集合间的基本运算

1、集合间的基本运算一、知识概述1交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做 A, B的交集.记作 A I B （读作 A 交 B'），即卩 A I B= x|x 二 A,且 x二 B.2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做 A, B的 并集.记作： A一 B （读作 A并 B'），即卩 A_ B =x|x ：A,或 x_B.3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中 所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作， 即二X | X丘&且x毎j4）全集：如果集合S含有我们所要研

2、究的各个集合的全部元素，这个集合就 可以看作一个全集，全集通常用 S，U表示+4、运算性质：（1）| 一 _丁 匕一人（2）：；（3）厂Tr m；（4）J . _ -'；（6）匚一仁m=-加；二、例题讲解例 1、设集合 A= 4, 2m- 1, m , B=9, m-5, 1 m,又 A I B=9，求实数 m的值.解：IA I B=9，二 2m 1=9或 m=9,解得 m=5或 m=3或 m= 3.若 m=5 贝U A= 4, 9, 25 , B=9, 0, 4与 A I B=9矛盾；若m=3则B中元素m 5=1 m= 2,与B中元素互异矛盾；若 m=-3,则 A= 4, 7, 9

3、, B=9, 8, 4满足 A I B=9.二 m=- 3.例 2、设 A=x|x 2+ ax+ b=0, B=x|x 2 + ex + 15=0,又 AB=3, 5 , AA B=3, 求实数a , b , e的值.解：v AA B=3，二 3 B，二 32 + 3e+ 15=0, e= 8,由方程 x2 8x+ 15=0 解得 x=3 或 x=5. B=3 , 5.由 A （AB） =3 , 5知,3 A, 5A（否则 5 AA B,与AG B=3矛盾)故必有A=3,.方程x2 + ax+ b=0有两相同的根3.由韦达定理得 3+ 3= a, 3 . 3=b,即 a= 6, b=9, c=

4、 8.例 3、已知 A=x|x 3 + 3x2 + 2x >0 , B=x|x 2 + ax+ b< 0,且 AG B=x|0 vx< 2,AU B= x | x > 2,求 a、b 的值.解：A=x| 2vxv 1 或 x>0,设 B= xi, X2，由 AG B= (0, 2知 X2= 2,且1<xW 0,由 AU B= ( 2 ,+x)知一2w X1 w 1.由知Xi = 1, X2 = 2,a=( X1 + X2)= 1, b= X1X2= 2.例 4、已知 A=x|x 2 ax+ a2 19=0, B=x|x 2 5x + 8=2, C=x|x 2

5、 + 2x 8=0. 若匕GAG B,且AG C=, 求 a的值.解：- B=x|(x 3)(x 2)=0=3 , 2,C=x|(x + 4)(x 2)=0= 4 , 2,又 AG c=,可知4A, 2, A, 3 A. 由 9 3a+ a 19=0,解得a=5或a= 2.当 a=5 时，A=2, 3，此时 AH C=2工 J ,矛盾，二 a 5;当 a= 2 时，A= 5, 3，此时 AH , AH B=3，符合条件.综上知a= 2.例5、已知全集U=不大于20的质数 ,M N是U的两个子集，且满足MA （ 丁 ） =3 , 5 ,（“'7 ）H N=7, 19 ,（ F戈）H（）

6、=2 , 17，求 M N.解：用图示法表示集合U, M N （如图），将符合条件的元素依次填入图中相 应的区域内，由图可知：M=3, 5, 11, 13, N=7, 11, 13, 19.点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知 区域填起，从已知区域推测未知区域的元素.特别提示：下列四个区域:对应的集合分别是:I"；一门：一二丄：一小.一、选择题1下列命题中，正确的是 （）A. 若U=R庖U,齢（【曲”;B. 若U为全集，表示空集，则 二；C. 若 A=1,2，则2 _ A;D. 若 A=1，2，3，B=x|x _ A，则 A B.3J2、设数集且M

7、N都是集合x|0 < x< 1的子集，如果把b-a叫做集合x|a <x< b的“长度”，那么集合 MH N 的“长度”的最小值是（） 1A.二B .-1丄C. <D .匚3、 设M N是两个非空集合，定义 M与N的差集为M- N=x|x M且xN，则 M-（ M- N）等于（）A. NB . MA NC. MJ ND . M4、已知全集；艮，集合川卜半丁；和_工"- 的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，贝U阴影部分所示的集合的元素共有（）A. 3个C. 1个B . 2个D .无穷个1、丄J=U, 2 A, 2单独看是一个集合，但它又 是A中的一个元素.

8、312、集合M的“长度”为，集合N的“长度”为一，而集合x|0 <x< 1的“长度”为1,故MAN的“长度”最小值为3、M-N=x|x “且xFN是指图（1）中的阴影部分.同样M-（ M- N）是指图（2）中的阴影部分.4、t图形中的阴影部分表示的是集合 MPIM,由1咋2解得集合二一丄二；，而n是正奇数的集合，"'：，故选B.二、填空题5、已知集合A=x|x 2 3x+ 2=0，集合B=x|ax 2=0（其中a为实数），且AU B=A 则集合 C=a|a 使得 AU B=A=L5、0, 1, 2解析：A=1, 2，由 AU B=A 得 BUA. 1 A,即得 a

9、=2;或 2 A,即得 a=1 ;或 B=©，此时 a=0. C=0, 1, 2.6、非空集合S$1 ,2,3,4,5，且若a S,则6-a S,这样的S共有个.6、6解析：S=1, 5或2 , 4或，或1 , 3, 5，或2 , 4 , 3，或 1 , 5 , 2 , 4.三、解答题7、设集合 A=-5,1-禺9.(1) 若丄L |,求实数a的值.(2) 若三：二花,求实数a的值.7、解：(1)：9 一 丨-,A9A.则a2=9或.解得a=±3或5.当诂一：时，一 .： 一 二 (舍)；当门一 一1时，_ I ，】- 'I '1 (符合)；当二时，_ I&

10、quot;丄-(符合).综上知一 ：一或一： .(2)由(1)知门一一8 已知全集 U= R, 二 - '- ' I" <0 / _ ; ' V卅+ 或 x>_： 1 ，若丁三，求实数】.的取值范围8、解：依题设可知全集U =R且丿I一+100牛Cm=伏|一2三x心,£ =圧|炯+i三x w2卿一1，由题设二 I.- -可知.分类如下：若匕，则mi+ 1 >2nn-1-/ m< 2.Jw+1 -2若厂二，则m K 2mv 1,且丨宀 1，解得2< mfC 3.由可得：me 3.实数m的取值范围为m|m< 3.9、已

11、知全集 U=|a -1|，(a - 2)(a -1)，4，6.(1)若"；"-：比求实数a的值；(2)若L.求实数a的值.9、解：(1)t I一 一且 B_U,|a - 1|=0 ,且(a - 2)(a - 1)=1 ,或 |a -1|=1 ,且(a - 2)(a -1)=0 ;第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a -1|=1得a=0或a=2, -a=2.(2)依题意知 |a - 1|=3 ,或(a - 2)(a - 1)=3,若 |a -1|=3 ,则 a=4, 或 a=-2；_ 3±苗若(a - 2)(a -1)=3，贝U 厂 经检验知a=4时，(4 2

12、)(4 1)=6，与元素的互异性矛盾.3±13 a=- 2 或 -10、设集合 A = ：| 和二 , B = ：| +- 一-一，辽.;，若 Al B=B求实数一;的值.10、解：先化简集合 A= .由 A l B=B贝U B：A,可知集合B可为 ,或为0,或 -4,或.(i) 若 B=，则 一 L一，解得1 ；(ii) 若”二B,代入得,-=0二 =1或匸=,当肥=1时，B=A符合题意;当匚=1时，B=O_A,也符合题意.（iii）若4二 B,代入得:=7或=1,当】=1时，已经讨论，符合题意；当=7时，B= 12, 4，不符合题意.综上可得，匚=1或匚w 1.11、已知集合 A

13、=x|x 2 4m灶 2计 6=0， B=x|x V 0，若 AA Bm，求实数 m的取值范围.*X&=和|右=（_4那）2-4（2和 + 6庐0= b|b-1,或熄鼻一11、解：设全集_ .弋吗十迥=4储事H若方程x2 4mx+ 2m 6=0的两根x，x?均非负，则妙孟2 =加+方；。解得旳鼻一 m|-关于U的补集是m|m< 1，二实数m的取值范围是m| nW 1.1、（全国 I，1）设集合 A=4，5, 7,9，B=3,4, 7, 8, 9，全集 U=AU B，则集合 臥的B）中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个答案：A解析:虫c B = 4丄 9 Mu

14、B 二3,4,5,789馬（Me B）二3,5御故切2、（福建，2）已知全集U=R,集合A-x|x2 2x>0，则 等于（）A. x|0 < x< 2B. x|0<x<2C. x|x<0 或 x>2D . x|x < 0 或 x > 2答案：A解析：/ x2 2x>0，二 x（x 2）>0，得 x<0 或 x>2, A=x|x<0 或 x>2，-A-xQ<X <2）.3、 （山东，1）集合 A=0 , 2, a, B=1 , a2.若 AU B=0, 1, 2, 4, 16，则 a 的值 为（

15、）A. 0B. 1C. 2D. 4答案：D解析：t AU B=0, 1, 2, a, a2，又 AU B=0, 1, 2, 4, 16, a , a2=4 , 16 , a=4 ,故选D.集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。图形不仅可以使各集合之间 的相互关系直观明了，同时也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合运算能建立 在直观的形象思维基础上.因此图形既是迅速理解题意的工具，又是正确解题的手段 例1、某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49 % ,电视机拥有率为85% ,洗衣机拥有率为44% ,至少拥有上述三种电器中两种以上的占63% ,三种电器齐全的为25% ,那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为（）A. 10%B. 12%D. 27%分析:这是一个小型应用题把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其某 个子集的元素个数，可借助Venn图解法.解：不妨设调查了 100户农户，U= 被调查的100户农户,A= 100户中拥有电冰箱的农户,B= 100户中拥有电视机的农户,C= 100户中拥有洗衣机的农户,由图知， 乩Mic 的元素个数为 49 + 85 + 44 63 - 25= 90.则5U （-0的元素个数为100 90=10.答案：A一般此类题利用Venn图直观手段，使集合中元素的个数，以及集合间的关系更直 接的显示，进而根据图逐