1131角平分线的性质（1）

1、人教版八年级数学(上)11.3.1角平分线角平分线的性质（的性质（1）ADBCEADCBAOBC活活 动动1（对折对折）1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC=DC。 将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画画一条射线一条射线AE,AE就是角平分线就是角平分线，你能说明它的道理吗，你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？2、证明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）

2、 DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等） AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE活活动动3NOMCENM分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于21作法：作法：以为圆心，适以为圆心，适当长为半径作弧，交当长为半径作弧，交于，交于于，交于作射线作射

3、线OC则射线即为所求则射线即为所求 1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，把它以后，把它反向延长得到直线反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什是什么关系？么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，由结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的过直线上一点作这条直线的垂线的方法。方法。活活动动4ABOCD (1)实验：实验：将将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（三角形（使第一条折痕为斜边使第一条折痕为斜边），然后展开，观），然后展开，观察

4、两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活动动5 (2)(2)猜想猜想: : 角的平分线上的点角的平分线上的点, ,到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等. .证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对

5、应边相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E求证求证: PD=PE: PD=PE活活 动动5(3)验证猜想验证猜想活活 动动5 利用此性质怎样书写推理过程利用此性质怎样书写推理过程? PO是是AOB的平分线的平分线 ，PD OA， PE OB（已（已知）知）PD=PEP PA AOOB BC CE EDD12角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点，到角的两边的距离相等。角的平分线上的点，到角的两边的距离相等。BOACDPE1.如图

6、，如图，OC是是AOB的平分线，的平分线， PD=PEPDOA，PEOB2 2、自主完成练习册第、自主完成练习册第1717页页A A组第组第3 3、5 5题题3、如图、如图,在在ABC中，中，ACBC，AD为为BAC的平分线，的平分线，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的长。的长。EDCBAOABED思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意一点上任意一点,问问PE=PD?为什么为什么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角平它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离分线上任一点到这个角两边的距离,所所以不一定相等。以不一定相等。1 1、画

7、一个已知角的角平分线；、画一个已知角的角平分线；( (注意作图痕迹和几何语言的表达注意作图痕迹和几何语言的表达) )及过一点作一条已知直线的垂线；及过一点作一条已知直线的垂线；2 2、角平分线的性质：角平分线的性质： 角的平分线上的点，到角的两边的角的平分线上的点，到角的两边的距离相等距离相等 3、角平分线的性质的应用、角平分线的性质的应用作业：作业：1、课本第、课本第22页第页第2题题2、在、在RtABC中，中，BD平分平分ABC， DEAB于于E，若，若AB10，BC8，求，求BE，AE的长。的长。EDCBAA3.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC， DEAB于于E，则：，则：图中相

8、等的线段有哪些？相等的角呢？图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长。的周长。EDCBAA一、过程小结：一、过程小结：情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应用再应用二、知识小结：二、知识小结：本节课学习了那些知识？有哪些运用？你本节课学习了那些知识？有哪些运用？你学了吗？做了吗？用了吗？学了吗？做了吗？用了吗？ 如 图 ： 在如 图 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分的平分线，线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=E

9、BACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路w 定理定理 角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等. .w OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线, ,w P P是是OCOC上任