线性代数综合复习资料

1、、选择填空题:线性代数(理)综合复习资料第一章n阶行列式1、排列542163的逆序数为2、行列式中,元素4的代数余子式为a11a12a13a312a323a333、设行列式a21a22a233，则a212a223a23a31a32a33a112a123a13a11a12a13a21a22a23a31a32a336、设A, B均为3阶方阵，且 A7、设A, B均为3阶方阵，且A8、已知多项式f(X)a11a21a319、设A为3阶矩阵且行列式 A3, B2, Ba322，则 B A3，贝U 3AA2f (x)的最高次数0，则下列说法正确的是(2a312a212a312a112a322a 222

2、a322a122a332a23 2a 332a13n个方程、n个未知量的齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件(1) 矩阵A中必有一列元素等于 0；(2) 矩阵 A中必有两列元素对应成比例；(3) 矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合;(4) 矩阵 A中任一列向量是其余列向量的线性组合。10、下列说法错误的是()(1 )若n阶线性方程组 Axb的系数矩阵行列式 A0，则该方程组存在唯一解;解;(2 )若n阶线性方程组 Ax0的系数矩阵行列式A 0，则该方程组只有零(3 ) 个行列式交换两列，行列式值不变；(4 )若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。Dn、计算下列行列式15341

3、31202 11513314949162、D916251625362 a(a1)23、Db2(b1)22 c(c1)2d2(d1)21116253649(a 2)2 (a 3)2(b 2)2 (b 3)2(c 2)2 (c 3)2(d 2)2 (d 3)2Dn23.n03.n20.n；23 . 012 00L0 013 20L0 0601 32L0 06、Dn00 00L3 200 00L1 3X11X12 LX1nDnX21X22 LX2r7、MMMMXn1Xn2 LXnXaLaaXLa8、DnMMMM1aaLX111L11122L22123L339、DnMMMOMM123Ln 1n1123

4、Ln 1n2 2 2. ny x0 0L00 yx 0L00 0y xL010、Dn5M MM OOM0 00 Lyxx 00 L0y第二章矩阵、选择填空题1 1231、设A1 113，则A的秩r(A)1 11123 1411 332、设A，则A的秩r（ A）324110 213、设A, B均为3阶方阵，且A 4, B 2，则|B A At；（ 4）r与t的关系不定（2 ）可逆阵之和未必是可逆阵；（4 ）可逆阵必是有限个初等阵的乘积。ABC E，其中E为n阶单位矩阵，则6、设A和B皆为n阶方阵，则下面论断错误的是 （）TT T111（1） （AB）' B1 A1 ;（2） （AB） 1

5、 B 1A 1 ;（3）AA A，其中A为A的伴随矩阵；（4）如果AB O，则A O或B O。7、 设A是m n阶矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵 A的秩为r，矩阵B AC的秩为t，则下列结论成立的是（1）r t ；（ 2）r t ；（ 3） r8、下面论断错误的是（）。（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；（3）两个初等阵的乘积仍是初等阵；9、设n阶实方阵A, B,C满足关系式124104、设A01，B113，则 atb30201121341225、设A212，则A1o221下列关系式成立的是（)(1) ACBE；(2)CBA E ；a11a12a1310、设 Aa21a22a23， Ba31a3

6、2a33(3)BACE；(4)BCAE oa11a12a11a13110a21a22a21a23，P010，a31a32a31a33001则下列等式正确的是（ ）5 、设矩阵 A 11，矩阵 B 满足 A B A 1 2B ，其中 A 是 A1） PA B ；（2） AP B ；（3） PB A；（4） BP A、计算证明题1、设矩阵A和B满足关系式AB AB。02、已知 AX B X ，其中 A 11的伴随矩阵，求矩阵3012B ，且已知 A110 ，求矩阵01410111 1 ， B20，求矩阵 X 。01536 、已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1 ，试求伴随矩阵 A 的逆矩阵33、设 A,B

7、 为 3阶矩阵， E 为3 阶单位矩阵，满足关系式 AB E A2 B ，(A ) 1。7 、已知 A且 A2ABE ，其中E 是三阶单位矩阵，求矩101且已知 A020 ，求矩阵 B 。1018 、设方阵A 满足A22E0 ，证明-12E 都可逆，并求 A 1 及4、设A,B为n阶矩阵，满足AB A B , （1）证明A E可逆;101021 ，求矩阵 B1212 ）若 A1(A 2E) 1。9、已知 E AB 可逆（其中E 为单位矩阵），试证 EBA也可逆，且有(E BA) 1E B(EAB) 1A 。第三章 向量组的线性相关性和秩、选择填空题1、设向量组1,2,3线性无关，则当t时，向量

8、组21，t 32，13线性相关,32、已知向量组112 3 4，22 3 45，33 4 5 6，4 4567，则该向量组的秩为。3、 已知向量组1121 1 ，22 0 t 0，30452的秩为2,则t。4、 关于最大无关组，下列说法正确的是（）（1 ）秩相同的向量组一定是等价向量组；（2）一个向量组的最大无关组是唯一的；（3 ）向量组与其最大无关组是等价的；（4 ）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。5、设矩阵A （aj ）m n的秩为r，则下列说法错误的是（）（1）矩阵A存在一个r阶子式不等于零；（2）矩阵A的所有r 1阶子式全等于零；（3）矩阵A存在r个列向量线性无

9、关；（4）矩阵A存在m r个行向量线性无关。6、 对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是（）（1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；（2）如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；（3）如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示；（4）如果n阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。7、 n维向量组 1, 2丄,r（3 r n）线性无关的充要条件是（）（1 ）存在一组不全为零的数 k1,k2丄,kr，使得k1 1 k2 2 L kr r 0 ；（2）1 , 2丄,r中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；（3）1, 2,L , r中任

10、意两个向量都线性无关；（4 ）1, 2丄，r中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。8、 向量组 1, 2,L , r线性无关的充分条件是（）（1 ）1 , 2丄,r均不为零向量；（2 ）1 , 2丄,r中任意两个向量的分量不成比例；（3 ） 1, 2丄，r中任意一个向量都不能用其余r 1个向量线性表示；9、已知向量组1,2, 3, 4 线性无关，则下列说法正确的是 （)（1 ） 12,23, 3 4,41 线性无关；（2 ） 12,23, 3 4,41 线性无关；（3 ） 12,23, 34,41线性无关；（4 ） 12,23, 3 4,41线性无关。10 、下列说法错误的是（）（ 1 ）矩

11、阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩；2 、已知向量组（ I) 1, 2, 3 ；( II )1, 2 , 3, 4 ；( III )1, 2,3, 5 ，如果各向量组的 秩 分别 为 R（I）R(II ) 3, R( III )4，证明：1, 2, 3, 54线性无关。3、已知向量 组 1 (1 21 1) ， 2 (20x0) ，3 (0 4 52） 的秩为 2 ，试求x 的值。4、已知向量组1 0 4 2 ， 21 1 0 ， 3243，4 1 1 1，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大（ 2 ）矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩；（3）一个 n 阶方阵的不同特征值对应的特征向

12、量线性无关；（ 4 ）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。、计算证明题1、已知向量 组 1 1 3 2 0 ， 27 0 14 332101，45162 ，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最无关组线性表示5、设向量组1, 2, 3 线性无关，证明：1 2, 23, 13 线性无关。6、设向量组1, 2, 3 线性无关， 记 11 ， 2 23， 3 1 2 3 ，证明： 1,2, 3 也线性无关。7、已知向 量 组 1 ( 1 21 1) ，2 (x 0 2 0) ，3 (54 0 2） 线性相关，试求x 的值。31148、已知向量组11 , 2 1 ,33 ,40

13、1 235冋：（1）1，2,3 ,4是线性相关还是线性无关？为什么？(2)求 1 ,2 ,3,4的一个极大无关组。9、设向量组1,2,3线性无关,记1 12223,312233证明：1,2 ,3也线性无关。10、设向量组 1 ,2, 3线性无关，证明：12, 23 ,31线性无关。第四章线性方程组一、选择填空题x2 2x3 2x46x535x1 4x2 3x33x4X5a1、线性方程组有解的充要条件是3x1 2x2 x3x43x50x1x2x3x4 x51a。x1x2a12、线性方程组X2X3a2有解的充要条件是。x3x4a3x4x1a43、设A是mn阶矩阵，Ax0是非齐次线性方程组 Ax b

14、所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）(1)若Ax0仅有零解，则Axb有唯一解；(2)若Ax0有非零解，则Axb有无穷多个解；(3)若Axb有无穷多个解，则Ax0仅有零解；(4)若Axb有无穷多个解，则Ax0有非零解。4、已知1,2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，1 ,2是对应齐次线性方程组Ax 0的基础解系，k“k2是任意常数，则方程组Ax b的通解必是（）(1)k1 1k2 ( 12)122 ； ( 2)k1 1k2( 12)1 22(3)k1 1k2( 12)12k11k2( 12 )1 22；(4)025、设 A是m n阶矩阵，齐次线性方程组Ax 0仅有零解的充要条件是

15、（ ）（i） A的列向量线性无关；（2）A的列向量线性相关；（3）A的行向量线性无关；（4）A的行向量线性相关。二、计算题Xi3x2X36i、设有线性方程组3x12x23x33，问a b为何值时，方程组有Xi4x2ax3 b唯一解？ 无解？有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。Xi X2 X312、为何值时，非齐次线性方程组XiX2 X3有唯一解？无解?2 Xi X2 X3有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。XiX2X343、为何值时，非齐次线性方程组XiX2X32有唯一解、无解、无XiX22 X34穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）XiX34、问为何

16、值时，非齐次线性方程组4xiX22X32有解？并求岀6xiX2 4X323解的一般形式。ax1 X2X345、问a, b为何值时，非齐次线性方程组Xibx2X33有唯一解？Xi2bx2X34无解？有无穷多解？Xi3x2 x366、设有线性方程组3xi2x2 3x33，问a、b为何值时，方程组有Xi4x2 ax3b唯一解？ 无解？有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。第五章相似矩阵及二次型、选择填空题2 2 21、 二次型 f（Xi,X2,X3） 2Xi 2X2 4X3 6X1X3 2X2X3 的矩阵为A。2 2 22、二次型 f（Xi,X2,X3） Xi X2 3X3 2XiX2

17、 4XiX3 6X2X3 的矩阵为9、设A和B皆为n阶实方阵，则下面论断错误的是(4) A可逆的充要条件是 A等价于EnA。3、 若A的特征值为1,0,2，则A2的特征值为 。4、已知矩阵A和B相似，且A的特征值为3, 2,1，则B的特征值为。5、 设A与B都是m n矩阵，则 A与B等价的充要条件是 。6、 已知三阶矩阵 A的3个特征值为1,2, 3，贝U A 。7、 设n阶实方阵A, B,C满足关系式 ABC E，其中E为n阶单位矩阵，则下列关系式成立的是()(1) ACB E ； (2) CBAE ； (3) BAC E ； (4) BCA E。8、设A和B皆为n阶方阵，则下F面论断错误的

18、是()(1) A与B等价的充要条件是rank (A) rank ( B)；(2 )若A与B等价，则AB ；(3) A与B等价的充要条件是存在可逆阵P、Q，使A PBQ ；(1) A与B相似的充要条件是存在可逆阵P，使得A P 1BP ；(2 )若A是反对称矩阵，则 AtA ；(3 )若A可逆，则 A可以表示成若干个初等矩阵的乘积；(4)若A是正交矩阵，则 A 1 o10、对n阶实矩阵 A和非零常数k，下列等式中正确的是()(1) kA knA(2) kAkn A(3) kA k A(4) kA kA o二、计算题2 2 21、求一正交变换 X PY，将二次型 f (x1 ,x2, x3) 3捲

19、 3x2 2x1x2 2x3化为标准形。2002、已知矩阵A032求一正交矩阵 p，使得PtAP为对角矩阵。0233、求一正交变换XPY，将下列二次型2 2 2 一f(X1,X2,X3) 5x1 6x2 7x3 4x1X2 4x2X3 化为标准形31 04、已知矩阵A130求一正交矩阵 p，使得PtAP为对角矩阵。00 25、求一正交变换使化二次型2 2 2f(xX2,X3) 2x1 3x2 3x34x2x3成标准形。6、求 一正交 变 换 X PY,将二 次 型f (X1,X2,X3)4x；2 23x2 2X2X3 3x3化为标准形式。第八早线性空间与线性变换、选择填空题1、设R3中的线性变

20、换T把基(1 0 1)T,(0 11)T ,(0 0 1)T 变为基(1 0 2)t,(121)T,(100)T，则 T 在基,下的矩阵为。32、设R 中的线性变换T : T(x1,x2, x3) (x1,x2,0),则T在基i (100),2 (1 1 0) ,3 (0 0 1)下的矩阵为。3、下列关于线性空间的说法不正确的是（）（1）次数为n（n 1）的实系数多项式的集合对于多项式的加法和数乘运算构成 线性空间；（2）n阶矩阵的集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间；（3）n维向量的集合对于向量的加法和数乘运算构成线性空间；（4 ）齐次线性方程组 Ax 0所有解的集合对于向量的加法和数乘

21、运算构成线性 空间。4、设T是线性空间V中的线性变换，则下列说法错误的是（2）丄),T(n）也线(1) T(0)0 ;T()；(2)(3)T() T()设向量组 1, 2丄,n线性无关，则向量组T( JT(性无关；(4)设向量组1, 2丄,n线性相关，则向量组T( JT(2）丄,T(n）也线性相关。5、下列变换不是线性变换的是（)32(1 )在 R 中，T(Xi,X2,X3) (Xi,Xi X2,X3)；(2) T(X) BXC，其中B,C为n阶矩阵;(3) Tf(x)f (x 1)，其中f (x)为不超过n次的多项式；(4) T()0,Rn。计算题1、在线性空间v3中，已知两个基:1 12

22、1， 2233，3 371，13 14，2 52 1，3116，求由基1,2,3到基 1 ,2 ,3的过渡矩阵。2、设 R3中的线性变换t在基1 (10 0)， 2(010)，5413(001)下的矩阵为A242，另取基1100，11 32 110，3111，求T在该基下的矩阵B。参考答案和提示：第一章一. 1、9 ； 2、-64 ； 3、18 ； 4、24 ； 5、A 0 ； 6、33 ； 7、-36 ； 8、3 ； 9、( 3)；10、(3)。1、 提示：利用初等行变换，简化行列式即得D 40。2、 提示：利用初等行变换，简化行列式，再利用行列式的性质即得D 0。3、 提示：利用初等列变换

23、(第1列乘以-1加到其它各列，再对后3列类似处理)D 0。4、 提示：利用初等列变换(第1行乘以-1分别加到第2至n行)即得 D n!。5、提示：利用初等变换(第 2行乘以-1加到后面各行，然后将第2列乘以-1加到后面各列，再利用行列式展开定理即得)，D 2(n 2)!6、提示：第1行乘以-1力倒第2行，第2行再乘以-1加到第3行，以此类推即得8、( 3); 9、(4); 10、(2)D 1。7、提示：将第 n-1列乘以-1加到第n列，再将第n-2列乘以-1加到第n-1列，以此类推；然后将第1行乘以（-1 ）依次加到第2至n行，再利用行列式展开定理即得D2x1 x2; Dn0(n2)。8、提示

24、：将第2至n行依次加到第1行，再提岀第1行的公因子，然后利用初等行变换化简行列式即得Dn x （n 1）a（xn 1a)。9、提示：将第1行乘以（-1 ）依次加到第2至n行，然后再将第 2行乘以（-1 ）依次加到第3-n行，重复上述过程n-1步即得D 1。10、利用行列式展开定理，将行列式按照第第二章1列展开即得Dnynn 1 n(1) X o1 229211一. 1、2 ; 2、2 ; 3、48 ; 4、；5、A212 ; 6、( 4);991197、( 3);2 213011、A1 1 0130，所以A可逆。由条件AB A 2B知，014B(A2E)1A，522B(A2E) 1 A432o

25、223、解:2、由AX B X得，X （E A） 1 B，其中E为3阶单位矩阵,311所以X (E A) B20o113、由条件知AB EA2B (AE)B2A2 E (A E)(AE)，20 1且A E可逆，所以B(AE) 1(AE)(AE) A E03 0 o10 24、(1)由 AB A B(AE)(BE) E，利用逆矩阵的定义知，A E可逆,1 1且(A E) B E ; (2 )由(1)知，B (A E) E，且0 2 1(A E)1110 ,1 0 01115、A111 ，111根据A B A 1 2B，得11 1移项得B-(E-A)421 16、 已.知A 11 21 15112

26、2A11011022根据1 2 1所以B 120 。1 0 1A 4 , A A A 11 1B (A ) (A 2B)1 1 01-011 o41 0 111 ，首先计算矩阵31 1(A) AA，(E2AB)，A，利用求逆方法得AA A EAAA1(A )1 1 A !T A IAIA1A5212 120o017、A2 ABEA(A B)EABA 1 B A A 11 11201A1 0 11B AA1020o0 010028、A2 A2E0 A(AE)2E，所以A及A E均可逆，1 1A 2(A E)；1 1 1(A 2E)(A E) 2A，所以 A 2E 可逆，(A 2E)-(A E )

27、A 。9、利用逆矩阵的定义验证即可。第三章一. 1、-1 ； 2、2 ; 3、3 ; 4、(3 ); 5、( 4 ) ; 6、( 4 ); 7、( 4) ; 8、( 3 ); 9、( 3);10、(3)o1、解：将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可:13201132 017014 32074 13212 10 13000 02 2 1333451624004 0412 3所以该向量组的秩为3，1 ,3,4是一个最大无关组，且2213334 °2、证明：由题意知，向量组(I)1 , 23 和(II )1 ,2,3,4的秩都是3，则1,2,3必线性无关，1,2

28、,3, 4线性相关，故4可由1,2,3线性表示，记为 4t1 1 t2 2 t3 3 ；而(III )1 , 2, 3, 5 的秩为 4，则 1 , 2 , 3, 5121112 1120x00452045200x30因为该向量组的秩为2,则非零:行数为 2 ,所以x 34、将给定的向量按行排列成矩阵,必线性无关。设k11k22k33k4(54)0，代入4t1 1 t2 2t3 3 得k1 1k2 2k3 3k4 5k4(t1 1t22t3 3)0 ,整理得(k1k4t|) 1 (k2 k4t2)2 (k3k4t3 )3k450，由1 ,2,3,5线性无关知,k1kqti0, k?kqt?0,

29、 k3 k4t30, k40所以ki k2 k3 k40,即i,2,3,54线性无关。3、解：提示：利用秩的定义和初等行变换将向量按行排成的矩阵化为阶梯形矩阵即利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可:最大无关组，且有4,5、证明：设k1(k12)k2(3)k3(13)0，即k3)1(k1k2)2 ( k2k3)k1性无关，所以& ,k2,k3只有零解,k1k21 2, 2k2k30，系数行列式为03,13线性无关6 、证明：设k11k? 2 k330，即k1 1 k2(12)k3 ( 123 )0，k1 k2k30k2k30，k1 k2k30，所以1,2, 3也线性无关。k30k1xk2

30、5k302k14k307、解：设k1 1k22k3 30,即,c，因为1，2,3线k12k20k12k30性相关，则k1,k2*3不全为零，由方程组知，k12k2 , k12k3，故 k1 , k2 ：*3均不为零，得x 38、将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：3111112211220451 3 2133300432214054000423521（1）由42 35 210可知：1，2，3，4线性相关；（2）1，2，3，4的一个最大线性无关组为1，2，3。9、证明:设k11k22k3 30即k1 1 k2( 122)k3(1/2 23 3)0，k1 k2k302

31、k22k30，k1k2k30，所以1,2 ,3也线性无关。3k3 010、证明：设k1(12)k2(23)k3(31）0，即(k1 k3)1(k1k2)2 (k2k3 )30，因为1,2,3线性无关，则有k1k30& k?0k2k3010 1系数行列式为11 02 0 ， 所以k1, k2, k3只有零解，01 11 2 ,23 ,31线性无关。第四章1、2； 2、aia2a? a41 ; 3、（4）； 4、（2）； 5、（ 1） 二解：i、对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系即得1316(Ab)0702100 a 1 b 13当a1时

32、，方程组有唯一解(系数行列式非零)当a 1且b 13时，方程组无解(rank (A) rank (A b)；当a 1且b 13时，方程组有无穷多解(ran k(A b) ran k (A) 2 3 )；此时齐线性方程组的基础解系为100 ，非齐线性方程组的特解为3130 1通解为3k1 03111齐线性方程组的基础解系为10,21，非齐线性方程组的特解为1010，0111通解为xk1 1k2 20k10k2 1010(3)2时211 11212 12 1 2A 121 22111 03331124112400 0 1ran k( A) 23 rank (A)所以方程组无解。(2)(1)2(1

33、)当1且2时,有匚唯一解；11111111(2)1时，A1111000011110000rank (A)1rank (A) 所以方程组有无穷多解;(1 )当1且4时，有唯一解；(2)1时，ran k(A) 2 ran k(A) 3 所以无解;3、解法同上题。(3)4时，rank( A) rank (A)23所以有无穷多解;4、提示：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组有解的充要条件是系数30基础解系为1，特解为4，10X130通解为 X2k 14 。X310矩阵的秩和增广矩阵的秩相等即得当 1时，rank(A) rank(Ab) 2，方程组有解;得系数矩阵的行列式为A b(1 a)，当

34、a 1,b0时方程组有唯一解；当 b 0时方程组无解；11当a 1,b时方程组有无穷组解；当 a 1,b时方程组无解。226、对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系即得当a1时，方程组有唯一解(系数行列式非零)1当a 1且b 13时，方程组无解(rank (A) rank (A b)；相应齐次方程组的基础解系为：213)；当a1且b 13时，方程组有无穷多解(rank (A b) rank (A) 21非齐次方程组的一个特解为x1 ，01故此时方程组的解的一般形式为x k 21齐线性方程组的基础解系为10 ，非齐线性方程组的特解为111( k为任

35、意实数)001通解为3k1 0315、提示：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组有唯一解的充要条件是第五章系数矩阵的行列式不等于零，有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等即203112一.1、 02 1 ； 2、113 ; 3、1，0，4 ; 4、3，-2，1 ; 5、31 4233rank (A)rank (B)；6、-6 ; 7、(4 ); 8、(2); 9、(4);10、(2 )o正交矩阵P1 12 21 12 200 ，则 PTAP1解:X13101、所给二次型矩阵为 A130，002二次型矩阵形式：f（X）XTAX，其中XTX1X2X3所求变换为X PYx2标准型为心小小）X31 1.2 、2_1_1- 2 . 2y1y2y32 2 24y1 2y2 2y3d1