分块矩阵（课堂PPT）

1、分块矩阵分块矩阵一一. 分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则二二. 分块矩阵的一些例子分块矩阵的一些例子 矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。 在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的矩阵的子块子块；以子块为元素的矩阵，称为；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵分块矩阵。 1、矩阵分块的方法、矩阵分块的方法,321 BBB bbaaA110

2、101000001 例如例如 A001aba110000b110 1B2B3B 即即, BEOA ,4321AAAA bbaa110101000001bbaa110101000001 aaA01其其中中 bbB11 1001E 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004 说明说明 (1). 矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的分块方法，应根据需要进行选择。分块方法，应根据需要进行选择。 2、矩阵分块一般形式、矩阵分块一般形式 矩阵矩阵A = ( aij )mn，在行方向分，在行方向分s块，列方向分块，列方向分t块，块，称称A为为s

3、t分块矩阵分块矩阵，第，第k行行l列子块列子块Akl是是mknl阶矩阶矩阵。阵。stssttAAAAAAAAAA212222111211smmm21tnnn21 各子块行数各子块行数 各子块列数各子块列数 mmskk1nntll1 说明说明 (2). 矩阵分块三原则：体现矩阵分块三原则：体现原矩阵特点原矩阵特点，依，依据据问题需要问题需要，子块可以作，子块可以作元素运算元素运算。分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则 设设A、B是是mn阶矩阵，采用相同的分块法分块将阶矩阵，采用相同的分块法分块将A、B分块如下：分块如下： 1、分块加法、分块加法stssttAAAAAAAAAA2122221112

4、11stssttBBBBBBBBBB212222111211tsklklBABA则定义 注注. 分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一是是分块分块矩阵的元素矩阵的元素；二是本身是；二是本身是矩阵矩阵。 2、分块数乘、分块数乘 设设A是是mn阶矩阵，任意分块，阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义是常数，则定义tsklkAkA 3、分块乘法、分块乘法设设A是是ml阶矩阵，阶矩阵， B是是ln阶矩阵，阶矩阵，即即A的的列列数数 = B 的的行行数数即即A的的列分块列分块法法 = B 的的行分块行分块法法分块分块A = ( Auv )sr B = ( Bvw )rt

5、则则A与与B的乘积的乘积C = ( Cuw ) 是是st阶分块矩阵，满足阶分块矩阵，满足), 1;, 1(1twsuBACrvvwuvuw 注注. 分块矩阵乘积分块矩阵乘积AB中，每个子块：中，每个子块： （1）作为分块阵元素参与运算）作为分块阵元素参与运算 （2）作为矩阵也要满足乘法条件）作为矩阵也要满足乘法条件rvvwuvuwBAC1vwuvBA 例例1. 用分块矩阵法求用分块矩阵法求AB1011012100100001A0211140110210101B 解：解：分块成把BA, 1011012100100001A 10011001A00001121 , EEO1A 02111401102

6、10101B 11BE21B22B则则2221111BBEBEAOEAB2212111111BABBAEB又又21111BBA11012101112111012043114202141121221BA1333于是于是2212111111BABBAEBAB1311334210410101 说明说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程更简单，计算量更少。更简单，计算量更少。 4、分块转置、分块转置 设矩阵设矩阵A = ( Aij ) 是是sr 阶分块矩阵阶分块矩阵 例例1的的计算量比较：计算量比较：直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数直接进行矩阵乘积需要的

7、四则运算次数112)34(44用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数12) 12(22块运算：20222) 12(22子块运算： 合计合计32次次,11srAAArA11sATsA1TrA1.)(11TsrTTTTAAAAij则 说明：说明：分块转置中，每个子块一方面作为分块转置中，每个子块一方面作为分块分块阵阵元素元素要转置；另一方面作为要转置；另一方面作为矩阵矩阵本身也要转置。本身也要转置。 分外层、内层双重转置分外层、内层双重转置 特别地，对于列分块矩阵：特别地，对于列分块矩阵：),(21tAAAATtTTAAA1二、一些特殊的二、一些特殊的分块

8、矩阵分块矩阵 1. 2阶阶分块上（下）三角形矩阵求逆分块上（下）三角形矩阵求逆 例例2. 求下列求下列2阶分块逆矩阵阶分块逆矩阵221211) 1 (AAAA222112)2(BBBB43211XXXXA其中其中A11， A22可逆矩阵可逆矩阵其中其中B12， B21可逆矩阵可逆矩阵 解解(1) ：设设A的分块逆矩阵为的分块逆矩阵为EAA143212212111XXXXAAAAA422322412211312111XAXAXAXAXAXAEE00 得到得到4个矩阵方程组个矩阵方程组EXAXAXAXAEXAXA42232241221131211100 求解该方程组，得求解该方程组，得122121

9、112111312240AAAXAXXAXT (2) （解略，请仿（解略，请仿(1)方法自行求解）方法自行求解）sAAAA21 设设A1, A2, , As均为方阵（不一定同阶），则称下均为方阵（不一定同阶），则称下面的面的A为为分块对角矩阵分块对角矩阵 2. 分块对角矩阵分块对角矩阵 如果矩阵如果矩阵A1, A2, , As均可逆，则均可逆，则分块对角矩阵分块对角矩阵A可逆，且其逆矩阵为可逆，且其逆矩阵为112111sAAAA 说明：说明：分块对角阵的逆矩阵，与对角矩阵的逆矩分块对角阵的逆矩阵，与对角矩阵的逆矩阵形式类似。阵形式类似。 3. 矩阵乘积矩阵乘积AB，A不分块，不分块，B按列分块

10、按列分块 设矩阵设矩阵A、B分别是分别是sn 和和nt 阶矩阵，阶矩阵，A不分块，不分块，B按列分块，即按列分块，即),(21tB 则则),(21tAAB),(21tAAA 例例3. 求解下列矩阵方程求解下列矩阵方程 说明：说明：矩阵方程矩阵方程AX = B 可看成可看成 t 个线性方程组个线性方程组 Ax1 = b1, Ax2 = b2, , Axt = bt 其中其中B = ( b1, b2, , bt )， X = ( x1, x2, , xt )352213321121X 解：解：对增广矩阵对增广矩阵( A, B )进行初等行变换进行初等行变换111011101321r2+r1r3-2

11、r1353222111321),(BA00011103101 -r2r1-2r2r3+r2 于是方程组于是方程组Ax1 = b1有解有解111x 当且仅当当且仅当= 0 时，时，Ax2 = b2有解有解132x 所以矩阵方程所以矩阵方程AX = B 在参数在参数= 0 时，有解：时，有解：1131),(21xxX 说明：说明：利用增广矩阵的初等行变换，可以对矩阵利用增广矩阵的初等行变换，可以对矩阵方程方程AX = B 的的 t 个线性方程组同时进行求解。个线性方程组同时进行求解。 4. 矩阵乘积矩阵乘积AB，A按列分块，按列分块，B每个元素为块每个元素为块 （1）设矩阵设矩阵A是是sn 矩阵，

12、矩阵，X 是是n1矩阵：矩阵：将将A按列分块，即按列分块，即 snssnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxX21),(21nA则则 nnxxxAX2121),(nnxxx2211 我们将表达式我们将表达式 nnxxx2211 称为向量称为向量 n,21 的的线性组合线性组合， 称为称为组合系数组合系数。 nxxx,21 说明说明(1). 对于线性方程组对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块，利用这样的分块方式，可以得到方式，可以得到线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式bxxxnn2211 说明说明(2). 如果记如果记 ei 是第是第i个分量为个分量为1，其余分量为

13、，其余分量为0的列向量，则的列向量，则), 2 , 1(niAeii同样记同样记i 是第是第i个分量为个分量为1，其余分量为，其余分量为0的行向量，的行向量，则则i A表示表示A的第的第i个行向量。个行向量。 （2）设矩阵设矩阵A是是sn 矩阵，矩阵，B 是是nt 矩阵，将矩阵，将A按列分块，则按列分块，则ntnnttnbbbbbbbbbAB21222211121121),(),(111niiitniiibb即即AB的每个列向量，都是的每个列向量，都是A的列向量的线性组合。的列向量的线性组合。 例例4. 设设A是是2阶矩阵，阶矩阵，x是是2维非零列向量。若维非零列向量。若),(,62AxxBx

14、AxxA求矩阵求矩阵C，使得，使得AB = BC。（见教材（见教材P69例例2.15）2.4 矩阵的秩矩阵的秩一一. 秩的概念秩的概念二二. 初等变换和矩阵的秩初等变换和矩阵的秩 初等行变换，可以将矩阵初等行变换，可以将矩阵A化为阶梯形矩阵。这个化为阶梯形矩阵。这个阶梯阵的阶梯数，是由矩阵秩唯一确定的，故引入阶梯阵的阶梯数，是由矩阵秩唯一确定的，故引入矩阵的秩概念。矩阵的秩概念。三三. 矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形 一一. 秩的概念秩的概念 在在Am n中，中，任取任取k行、行、k列列(km, kn)，位于这些行，位于这些行列交叉处的列交叉处的k2个元素，按原有的位置个元素，按原有的位置次

15、序所构成次序所构成的的k阶行列式，称为阶行列式，称为A的的k阶子式阶子式。 1. k阶子式阶子式 说明说明(1). A共有共有 个个k 阶子式。阶子式。knkmCC 例如例如110011101321A110312阶非零子式阶非零子式 01101101313阶零子式阶零子式 2. 秩的定义秩的定义 矩阵矩阵A的非零子式的最高阶数，的非零子式的最高阶数，称为矩阵称为矩阵A的秩的秩，记为记为r(A) = r或或rank(A) = r 。 说明说明(1). 0 r( Amn ) min m, n 说明说明(2). 规定零矩阵的秩为规定零矩阵的秩为0，即，即 r(O ) = 0 说明说明(3). 对于对

16、于n阶矩阵阶矩阵A，有，有nArAA)(0可逆 A为满秩矩阵为满秩矩阵 更一般地，更一般地， 如果如果mn 阶矩阵阶矩阵A满足满足 r(A) = m， A为为行满秩矩阵行满秩矩阵 r(A) = n， A为为列满秩矩阵列满秩矩阵 例例1. 的秩求矩阵174532321A 解：解：在在A中，中，阶子式只有一个的又AA303221，且0A. 2)(Ar 例例2. 见教材见教材P71例例2.18 例例3.00000340005213023012的秩求矩阵B 解解行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零的所有B, 0400230312而. 3)(BR 注注. 阶梯阵的秩等于其阶梯数，即非零行行数。阶梯阵的秩等于其阶梯数，即非零行行数。 3.