用平移、旋转和轴对称几何问题

1、用平移、旋转和轴对称研究几何问题学习旋转要解决的问题：分三个层次直接的旋转作图或者旋转关系的叙述；增加干扰线段，隐含部分已知，主动发现旋转关系，并证明 某些结论需要添加辅助线，完善图形创造情境，进行证明。要重视的问题：共顶点的等腰三角形的出现是实现旋转的情境；(辅助线添加方向)一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用1 已知： ABC与厶ADE都是等腰直角三角形 .求证：BD丄EC.2. 如图，已知 ABC ADE, Z B = 45°, / C= 20°, / EAB = 30°,则/ D = _。，若 AC > DE 交于点 F，则/ EFC3. 如图，

2、ABC中，Z BAC=120o，以BC为边向形外作等边 BCD，把 ABD绕着点D按顺时针方向旋转 60o后到 ECD的位置.若AB=3, AC=2，求Z BAD的度数和 AD的长.4. 已知：如图，A、B、C在同一直线上，且 ABE与 BCD都是等边三角形，求证：AD CE .拓展 如图1,点C为线段AB上一点， ACM , CBN是等边三角形，直线 AN、MC交于点E, BM、CN交于点 F.(1) 求证：AN=BM ;(2) 求证： CEF为等边三角形；(3) 将厶ACM绕点C按逆时针方向旋转 900,其他条件不变，在图 2中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2) 两小题的结论是否仍

3、然成立(不要求证明)5. 如图，已知正方形 ABCD和BC边上一点E,将直角三角形 ABE绕点B逆时针旋转90°，再沿BC方向平移，平移 距离是线段BC的长度，请画出图形.并回答：旋转后三角形的斜边与AE有什么关系？为什么？、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线几何问题中的辅助线是对同学们几何思维能力的考验，通过分析找到辅助线的添加方法，能够使几何问题简化，有助于问题的解决同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力平面几何的辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的三种变换有关，下面我们就来研究常见辅助线与几何图形变换的 关系.11. （三角

4、形的倍长中线 ）已知：在厶ABC中，AB=AC，CD是中线，延长AB到E,使BE=AB，连结CE.求证：CD= CE.2拓展1如图1,已知 ABC中，AD是厶ABC的中线，AB=8 , AC=6，求AD的取值围.提示：延长AD至A /,使A/ D= AD，连结BA /.根据“SAS易证 Az BD ACD，得AC = Az B .这样将 AC 转移到 A / BA中，根据三角形三边关系定理可解.拓展2如图2,已知 ABC中，AB = AC , D在AB上，E是AC延长线上一点，且 BD = CE, DE与BC交于点F.求 证：DF=EF.提示：此题辅助线作法较多，如： 作DG / AE交BC于

5、G; 作EH / BA交BC的延长线于 H ;再通过证三角形全等得 DF = EF .2.（三角形的翻折角平分线）已知：在 ABC中， B 2 C, AD是 BAC的平分线.求证：AB BD AC.拓展1如图，已知：在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分线，P是AD上任意一点.求证： AB AC PB PC .拓展2已知： ABC中，/ A= 90,AD是BC边上的高,BE是角平分线，且交AD 于 P.求证：AE=AP .3. （梯形的线段倍长）已知：梯形 ABCD中，AD/BC , E是DC的中点，AE平分/ BAD 求证：AB=AD+BC 拓展1如图，已知：在梯形 ABCD中，

6、AB/CD，/ ADC=90 o, F为BC的中点，/ AFC=3 / BAF .求证：CD=CF .拓展2已知：直角梯形 ABCD中，AB/DC , AB丄AD , F为BC的中点，CF=DC .求证：/ AFC=3 / BAF .拓展3已知如图5 ,在梯形ABCD中，AD / BC,M、N分别是BD、AC的中点。求证：1 MN/BC,MN (BC AD)。24. （正方形中的三角形旋转）已知：如图E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分角EAD 交 CD 于 F,试说明 BE+DF=AE .拓展1如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有BE DF EF . 求

7、：EAF的度数.拓展2如图，已知：在正方形 ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有 EAF =45 求证：BE DF EF .拓展3如图，正方形 ABCD边长为1 , AB、AD上各有一点P、0,若厶APQ的周长为2.求/ PCQ的大小.拓展4如图，在正方形 ABCD中，E、F分别为BC、DC上的点，且/ EAF=45 o, AH丄EF.求证：AH=AB .拓展5如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段 EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE面积的2倍试确定/ HAF的大小，写出推导的过程.5. （三角形的辅助线旋转）已知，如图在

8、ABC 中，AB=AC，/ BAC=90°，/ DAE=45° , BD=2 , CE=3 .求证：DE的长.拓展1如图，在等腰三角形 ABC中，P是三角形的一点，且/ APB= / APC .求证PB=PC .拓展 2 ABC 中，AB=AC , D 是三角形一点，若/ ADB >/ADC .求证/ DBC >/ DCB .分析 将厶ABC以A为中心逆时针旋转一角度/BAC，到 ACE的位置.连 DE，由/ ADB >/ ADC ,得 / AEC >/ ADC .又 / ADE= / AED，相减，得 / DEC >Z EDC . CD &g

9、t; CE .即 CD > BD，从而/ DBC >Z DCB .拓展3若P为正方形 ABCD 一点，PA : PB : PC=1 : 2 : 3 .试证/ APB= ° .分析 利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1 , PB=2, PC=3 .绕B点顺时针旋转 90o，使 CBP 到厶 ABE 的位置，这时 BE=2 , AE=3，/ PBE=90oPE=2. 2，/ BPE=45o。又2 2 2AP PE 189 AE / APE=90 ° .于是 / APB= ° .拓展4在等边三角形有一点 P.连接P

10、与各顶点的三条线段的长为 3、4、5.求正三角形的边长.（答案：25+13、3 ） 分析 将厶CPB旋转到 AP'B，连接PP',延长BP,过A作AD丄BD .易知 APP'是直角三角形，因为/ BPP'=60o,所以/ APD=30 o,贝U AD=2 , DP= 2 _ 3 .6. （轴对称变换（翻折问题）（1）如图，将矩形 ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E, AD=8 , AB=4 .求厶BED的面积.（2）如图，将边长为12厘米的正方形 ABCD折叠，使得点 A落在边CD上的E点，然后压平得折痕 FG .若FG

11、的 长为13厘米.求线段CE的长.(3) 如图，点M、N为矩形ABCD 组对边的中点，将矩形的一角向折叠，使点B落在直线MN上，得到落点B'和折痕AE，延长EB'交AD于F.判断 AEF是什么三角形，并说明理由.(4)把一正方形纸片ABCD从中间对折后仍然摊平，得折痕为 EF，如图(1)所示.接着，使点C不 动，把B点处的纸向右上方折起来使 B点落在EF上，得落点为B'，折痕为GC,如图(2)所示.连AB'，问图中/ GAB'是多少度？求/ GAB'相当于求/ AB'E 显然三角形CGB和三角形CGB'是全等的，因为是对折得到的,

12、 所以 CB'=CB=1/2CF又因为EF垂直于BC,所以/ FB'C=30°假设正方形边长为1，算出B'F=（根号3） /2所以B'E=1-（根号3） /2所以 tan / AB'E=AE/B'E=（1/2）讯1-（根号 3） /2）=2+ 根号 3 所以/ AB'E=75° = / GAB'(1)已知：如图 2，在梯形 ABCD 中，AB/CD, A 60 , AD BCDC 求证：AB 2CD .(2)已知：如图3，在梯形ABCD中，AB/CD,AC BD 求证：梯形 ABCD是等腰梯形.图3(3)已知：

13、如图 7,在梯形 ABCD中，AB / CD, A B 90 , M、N分别是DC、AB的中点求证:1MN (AB CD) 2D M C几何综合1. 如图1,在口ABCD中，AE丄BC于E, E恰为BC的中点，tanB 2.(1) 求证：AD=AE;(2) 如图2,点P在BE上，作EF丄DP于点F，连结AF.求证：DF EF .2AF ;(3) 请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点(P不与点E重合)时，作EF丄DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论图1图2图32. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y . 3x 与y轴交于点B,点C

14、的坐标为(3,0),连结BC.3 3的图象与1Ox轴交于点A,(1) 求证： ABC是等边三角形；(2) 点P在线段BC的延长线上，连结 AP,作AP的垂直平分线，垂足为点 D,并与y轴交于点D，分别连结EA、 EP. 若CP = 6,直接写出/ AEP的度数； 若点P在线段BC的延长线上运动(P不与点C重合)，/ AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求 出/ ADP的度数；(3) 在(2)的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动， 速度为每秒1个单位长度.EC与AP于点F, 设厶AEF的面积为 $, CFP的面积为S2,y= Si S2,运动时间为t (t>0)

15、秒时，求y关于t的函数关系式.3. 已知：如图1，点P在线段 AB上(AP > PB) , C、D、E分别是AP、PB、 AB的中点，正方形 CPFG和正方形 PDHK在直线 AB同侧.(1) 求证： EHG是等腰直角三角形；(2) 若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后， 其它已知 条件不变，如图2,判断 EHG还是等腰直角三角形吗？请说明理由.4. 如图，正方形 ABCD的对角线 AC与BD相交于点 M，正方形 MNPQ与正方形 ABCD全等，射线 MN与MQ不过 A、B、C、D四点且分别交 ABCD的边于E、F两点.(1) 求证：ME=MF ；(2) 若将

16、原题中的正方形改为矩形，且BC 2AB 4，其他条件不变，探索线段 ME与线段MF的数量关系.PP5. 如图10-1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C D不重合)，以CG为一边在正方形 ABCE外卜作正方形CEFG连结BG DE我们探究下列图中线段 BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：(1)请直接写出图10-1中线段BG线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图10-2、如图10-3情形.请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图10-2证明你的判断.图 1D图

17、 10-2J E(IS 10-3)(2)将原题中正方形改为矩形(如图10-4 10-6 ),且 ABa, BC b,CE ka,CG kb (a b,k 0)，试判断(1)中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明(¥ 10-4)(图 J0-6)(3)在图10-5中，连结DG、BE，且a 4,b1 222, k 一，则 BE DG =21. 如图，在边长为 8的正方形ABCD中，E是BC边上任意一点，把正方形沿着GH折叠，使A与E重合，D与D '重合，ED '与边CD交于点F。(1)当点E为BC边中点时,(2)当点E在BC边上运动时，(1)中的结论变化

18、吗？试说明理由。A2. 已知正方形纸片 ABCD的边长为2.操作：如图1,将正方形纸片折叠，使顶点 A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合)，折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G .探究：(1)观察操作结果，找到一个与 EDP相似的三角形，并证明你的结论;(2)当点 EDP周长的比是多少(图 2为备用图)？DC3 .几何模型:条件如下左图， A、B是直线I同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PA PB的值最小.方法：作点 A关于直线I的对称点A，连结AB交I于点P ,则PA PB AB的值最小(不必证明)模型应用:(1)如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点,P是AC上一动点.连结 BD ,由正方形对称性可知,(2)(3)B与D关于直线 AC对称连结ED交AC于P，则 如图2, ©O的半径为2,点A B、C在OO上, OA 的最小值是PBOB ,PE的最小值是AOC 60°