即(2入3)2=入(4入4)得9=0,矛盾.所以an不是等比数列.39(n)解:因为bn1=(1)n1an+i3(n1)+21=(1)n1(%2n+14)=2(i)n(a3323n+21)=bn又b1=(入+18)，所以3当入=18,bn=0(nCN+),此时加不是等比数列：当入w18时>>=(入+18)丰0,由上可知叫w0,*二=一(nCN).bn3故当入W18时，数列bn是以一(入+18)为首项，2为公比的等比数列.3(出)由(n)知，当仁18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.二斤18,故知bn=(入+18),(；)n'于是可得3Sn=-3(计18)1

13、-(-2)n53要使avSnVb对任意正整数n成立，即av3(入+18)1(弓),b(nCN+)53得一_1-(-3)n35(入+18)一令“21L手，则1-(-3)n当n为正奇数时，1vf(n)w5,当n为正偶数时，5<f(n)<139.f(n)的最大值为f(1)=5,f(n)的最小值为f(2)=5,39于是,得ca<一c(入+18)v-b一b-18V入v-3a-18555当avbw3a时，由b18>3a18,不存在实数满足题目要求；当b>3a时，存在实数N使得对任意正整数n,都有avSn<b,且入的取值范围是(b-18,3a18)、递推数列精品文档(一)

14、递推数列的通项求法数歹Uan中，若项an+k与项an,an+1,，an+k-1之间满足函数关系式F(an+k,an+k1,，an)=0或an+k=f(an+k-1,ank2,，an)(n>1),则称此关系式为k阶递推式(又叫递归式)，由此递推式和初始值ai,a2,，ak所确定的数列an称为(k阶)递推数特别地，an+k=Pian+kl+P2an+k2+Pkan+Hn)或an=Pian-1+P2an-2+Pkan-k+4(nk)(n>k,Pi为常数且Pk*0,()为函数式)。当4三0时，称为(k阶)齐次常系数线性递推式。当4争0时，称为(k阶)非齐次常系数线性递推式。1、迭代法9、求

15、数列a1=1,an+1=an+2n的通项公式解：an=an1+2n1=an2+2n2+2n1=-=a1+2+22+2n1=2n-1或an=an1+2,an1=an2+2,，a2=a1+2相加得10、数列an中，a1=1,且an+1=2an+3*5,求an解：=2dan!+3，令bn=dnnr,贝Ubn+1=2bn+35555522.法一：由bn=5bn-1+3,相减得bn+Lbn=5(bnbn-1)法二：由bn+15=5(bn5)得bn5=(5)n1(b15)an=5n2n1(一般地，an+1=pan+q(n)p=1时易得pw1且q(n)=常数时an+1-an=p(an-an1)产1且q（n户

16、常数时令bn=ppn）解:12、数列an中，a1= 1, a2= 2anan11=(%)2=an 2（05年浙江预赛）an1=管广? fIan1N an 21n > 3)o 求 an22=20相乘可得an= 2已知数列Xn,满足(n+ 1)Xn=Xn+ n,且X1 = 2 ,则X如05 =【解】由（n+1）Xn= Xn+n,推出因此有Xn + 11 =Xn 1Xn 1 1Xn 1Xn+11on 1 n+1Xn 2 1X1 1n+1 (n+1)n (n+1)n(n1)(n + 1)n(n 1) 2 (n+ 1)!'即有 Xn+1=1一n 1 (n+1)!2、数学归纳法13、（06年

17、吉林预赛）设的实数t使得a2006= 0。解：当 t>1 时，a2<0,f«曰2005!+1+1。从而可信X如05=°2005!an为一个实数数列，a1=t,an+1=4an（1an）。求有多少个不同由数学归纳法可知，对任意n>2,者B有an<0,故a20060当t<0时，类似地，对任意nCN*,者B有an<0。因此只需考虑0wtw1的情形。精品文档设1=5访29(00<2),则a2=sin22。用数学归纳法得an=sin22n-10由a.：。得sin222005仁0,9=族5(kCZ且0Wkw22004),共有22004+1个t3

18、、特征根法设二阶齐次常系数线性递推式an+2=pan+1+qan(p、q为常数，qw0),称x2=px+q为其特征方程，根为特征根。定理1:若二阶齐次常系数线性递推式有两个不等的特征根“、3则an=A/n+B愣(A、B为初始值所确定的常数)证明：p=a+3,q=-a0an+20can+1=pan+1+qan«an+1=自n+1aan=an+1aan) _、，”，s一，rn1 an+1阳n为等比数列，得an+1«an=(a2«a1)3-n2anan1a2一阳1"n2an=oan1+(a2«a1)3，n=-ni+2O0coeap.an a1 , a

19、 2 oa 1 -n =一十 20coe a(1+1+,a、n 2、 a1 , a 2 oa 1(0 )=-+ Ta n- 11-(吊精品文档a n= A an+ B ga2做1a2«a1(oc-3)a(a-93)求裴波那契数列Fn：F1=F2=1,Fn+2=Fn+1+Fn的通项公式。解：特征方程x2=x+1,特征根为号5,Fn=A(1/)n+B(1=2，5)n用n=1,2代入解方程得A=t，B=晅，Fn=5(1+25)n-(125)n(08广东高考21)设p,q为实数，a,3是方程x2px+q=0的两个实根，数列%满足x1=p,X2=p2-q,Xn=pxn-1qxn-2(n=3,4

20、,).(1)证明：a+3=p,a京q；(2)1、一求数列Xn的通项公式；(3)若p=1,q=4,求Xn的前n项和Sn3anan1,、14、已知数列an中，a1=a2=1,a3=2,an+1=(n>3)。求an、，an2、，斛：an+13n-2=3+anan-1,an9n-3=3+an1an2,相减付an+1an2anan3=anan1an1an2,令bn=an_1n-,则bn=bn2。又b1=b2=3,bn=3o故an+1=3anan1,an特征方程x2=3x-1.-.an=A(乎)n+B(35)n,解得a=,B=吐害225552V53+乖n5+2753邓(丁)+(丁)定理2、若齐次常系

21、数线性递推数列an+k=Pian+kl+P2an+k-2+Pkan的特征方程k n k 1 I n k 2 ,x = PiX + P2X + + + Ak a kn (Ai、A2、pk有k个不同的特征根ava2、ak,则an=A1a1n+A2a2n、Ak为初始值所确定的常数)15、数列an中，ai=1,a2=2,a3=3,且an+3=6an+211an+i+6an,求an解：特征方程x3=6x211x+6,三个根为1,2,3设an=A1+A2,2n+A33n。列方程得A1=-。，A2=1,A3=an=-2n-3-3n262616、数列an中，a1=1,a2=2,an+2=5an+16an+2,

22、求an解：(非齐次)设an=bn+t,则bn+2=5bn+16bn2t+2,设2t+2=0得t=1an=bn+1,且bn+2=5bn+L6bn,特征方程x25x+6=0,x/2=3,2易得 bn= 3n 1-2n 1an=3n12n 1+ 14、不动点法对于线性分式a n+ 1=anran s(tr)2+4sw 0),求其通项公式可用不动点法。rx -sx=x t(*)得不动点X12=-r) 2，4s一4s ,由X1满足(*),.an+1 刈=旦主rxis(an -xi)(rt -s)相除得17、解:ananan 1 -x1an 1 -2数列an中,tx1 t (an t)(x1 t)(an

23、-X1)(X2 t)(an -x2)(x1 t)an 1 -xjan 1 -x2同理an+1X2=包二幽二s(an t)(x2 t)=(a1 f1) (x2 - t)n(a1 -x2) x1 ta1= 2,an+ 2an 1=2an+1，求anx=卫.X=±2x 1an + 1 1 =一an -12an 1+1=»2an 1an -1 -1and 11 an -13 an 1an 1=3 (-3)=3n _(_1)n.an 3n(-1)n(二)递推的应用精品文档精品文档1、证明不等式18、已知数列an中，a1 = 3, an+1= (an D 2+1,n求证：口 ak vk

24、"解：:an+1=(an1)2+1,，an+11=(an1)即 a n 1 = (an-L)2= (an-2)22n-12 .=(ai 1)n2精品文档n-122+1=a i a 2an=(2+1) (22+1)(n -122+ 1) = (21) (2+ 1) (22+1)(2n-12n2+ 1)=2n2-1< 219、设 a0= 1,21 an-1,证明:an =an 1兀an)2n 2证明：（1990年匈牙利数学奥林匹克竞赛题)令 ao= tanj,则可得a1=tan8,a2=tan16，an=tan2n+2.因tanx在区间(0,2P)上有tanx>x成立，I兀兀贝Uan>tan2nn>2.2、计数问题：21、某学生准备用20元钱来支付若干天的早点费用，计划每天早晨买一份早点，而食堂的