通信原理北邮第三章随机过程

1、第三章 随机过程北京邮电大学信息工程学院牛凯2022年3月2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 23.1 引言 随机信号不能用确定的时间函数来描述，但有一定的统计规律性的信号 通信系统中哪些信号是随机信号 通信信号 随机干扰和随机噪声 数学模型随机过程: 是随机信号和随机噪声的数学模型2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 3随机过程 随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量 样函数 随机过程的具体取值称作其实现(样函数),是时间的函数 样函数空间 所有实现构成的(全体)集合称作随机过程的样函数空间 所有样函数x(t)、y(t)及其统计特性构成了随机过程X(t

2、)、Y(t)2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 4随机过程 x1(t)、 x2(t)是样函数x2 ( t )0tt2 样函数确定， x2(t1)、 x2 (t2)不确定，是随机变量 x1(t)、x2(t)是时间的函数x1 ( t )0tt1 t1确定， x1(t1)、 x2(t1)不确定，是随机变量2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 53.2 随机过程的统计特性1、概率分布函数和概率密度函数一维分布函数)(),(11111xtXPtxF概率密度),(),(1111111txpxtxFn 维分布函数),;,(2121nnntttxxxF)(,)(,)(2211nnxtXx

3、tXxtXP概率密度),;,(2121nnntttxxxpnnnnxxxtttxxxF212121),;,(2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 62、随机过程的数字特征（1）数学期望)(),()(1tmdxtxxptXEX（2）方差2)()()(tXEtXEtXD222( )( )( )XXE Xtmtt（3）自相关函数(统计平均或称集平均),()()(2121ttRtXtXEX 212121221),(dxdxttxxpxx),(),(1121ttRttRX当t2 = t1+ 时,2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 7（4）自协方差121122( , ) ( )( )

4、 ( )( )XXXC t tE X tm tX tm t1212( , )( )( )XXXRt tmt mt（5）归一化协方差函数121212( , )( , )( )( )XXXXC t tt ttt121212( , )0 ( , )0)( )( )XXt tCt tX tX t如果或则称和不相关2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 83.两随机过程的联合分布函数和数字特征(1) 联合分布函数和概率密度n+m维的联合分布函数),;,;,;,(2212121,1mmnnmntttyyytttxxxF)(,)(,)(;)(,)(,)(22122111mmnnytYytYytYxt

5、XxtXxtXPn+m维的联合概率密度mnmmnnmnyyyxxxtttyyytttxxxF21212212121,),;,;,;,(1),;,;,;,(2212121,1mmnnmntttyyytttxxxp2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 9两个随机过程相互独立的充要条件11,121 2122121 2122( , , , ; , , , ; , , , ; , , , )( , , , ; , , , )( , , , ; , , , )nmnnmmnnnmmmFx xx t tt y yy t ttF x xx t ttF y yy t ttmnmnFFF,mnmnppp

6、,2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 10(2) 两个随机过程的数字特征 互相关函数 dxdytytxxyptYtXEttRXY),()()(),(2122121 互协方差函数 )()()()(),(221121tmtYtmtXEttCYXXY)()(),(2121tmtmttRYXXY不相关。与则)()(,0),(,2121tYtXttCttXY相互独立，必定不相关，反之，不一定正态(高斯)过程，不相关和独立是等价的2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 11称X(t)狭义平稳随机过程(严平稳随机过程)对于任意n和t1, t2, , tn以及 有 3.3 平稳随机过程1.

7、 狭义(严)平稳随机过程定义 注：任意n维分布函数只与 t2-t1=有关分布函数12121212( ,; , , )( ,)nnnnnnF x xx t ttF x xx ttt2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 122. 宽平稳随机过程定义 满足XmtXE)()(),(21XXRttR称X(t)为宽平稳随机过程(广义平稳)数学期望与时间无关注：只要求一维和二维分布存在 并不要求n2维分布存在自相关函数只与t2-t1=有关2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 13 狭义(严)平稳与广义(宽)平稳随机过程的关系 狭义平稳随机过程不一定是广义平稳随机过程 狭义平稳随机过程在一

8、、二阶矩同时存在的条件下，是广义平稳随机过程 例如：柯西分布，一、二阶矩不存在， n维分布可能存在221( )0,()af xaxax 2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 14 狭义(严)平稳与广义(宽)平稳随机过程的关系 广义平稳随机过程不一定是狭义平稳随机过程 因为广义平稳随机过程不保证任意n维分布存在正态(高斯)过程狭义(严)平稳和广义(宽)平稳等价的2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 153. 联合宽平稳随机过程 )()()(),(21XYXYRtYtXEttR若X(t)，Y(t)是宽平稳随机过程 称X(t)，Y(t)为联合宽平稳随机过程 互相关函数只与t2-t

9、1=有关 2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 164. 平稳随机过程相关函数的性质 )(tX是实平稳过程，自相关函数 )(XR)()()(tXtXERX性质)()0(2tXERX)()(XXRR)0(| )(|XXRR)(XR与 具有相同的周期函数)(tX若 则0)(tXE0)(lim|XR1电阻上的瞬时功率(t时刻)统计平均功率(与t无关)偶函数RX(0)最大2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 175. 各态历经性（遍历性） TTTdttxTtx)(21lim)(时间平均 时间相关函数 TTTdttxtxTtxtx)()(21lim)()(如果满足1)()(txtXE

10、P1)()()(txtxRPX则X(t)称为宽遍历随机过程 均值遍历过程自相关遍历过程2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 18若X(t)的所有统计平均特性和所有相应的时间平均特性都相等，称X(t)为严遍历过程或窄义遍历过程 严遍历过程 遍历过程必定是平稳过程，但平稳过程不一定是遍历过程 对于遍历过程，只要根据其中一个样函数，便可得到其数 字特征2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 19TFPTTx2| )(|lim)(随机过程功率谱密度TFETFEPTTTTX| )(|lim| )(|lim)(226. 平稳随机过程的功率谱密度P() （1）定义功率谱密度令X(t)为平稳

11、随机过程，x(t)是其某实现(样函数)2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 207. 维纳辛钦定理 )()(XXPR平稳随机过程自相关函数与功率谱密度互为傅利叶变换2*|( )|( )( )TTTFFF1/2/21()1/2/21 ( ) ( )TTjt tTTE X t X tedt dtT平稳过程2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 212022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 22T-T/2T/2T/2-T/2 =-T/2-t1 =T/2-t1(1) 0(2) 21122022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 36一维正态分布的性质aadxxpdxxp21

12、)()(11对称于直线a 0a1当 ， 称为标准化正态分布)2exp(21)(2xxp2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 37正态分布函数xdzazxF2)(exp21)(22概率积分函数 xdzzx)2exp(21)(21)()(xx误差函数 xtdtexerf022)(互补误差函数 xtdtexerfxerfc22)(1)(三者关系1)2(2)(xxerf)2(22)(xxerfcQ函数 211( )exp()()22221( )xzxQ xdzerfcx 2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 383.5 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统的框图 ( )

13、( )* ( )( ) ()( ) ()Y tX th tXh tdh u X tu du2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 39( )(0)YXYm tm Hm(0)( )Hh u du( )()( )Xh u E X tudum h u du( ) ( )( )()YmtE Y tEh u X tu du1. 随机过程Y(t) 均值(统计平均)且系统稳定，则设,)(tXE与t无关X(t)平稳过程,与t无关2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 402. 随机过程 自相关函数)(tY为平稳随机过程 )(tY12( )()( )()Eh u X tu duh v X tv

14、dv与t无关平稳随机过程通过线性系统，输出仍然为平稳随机过程1212( ,) ( ) ( )YRt tE Y t Y t12()() ( ) ( )E X tu X th u h v dudv () ( ) ( )( )XYRuv h u h v dudvR X(t)平稳过程,与t无关2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 413. 互相关函数与互功率谱密度)()(),(2121tYtXEttRXY定义： 和 的互功率谱密度： )(tX)(tY)()(XYXYRP)()()()(HPPRXXYXY)()()(XYXRhR)()()(21duuhutXtXEduuhutXtXE)( )(

15、)(21duuhtutRX)()(12duuhuRX)()(卷积定理输入输出的互相关函数等于输入的自相关函数与系统单位冲激响应的卷积2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 424. 的功率谱密度)(tY)()(YYRP*( ) ( )( )XHHPdeRPjYY)()(dedudvvhuhvuRjX )()()( dudvvhuhvuRX)()()(dvdudevuRvhuhjX)()()(),(vuvu令( )( )( )j uj vjXh u eduh v edvRed2|( )|( )XHP2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 43对于希尔伯特变换来说)()(),sgn

16、()(tXtYjH( )( )( )YXXPPP则( )( )( )YXXRRR2( )1H2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 445. 的概率密度)(tY(1) 若X(t)是正态(高斯)随机过程，则Y(t)也是正态随机过程。(2) 若平稳随机过程X(t)的带宽X (系统带宽)，则Y(t) 趋于正态(高斯)随机过程2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 453.6 高斯白噪声1. 如果一个平稳随机过程的功率谱密度如下式 所示， 则称其为白噪声。)(-)(2)(0常数NPn2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 463.6 高斯白噪声(WGN) 白(W: White)

17、: 功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的 高斯(G: Gaussian): 在时域中取值为高斯分布，即概率密度函数为高斯型,高斯(平稳)过程2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 473.6 高斯白噪声(WGN)(1) 若 ， (t)为确定函数， 则X 为高斯随机变量，数学期望为0， 方差为2. 高斯白噪声的性质0( ) ( )TXn tt dt2200( )2TxNt dt 证：00( ) ( ) ( ) ( )0TTE XEn tt dtE n tt dt2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 483.6 高斯白噪声(WGN) 证：211122200( ) ( )( ) (

18、 )TTxEn tt dtn tt dt11221200( ) ( ) ( ) ( )TTEn tt n tt dt dt 12121200 ( ) ( ) ( ) ( )TTE n t n ttt dt dt 021121200() ( ) ( )2TTNtttt dt dt 20220( )2TNt dt平稳、高斯白噪声2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 493.6 高斯白噪声(WGN) 令 ，表示信号(t) 的能量， 则X的概率密度可表示为均值为0，方差为 x2的高斯分布20( )TEt dt20(0,)(0,)2XNXNNE 若E=10(0,)2NXN2022-3-1北京邮

19、电大学信息与通信工程学院 503.6 高斯白噪声(WGN)(2) 若 ， 1(t) 、2(t)为确定函数，则112200( )( )( )( )TTXn tt dt Xn tt dt，012120( )( )2TNE X Xtt dt 若1(t) 、2(t)在(0T)时间间隔内正交，即120( )( )0Ttt dt 则X1与 X2统计独立2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 513.6 高斯白噪声(WGN) 证：121111222200( )( )( )( )TTE X XEn tt dtn tt dt1211221200( ) ( )( )( )TTEn t n ttt dt d

20、t 1211221200 ( ) ( )( )( )TTE n t n ttt dt dt 02111221200()( )( )2TTNtttt dt dt 0122220( )( )2TNtt dt平稳、高斯白噪声2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 523.6 高斯白噪声(WGN)(2) 若012120( )( )02TNE X Xtt dt且EX1= EX2=0，则X1与 X2互不相关120( )( )0Ttt dt 所以：X1与 X2统计独立又因为X1和 X2服从高斯分布2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 533.6 高斯白噪声(WGN)(3) 若限带高斯白噪声

21、，其功率谱密度为0|( )20|HnHNffPfff其相关函数2( )( )HHfjfnnfRPf edf 2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 543.6 高斯白噪声(WGN)(3) 若限带高斯白噪声，其相关函数2( )( )HHfjfnnfRPf edf 22200222HHHHjfjffjffNN eeedfj 002sin2sin2222HHHHNffN ff2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 553.6 高斯白噪声(WGN)(3) 若限带高斯白噪声，其相关函数2( )(2)nnHRSaf0,1, 2, 3,2nHkRkf n(t)N(0,n2) ，n(t)与 n

22、(t+k/2 f H)互不相关 故n(t)与 n(t+k/2 f H)相互独立2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 563.6 高斯白噪声(WGN)-4-3-2-101234-0.20.20.40.60.81Rn( )2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 573.6 高斯白噪声(WGN)采样间隔为1/(2 fH)的K个样值n(t1) n(t2) n(tK)相互独立，其K维联合概率密度为 1212( ) ( )()( )( )()KKp n t n tn tp n tp n tp n t2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 583.7 窄带随机过程1. 定义)(tX

23、为平稳随机过程，功率谱密度 如图所示 )(XPcc)(XP2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 59X(t)的某个样函数如下图所示 包络和相位缓慢变化的正弦波信号2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 602. 窄带随机过程的表示式( )( )cos( )cX ta ttt= ( )cos ( )cos( )sin ( )sincca ttta ttt( )( )cos ( )cX ta tt( )( )sin ( )sXta tt( )( )cos( )sinccscX tXttXtt令同相分量相位正交分量包络（1）包络相位表示式都是随机过程(慢变化)2022-3-1北京邮

24、电大学信息与通信工程学院 61(2) 解析信号表示式c( )( )( )( )jtLZ tX tjX tXt e( )( )cjtLXtZ t e( )( )( )( )( )jtLcsXtXtjXta t e( )( )( ) cossin csccZ tX tjX ttjt( )( )( )( )ccjtjtjtLZ tXt ea t ee( )Re( )( )cos( )cX tZ ta ttt验证复载波复包络可以证明=( )cos( )sin( )sin( )cosccscccscX ttX ttj X ttX tt( )= ( )( ) cos( )sin( )cjttcca t e

25、a tttjtt( )Re( )( )cos( )sinccscX tZ tX ttX tt与定义式相同2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 62( )Re( )( )cos( )sin( )cos( )ccsccX tZ tX ttX tta ttt22( )( )( )( )( )arctan( )cssca tXtXtXttXt( )( )cos( )cXta tt( )( )sin( )sXta tt两种表示方式参数之间的关系都是随机过程都是随机过程都是随机过程都是随机过程都是随机过程都是随机过程2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 633. 窄带平稳随机过程的自相

26、关函数与功率谱密度(1) Z(t)的自相关函数与功率谱密度12121122( , )( ) ( )( )( )( )( )ZR t tE Z t Z tEX tjX tX tjX t12121212( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )E X t X tX t X tjX t X tjX t X t( )( )( )( )XXX XXXRRjRjR21tt( )2( )( )XZXRRjR( )( )XXRR2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 64( )( )2( )( )XZZXPRRjRFFF2( )sgn( )( )21 sgn( )XXXPPP2( )2(

27、 )2( )2( )( )XXXX XPjRPjPHF2( )2sgn( )( )XXPjjP4( ) ( )XPu单边功率谱2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 65(2) 复包络XL(t)的相关函数与功率谱密度()*( )( )()( )()ccLjtjtXLLRE X t X tE Z t eZ te*( )()( )ccjjZEZt Z teRe ( )( )LLXXRP( )()LXZcPP基带随机过程2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 66(3) Xc(t), Xs(t)的统计特性( )( )( )( ) cossincjtLccX tZ t eX tjX t

28、tjt( )( )cos( )sin( )( )cos( )sincccsccXtX ttX ttXtX ttX tt( )cos( )sin( )cos( )sinccccX ttX ttj X ttX tt( )( )( )( )( )jtLcsXtX tjX ta t e( )( )cossinsincos( )( )cccccsX tX tttttX tX t2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 67(3) Xc(t), Xs(t)的统计特性( )( )( )( ) cossincjtLcsccZ tX t eX tjX ttjt( )( )cos( )sin( )( )si

29、n( )cosccscccscX tX ttX ttX tX ttX tt( )cos( )sin( )sin( )cosccscccscX ttX ttj X ttX tt( )( )cossinsincos( )( )cccccsX tX tttttX tX t2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 68Xc(t), Xs(t)的统计特性(续)( )0E X t( )0E X t 若则有( )( )0csE XtE Xt所以 若X(t)是高斯过程，则 也是高斯过程，由此: Xc(t) 和Xs(t)也是高斯过程。( )X t高斯过程的线性和仍然是高斯过程 若X(t)是宽平稳过程，则X

30、c(t)和Xs(t)为联合宽平稳过程， 即它们是平稳过程，它们的互相关函数只与有关。证明 2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 6912( , )( )cos( )sinsXXXccRt tRR ( )( )scXXRR12( , )( )cos( )sinCXXXccRt tRR 若X(t)是宽平稳过程，则Xc(t)和Xs(t)为联合宽平稳过程， 即它们是平稳过程，它们的互相关函数只与有关。证明（略） 12( , )( )cos( )sincsXX XcXcRt tRR( )()( )cos( )sinsccsXX XX XcXcRRRR 2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程

31、学院 70Xc(t)，Xs(t)的统计特性(续2) Xc(t)，Xs(t)和X(t)的方差相等 2(0)(0)(0)csXXXXRRR Xc(t)，Xs(t)在同一时刻不相关 (0)(0)(0)0csscXX XX XRRR Xc(t)，Xs(t)具有相同的功率谱密度 ( )( )csXXPP( )( )scXXRR2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 71()(), ( )( )0, csXcXcccXXPPPP其他( )( )cos( )coscsXXcXcRRR 对于严格限频信号: 能量(功率)严格限制在带宽内的信号，当 c 时有 对于非严格限频信号，当 1时，v=a附近，高斯

32、分布 (a1: 高信噪比)2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 823.9 匹配滤波器 问题的提出 线性滤波器输入端为信号+噪声 由于噪声的影响，如何设计线性滤波器，使其性能最佳 衡量“性能”的指标 线性滤波器的实际输出波形和期望波形之间的最小均方误差 线性滤波器在给定时刻上，获得最大的输出信号与噪声的功率比值(简称: 信噪比) 最佳线性滤波器 在某一指标(或准则)意义下获得的线性滤波器就称为最佳线性滤波器 相对的概念“均方误差最小”或“输出信噪比最大”等准则意义下的最佳匹配滤波器2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 833.9 匹配滤波器1定义 信噪比 =信号功率噪声功率

33、在某时刻信噪比最大的滤波器)(tx)(th)(ty)()(tnts( )( )oos tn t匹配滤波器是保证输出信噪比最大的线性滤波器确定信号随机过程(白噪声)确定信号随机过程2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 842. 传输特性 与单位冲激响应 )(th)(H输入信号:)()()(tntstx输出信号:( )( )( )ooy ts tn t( )( )oos tS)()(Sts)(tn噪声均值为0，双边功率谱密度为2)(0NPn设：在t0 时刻输出信噪比最大输出信号瞬时功率:20|( )|os t输出噪声功率：20( )oE nt输出信噪比 :2020|( )|( )ooos

34、 trE nt2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 85( )( )( )( )oos tSSH信号输出:11( )( )( )( )22j tj toos tSedSHed0001( )( )|( )( )2j toot ts ts tSHed20( )oE nt2)(0NPn噪声输出:已知噪声功率谱密度:输出噪声功率谱密度20( )|( )|2onNPH22011( )( )|( )|222oonNE ntPdHd2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 86输出信噪比 :2020|( )|( )ooos trE ntdHNdeSHtj202| )(|221)()(210许

35、瓦尔滋不等式 ：dYdXdYX222)(21)(21)()(21仅当 时，等式成立)(*)(KYX2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 87证明 :令:2222( )( ),( )( )XYabXdYd2222111()(24)()444a babababa bab21(),04a baba b01(),02a baba b2222( )( )1122( )( )XYXdYd221/2|( ) ( )|( )( )XYXdYd2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 88证明 : 上式两边积分，关系不变，左边为1仅当 时，等式成立)(*)(KYX许瓦尔滋不等式221/2( )(

36、 )( ) ( )XdYdXYd上式两边平方，同乘以(1/2)2222111( ) ( )( )( )222XYdXdYd ( ) ( )XYd 2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 89因此:222201|( )| ( )|4|( )|4oHdSdrNHd即:02oErN其中dSE2| )(|21最大输出信噪比02oErN0)(*)(tjeKSH前提:令:)()(HX0( )( )j tYSe2001| ( )|2SdENN2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 90冲击响应为)(0ttKs011( )( )*( )22j tj tj th tHedKSeed0()*( )2jttjKseded0()*( )2jttjKseded0()1 ( )2jttKedsd 0() ( )Ktt sd 实函数2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 91要求满足t t 0，物理可实现 令t0 =T, h(t) = Ks(T- t) 匹配滤波器物理可实现 同时s(t)=0, t 0, s(t)的持续时间为0T令：u= t0 tt t0 s(u)= 0, u t 0所以h(t)的持续时间也为0T2022-3-1北京邮电大学信息与通信工程学院 92 匹配滤波器)(th( )s t)(ty