高三数学推荐复习全套资料第三章__专题二

1、专题二导数的工具性作用之研究1f(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)>0(或f(x)<0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件在区间(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f(x0)0，甚至可以在无穷多个点处f(x0)0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此

2、在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使 f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0(或 f(x)0)，x(a，b)恒成立解出的参数的取值范围确定2对于可导函数f(x)，f(x0)0并不是f(x)在xx0处有极值的充分条件对于可导函数f(x)，xx0是f(x)的极值点，必须具备f(x0)0，在x0两侧，f(x)的符号为异号所以f(x0)0只是f(x)在x0处有极值的必要条件，但并不充分难点正本疑点清源1运用导数不仅可以求解曲线的斜率，研究函数的单调性

3、，确定函数的极值与最值，还可利用导数研究参数的取值范围，来讨论方程根的分布与证明不等式2用导数研究参数的取值范围，确定方程根的个数，证明不等式，其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题，运用导数进行研究3函数的极值与函数的最值是有区别与联系的：函数的极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数的极值可以有多个，而函数的最大(小)值最多只有一个4极值点不一定是最值点，最值也不一定是极值点，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值5在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可6

4、对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为零的点，导数不存在的点，端点.题型一利用导数求函数的单调区间例1已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间探究提高本题的难点是对函数在区间上单调和求函数的单调区间的理解函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于零(小于或等于零)，只要不在一段连续的区间上恒等于零即可，求函数的单调区间解f(x)>0(或<0)即可 已知函数f(x)ln(x1)xx2 (k0)(1)当k2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的

5、切线方程；(2)求f(x)的单调区间题型二利用导数求解函数的最值或极值例2已知函数g(x)ax3bx2cx (aR且a0)，g(1)0，且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)0.设x1、x2为方程f(x)0的两根(1)求的取值范围；(2)若当|x1x2|最小时，g(x)的极大值比极小值大，求g(x)的解析式探究提高本题的难点是第(2)问，有两处值得思考：|x1x2|取得最小值时，会有怎样的结论？怎样求出g(x)的极大值、极小值？在问题的求解过程中，由根与系数的关系建立|x1x2|2关于的函数关系式，由第(1)问中求得|x1x2|2取最小值，即|x1x2|取得最小值时的条件是ab.然后在

6、求g(x)的极大值、极小值时，需要对a分a>0、a<0进行讨论，得到相应的极大值、极小值 函数f(x)x3ax2b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3xy0平行(1)求a，b；(2)求函数f(x)在0，t (t>0)内的最大值和最小值题型三已知单调区间求参数范围例3已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范围探究提高(1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决(

7、2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意 设函数f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a，bR.(1)当a时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a2,2，不等式f(x)1在1,0上恒成立，求b的取值范围题型四利用导数研究方程根的问题例4已知函数f(x)x2aln x在(1,2是增函数，g(x)xa在(0,1)为减函数(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)求证：当x>0时，方程f(x)g(x)2有惟一解探究提高研究方程的根的情况

8、，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用将方程、不等式等有关知识和导数结合的综合性问题主要考查综合运用有关知识分析问题、解决问题的能力 已知f(x)ax2 (aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，求a的取值范围7.利用导数研究不等式试题：(14分)设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0.(1)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；(2)求函数f(x)的极值点；(3)当b1时，试证明对任意的正

9、整数n，不等式ln>都成立审题视角第(1)问先求出函数的定义域，然后通过判断导函数的符号来确定函数的单调性；第(2)问需要对b的取值进行分类讨论；第(3)问注意要证明的不等式的结构特征，可把看做一个变量构造新函数g(x)x3x2ln(x1)，通过利用导数求解函数的最值来证明不等式规范解答(1)解函数f(x)x2bln(x1)的定义域为(1，)，f(x)2x，1分令g(x)2x22xb，则g(x)在上单调递增，在上单调递减，所以g(x)mingb，3分当b>时，g(x)minb>0，即g(x)2x22xb>0在(1，)上恒成立，所以f(x)>0.即当b>时，函

10、数f(x)在定义域(1，)上单调递增4分(2)解由(1)，知当b>时函数无极值点，5分当b时，f(x)0，b时，函数在(1，)上无极值点7分当b<时，解f(x)0得两个不同解，x1，x2.当b<0时，x1<1，x2>0，x1(，1)，x2(1，)，此时f(x)在(1，)上有惟一的极小值点x 2，当0<b<时，x1，x2(1，)，f(x)在(1，x1)，(x2，)上都大于0，f(x)在(x1，x2)上小于0，此时f(x)有一个极大值点x1和一个极小值点x2.9分综上可知，当b<0时，f(x)在(1，)上有惟一的极小值点x2；当0<b<时

11、，f(x)有一个极大值点x1和一个极小值点x2；当b时，函数在(1，)上无极值点10分(3)证明当b1时，f(x)x2ln(x1)，令h(x)x3f(x)x3x2ln(x1)，则h(x)3x22x，显然h(x)在0，)上恒为正，h(x)在0，)上单调递增12分当x(0，)时，恒有h(x)>h(0)0，即当x(0，)时，有x3x2ln(x1)>0，即ln(x1)>x2x3，所以对任意正整数n，取x，可得ln>恒成立14分批阅笔记该题的难点有两个，一个是第(2)问中求解函数的极值要根据b的取值范围进行分类讨论；二是证明关于n的不等式，解决此类问题的一般思路是将不等式直接转化

12、为关于n的函数的最值问题来解决.方法与技巧1利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式破解的基本思路是从函数的角度分析和理解要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数2在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用问题的难点在于如何把参数和所求

13、得的函数的极(最)值形成联系，破解的方法是根据题目的要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现失误与防范1研究函数的有关性质，首先要求解出函数的定义域如果不注意函数定义域的限制，则讨论就会更加麻烦2利用函数证明不等式的关键是根据不等式的结构特征构造合适的函数，然后利用导数研究函数的单调性和最值3参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、填空题1函数f(x)x22ln x的单调减区间是_2若函数f(x)x36bx3b在(0,1)

14、内有最小值，则实数b的取值范围是_3已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_.4已知函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_5函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则实数m_.6某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元)之间的关系式为P24 200x2，且生产x吨的成本为R50 000200x元，则当利润达到最大时该厂每月应生产_吨产品7已知函数f(x)的导函数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是_二、解答题8已知函数f(x)x3ax2b(a，b为实数，且a

15、>1)在区间1,1上的最大值为1，最小值为2.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)f(x)mx在区间2,2上为减函数，求实数m的取值范围B组专项能力提升题组一、填空题1.设f(x)x3ax25x6在区间1,3上为单调函数，则实数a的取值范围为_2已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为_3关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_4设函数f(x)，集合Mx|f(x)<0，Px|f(x)>0，若MP，则实数a的取值范围是_5如果在上，函数f(x)x2pxq与g(x)在同一点

16、处取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是_6已知函数f(x)的导数f(x)2x9，且f(0)的值为整数，当x(n，n1 (nN*)时，f(x)的值为整数的个数有且只有1个，则n_.二、解答题7设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 21且x>0时，ex>x22ax1.8已知函数f(x)(a3b9)ln(x3)x2(b3)x.(1)当a>0且a1，f(1)0时，试用含a的式子表示b，并讨论f(x)的单调区间；(2)若f(x)有零点，f(3)，且对函数定义域内一切满足|x|2的实数x有f(x)0.求f(x)

17、的表达式；当x(3,2)时，求函数yf(x)的图象与函数yf(x)的图象的交点坐标答案题型分类·深度剖析例1(1)a0(2)f(x)的单调递增区间为，(3，)，单调递减区间为变式训练1(1)3x2y2ln 230(2)当k0时，f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0，)；当0<k<1时，f(x)的单调递增区间为(1,0)和，单调递减区间为；当k1时，f(x)的单调递增区间为(1，)；当k>1时，f(x)的单调递增区间为和(0，)，单调递减区间为例2解(1)g(x)ax3bx2cx，g(1)abc0，即cba.又f(x)g(x)3ax22bxc，由f(

18、0)f(1)0，得c(3a2bc)0，即(ba)(3b2a)0.a0，0，解得1.又方程f(x)3ax22bxc0 (a0)有两根，0.而(2b)24×3a×c4b212a(ba)423a2>0恒成立，于是，的取值范围是.(2)x1、x2是方程f(x)0的两根，即3ax22bxc0的两根为x1、x2，x1x2，x1x2.|x1x2|2(x1x2)24x1x224·2·2.1，当且仅当1，即ab时，|x1x2|2取最小值，即|x1x2|取最小值此时，g(x)ax3ax2，f(x)3ax22axax(3x2)令f(x)0，得x1，x20.若a>0

19、，当x变化时，f(x)、g(x)的变化情况如下表：x0(0，)f(x)00g(x)极大值极小值由上表可知，g(x)的极大值为ga，极小值为g(0)0.由题设，知a0，解得a9，此时g(x)9x39x2；当a<0，当x变化时，f(x)、g(x)的变化情况如下表：x(，)(，0)0(0，)f(x)00g(x)极小值极大值由上表可知，g(x)的极大值为g(0)0，极小值为ga.由题设知0a，解得a9，此时g(x)9x39x2.综上所述，g(x)的解析式为g(x)9x39x2或g(x)9x39x2.变式训练2(1)a3，b2(2)当0<t2时，f(x)的最大值为2，最小值为t33t22；当

20、2<t3时，f(x)的最大值为2，最小值为2；当t>3时，f(x)的最大值为t33t22，最小值为2例3解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当a时，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2内单调递减，在2，)内单调递增，当x2时，f(x)有极小值f(2)12是f(x)的极小值(2)在(1,1)上f(x)是增函数，由此可得在(1,1)上，f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，3ax23ax10.令g(x)3ax23ax1 (1<x<1)，当a0时，恒成立；当a>0时，若成立，根据二次函数g(x)3ax23ax1 (1<x<1)的图象，

21、只需满足g(1)3a×123a×110，即a，0<a；当a<0时，若成立，根据二次函数g(x)3ax23ax1 (1<x<1)的图象，只需满足g3a×23a×10，即a，a<0.综上所述，f(x)在(1,1)上是增函数时，a的取值范围为.变式训练3(1)f(x)在和(2，)上是增函数，在(，0)和上是减函数(2)(3)(，4例4(1)解f(x)2x，依题意f(x)0，x(1,2，即a2x2，x(1,2上式恒成立，a2.又g(x)1，依题意g(x)0，x(0,1)，即a2，x(0,1)上式恒成立，a2.由得a2.f(x)x22

22、ln x，g(x)x2.(2)证明由(1)可知，方程f(x)g(x)2，即x22ln xx220.设h(x)x22ln xx22，则h(x)2x1，当h(x)0时，(1)(2x2x2)0，解得x1.令h(x)>0，并由x>0，解得x>1.令h(x)<0，由x>0，解得0<x<1.列表分析：x(0,1)1(1，)h(x)0h(x)单调递减极小值单调递增可知h(x)在x=1处有一个最小值0，当x>0且x1时，h(x)>0，h(x)=0在(0，+)上只有一个解即当x>0时，方程f(x)g(x)2有惟一解变式训练4(1)当a>0时，F(x)在上单调递增，在上单调递减；当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)a<课时规范训练A组1(0,