解三角形应用题的解题思路分析

1、解三角形应用题的解题思路分析正弦、余弦定理在实际生活中有着极其广泛的应用，对经过抽象、概括最终转化为三角形中的边角问题的实际问题的求解十分有效，本文略谈一下解三角形问题的解题思路，以供参考。思路一：解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题。例1 如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限，制需要在岸上选取和两个测量点，现测得， ，求两景点与的距离（假设在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：）分析：把“两景点与的距离”确

2、定为以三角形BCD为模型即在三角形BCD内求解。解：在ABD中，设BD=x，则， 即整理得： 解之： ，（舍去），由正弦定理，得： ,11(km). 答：两景点与的距离约为11.km. 思路二：解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.例2 用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.分析：在RtEGA中求解EG，只有角一个条件，需要再有

3、一边长被确定，而EAC中有较多已知条件，故可在EAC中考虑EA边长的求解，而在EAC中有角，EAC180°两角与BDa一边，故可以利用正弦定理求解EA.解：在ACE中，ACBDa，ACE，AEC，根据正弦定理，得AE在RtAEG中，EGAEsinEFEGbb。答：气球的高度是b. 思路三：解三角形时，通常会遇到两种情况：已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. （1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中的情况例3 在奥运会垒球比赛前，C国教练布

4、置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示） 分析：在三角形AOB中运用正弦定理求解问题。解：设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则AOB15°，OBvt，。在AOB中，由正弦定理得， 而，即sinOAB>1,这样的OAB不存在，因此游击手不能接着球. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形的情况例4 在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，

5、上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？分析：解答该题要涉及三角形RtPAC、ACB、ACD。解析 (1)在RtPAB中，APB=60° PA=1，AB= (千米)在RtPAC中，APC=30°，AC= (千米)。在ACB中，CAB=30°+60°=90°，（千米时）。 (2)DAC=90°60°=30°sinDCA=sin(180°ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB