GM模型适用范围

1、6.5 GM(1,1)模型的适用范围邓聚龙教授对GM(1,1)模型作了十分深入的研究，得到了GM(1,1)模型的多种不同形式。主要有：（1）（2）（3）（4）（5），；（6）（7）（8）（9）（10），k>3（11）（12）（13）命题 当时，GM(1,1)模型无意义。证明 采用最小二乘法估计模型参数，有 当时，无法确定模型参数，故此GM(1,1)模型无意义。命题 当GM(1,1)发展系数时，GM(1,1)模型无意义。证明 由GM(1,1)表达式 可知，当时，；当时，；当|>2时，为常数，而随着k的奇偶性不同而改变符号，因此随着k的奇偶性不同而变号。由以上讨论可知是GM(1,1)发

2、展系数的禁区。当时，GM(1,1)模型失去意义。一般地，当|<2时，GM(1,1)模型有意义。但随着的不同取值，预测效果也不同。对于2<<0，即发展系数<<的情形，我们分别取=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.5,1.8等进行模拟分析。取k=0,1,2,3,4,5,由可得如下数列：=0.1,=(1,1.1051,1.2214,1.3499,1.4918,1.6487) =0.2，=(1,1.2214,1.4918,1.8221,2.2255,2.7183) =0.3, =(1,1.3499,1.8221,2.4596,3.3201,4.4

3、817) =0.4, =(1,1.4918,2.225,3.3201,4.9530,7.3890) =0.5, =(1,1.6487,2.7183,4.4817,7.3890,12.1825) =0.6, =(1,1.8821,3.3201,6.0496,11.0232,20.0855) =0.8, =(1,2.2255,4.9530,11.0232,24.5325,54.5982) =1, =(1,2.7183,7.3890,20.0855,54.5982,148.4132) =1.5, =(1,4.4817,20.0855,90.0171,403.4288,1808.0424) =1.8,

4、 =(1,6.0496,36.5982,221.4064,1339.4308,8103.0839)分别以，为原始序列建立GM(1,1)模型得到如下的时间响应式：由，得，由于GM(1,1)模型中为均值生成，对于增长序列，具有弱化其增长趋势的作用。指数序列建立GM(1,1)发展系数减小。比较原始序列与模拟序列的误差（见表）。表模拟误差发展系数平均相对误差 0.1 0.004 0.104% 0.2 0.010 0.499% 0.3 0.038 1.300% 0.4 0.116 2.613% 0.5 0.307 4.520% 0.6 0.741 7.074% 0.8 3.603 14.156% 1 1

5、4.807 23.544% 1.5 317.867 51.033% 1.8 1632.240 65.454%可以看出，随着发展系数的增大，模拟误差迅速增加。当发展系数小于或等于0.3时，模拟精度可以达到98%以上，发展系数小于或等于0.5时，模拟精度可以达到95%以上，发展系数大于1，模拟精度低于70%，发展系数大于1.5，模拟精度低于50%。 进一步考察1步，2步，5步，10步预测误差（见表） 表预测误差0.10.20.30.40.50.60.811.51.81步误差0.129%0.701%1.998%4.317%7.988%13.405%31.595%65.117%2步误差0.137%0.

6、768%2.226%4.865%9.091%15.392%36.979%78.113%5步误差0.160%0.967%2.912%6.529%12.468%21.566%54.491%10步误差0.855%1.301%4.067%9.362%18.330%32.599%88.790% 可以看出，当发展系数小于0.3时，1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在97%以上；当0.3<0.5时，1步和2步预测精度皆在90%以上，10步预测精度亦高于80%；当发展系数大于0.8时，1步预测精度已低于70%。表中的横线表示误差已大于100%。通过以上分析，可得下述结论：（1）当0.3时，GM(1,1)可用于中长期预测；（2）当0.3<0.5时，GM(1,1)可用于短期预测，中长