数列练习（2）

1、数列练习：1在等差数列中，已知，则数列的前9项之和等于_.2在数列中，若，则数列的通项公式为_.3已知等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a7+a9=21，则S13=_.4设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则_.5设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时_.6若与的等差中项为，则_.7已知数列中，若数列为等差数列，则_.8已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则=_.9已知为等差数列的前项和，则_.10已知等差数列的公差不为零，其前项和为，若，成等比数列，则_.11在等比数列中，则_.12已知为正项等比数列的前n项和若，则_.13等比数列的各项均为正数，且，则_.

2、14记为等比数列的前项和.若，则_.15培养某种菌类，其长度每天增长1倍，经过10天培养长成4cm，那么长成时已培养了_.16已知是等比数列， 则 _.17已知等比数列的各项均为正，且，成等差数列，则数列的公比是_.18数列中，且数列是等差数列，则_.19在数列中，则数列的通项公式_.20已知数列的前项和为，且满足，则_21在等比数列中，且，则_.22已知有四个数成等差数列，和为36.若将这四个数顺次加上2，4，8，15后成等比数列，则此四个数为_.23已知数列为等比数列，为其前项的和，若，则_；_.24已知数列为等比数列，且，则的值为_25等比数列的各项均为实数，其前项和为.已知，则_.26

3、已知等比数列的前项和为，若，则_.27已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3S550，a1，a4，a13成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设，求数列bn的前n项和Tn28记为等差数列的前项和，已知，（）求的通项公式；（）求，并求的最小值29已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，.求和的通项公式；30已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为31已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和.32数列各项均为正数，其前项和为，且满足.（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式

4、；（2）设， 求数列的前项和。33设等差数列的前n项和为.已知，且.求：（1）数列的通项公式和前n项和.（2）数列的前n项和.34已知数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和35设数列为等比数列，且，（1）求数列的通项公式：（2）设，数列的前项和，求证：.36已知数列中，.（1）令，求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）令，为数列的前项和，求.37在数列中，且对任意的N*，都有.（）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.38数列的前n项和记为，点在直线上，其中.(1)当实数t为何值时，数列是

5、等比数列；(2)在（1）的结论下，设，是数列的前n项和，求.39已知在正项数列中，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列是等比数列.40已知数列的前项的和，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.试卷第5页，总5页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1B【解析】【分析】利用等差数列的下标性质，可得出，再由等差数列的前项和公式求出的值.【详解】在等差数列中，故选：B【点睛】本题考查了等差数列的下标性质、以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.2A【解析】因为，所以，数列是等差数列，由等差数

6、列通项公式得，所以,选A.3C【解析】【分析】通过等差数列的性质可得a7=7，从而利用求和公式即可得到答案.【详解】由a5+a7+a9=21得，3a7=21，即a7=7，所以S13=13a1+a132=132a72=91，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度不大.4D【解析】因为成等比数列，所以，即，解得：，故选D.试题点睛：本题涉及等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式以及等比中项的概念，是中档题.解决这类问题主要是利用方程思想，根据已知量，求出未知量，本题可将各项表示为首项与公差的形式，利用等差数列n项和公式结合等比中项，建立方程，从而求解.5A【解析】【分析】根据等差数列

7、的通项公式的基本运算求出公差，然后求出，从而根据二次函数的性质求得结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，解得.因此，故当时，取最小值为，故本题正确答案为A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的基本运算，注意熟记公式，认真计算，属基础题.6B【解析】【分析】根据等差中项公式，得出，即可求解，得到答案【详解】由题意，因为与的等差中项为，所以，即，故选B【点睛】本题主要考查了等差中项公式的应用，其中解答中熟记等差中项公式，列出关于的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题7C【解析】【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果【详解】依题意得：，因为数列为等差数列，所

8、以，所以，所以，故选C【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础8A【解析】试题分析：由题意，得，即，解得或（舍去），则，故选A考点：1、等比数列的通项公式；2、等差数列与等比数列的性质9A【解析】【分析】利用基本元的思想，将已知条件转化为和的形式，列方程组，解方程组求得，进而求得的值.【详解】由于数列是等差数列，故，解得，故.故选：A.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.10C【解析】【分析】由题意，得，利用等差数列的求和公式，列出方程求得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，知，成等比数列，所以，即，整理

9、得，所以，解得，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11D【解析】【分析】，计算出，然后将，得到答案.【详解】等比数列中，又因为，所以，所以，故选D项.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，属于简单题.12D【解析】因为各项为正，根据等比数列中成等比数列的性质，知成等比数列，所以，故选D.13B【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合已知条件，求得，进而求得的值.【详解】由于数列是等比数列，故，所以，故.故选：B.【点睛】本小

10、题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.14B【解析】【分析】利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果【详解】为等比数列的前项和，解得，故选B【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15B【解析】【分析】由题意每天的长度构成公比为2的等比数列，且，利用等比数列通项求即可.【详解】因为每天的长度构成公比为2的等比数列，且，所以，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，通项公式，属于中档题.16B【解析】是等比数列，q3=，则q=，=q2=数列anan+1是以8为首项，为公比的等比数列a1a2+a2a3+a3a4+ana

11、n+1=故选：B点睛：本题重点考查了等差数列的通项公式及前n项和知识，解题关键是把新数列的和理解为新等比数列的前n项和,整体换元的思想同学们要牢固把握.17C【解析】【分析】由，成等差数列解出即可。【详解】根据，成等差数列得到=，再根据数列是等比数列得到，因为等比数列的各项均为正，故得到，解得或（舍去），故得到公比为.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题。18【解析】【分析】根据题意，设，结合题意计算可得、的值，由等差数列的性质计算可得的值，即可得，解可得的值，即可得答案【详解】根据题意，设，数列是等差数列，则，则，即；解可得；故答案为：【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是求出数

12、列的通项公式19【解析】【分析】由可得，知数列为等差数列，先求出，再求即可.【详解】因为，所以即为首项为1，公差为3的等差数列,所以，故.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，通项公式，递推公式，属于中档题.20【解析】【分析】对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.【详解】解：，可得时，时，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.21-9.【解析】【分析】利用等比数列的性质：当，时，即可求解.【详解】因为，所以即 又，所以故.【点睛】本题主要考查了等比

13、数列的性质，属于中档题.22.【解析】【分析】根据等比数列和等差数列的定义建立方程关系进行求解即可.【详解】设四个数分别为，则，.四个数顺次加上2，4，8，15后为，成等比数列所以且解得所以这四个数为【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，等比中项的性质，解方程的思想，属于中档题.232 126 【解析】【分析】利用等差数列的性质可得，由此求出数列的首项和公比，即可求解结果，得到答案.【详解】由题意，因为，解得，又由，所以，解得，所以，解得，所以，故答案为2,126.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，求得等比数列的首项和公式

14、是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.24【解析】【分析】利用等比数列的性质，代入等式得，再代入计算即可。【详解】是等比数列，即，.故答案为.【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题。2532【解析】【分析】利用等比数列的求和公式表示出和，联立方程，求出和，代入等比数列的通项公式，即可得到答案。【详解】设的首项为，公比为 ，显然，则,两式相除得,解得,所以，故答案为32【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查基本的运算能力，属于基础题。26【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，再由计算出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，化简得，故答案为：

15、.【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般要建立首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.27（1）an2n1（2）【解析】【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出an2n+1（2）利用裂项相消法求出数列bn前n项和Tn【详解】(1)依题意得解得(2)，则【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项相消法的合理运用28（1），（2），最小值为16【解析】【分析】（）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通项公式；（）根据等差数列的求和公式得Sn

16、=n2-8n，根据二次函数的性质，可得Sn的最小值.【详解】（I）设的公差为d，由题意得由得d=2 所以的通项公式为（II）由（I）得 所以当n=4时，取得最小值，最小值为16【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，考查了等差数列前n项和的最值问题；求等差数列前n项和的最值有两种方法：函数法，邻项变号法.29，【解析】【分析】设出数列的首项和公差，设出数列的公比，然后将已知条件都转化为的形式，解方程组求得，进而求得数列和的通项公式.【详解】设等差数列的首项和公差，设等比数列的公比为，依题意数列的首项为，由，得，解得，故，.【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列通

17、项的基本量计算，考查等差数列前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.30（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列前项和公式以及等比中项、等差数列通项公式列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得数列的前项和的表达式，由此求得数列的表达式，利用裂项求和法求得的的表达式，进而根据单调性等知识求得的取值范围.【详解】解：(1)解：因为数列是等差数列，所以，依题意，有即解得，.所以数列的通项公式为.(2)证明：由(1)可得.所以.所以.因为，所以.因为，所以数列是递增数列，所以，所以.【点睛】本小题主要考查等差数列通项和前项和基本量的计算，考查等比中项的性质，考

18、查裂项求和法，考查数列的单调性以及数列的取值范围的求法，属于中档题.31(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）将已知条件凑配成，由此证得数列为等差数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，进而求得的表达式，利用分组求和法求得.【详解】（1）证明：又所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）知，所以.所以【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.32（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据数列递推式，即可证得数列为等差数列，求出的通项，即可求数列的通项公式；（2）利用裂项法求数列的前项和，即可求得结论【详解】（1）证明：，当时，整理得，又，

19、数列为首项和公差都是1的等差数列，时，又适合此式，数列的通项公式为；（2），所以：=.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用33（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列出关于的方程即可求解（2）根据，利用裂项相消法求和.【详解】（1），即，即，.，.（2），【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，裂项相消法求和，属于中档题.34（1）（2）【解析】试题分析：（1）本题考察的是求数列的通项公式，根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式（2）根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列乘以一个等比数列得到，要求

20、其前项和，需采用错位相减法，即可求出前项和试题解析：（1）当时，当时，即：，数列为以2为公比的等比数列（2）两式相减，得考点：求数列的通项和前项和35（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）将已知条件转化为等比数列的基本量和，得到的值，从而得到数列的通项；（2）根据题意写出，然后得到数列的通项，利用列项相消法进行求和，得到其前项和，然后进行证明.【详解】设等比数列的首项为，公比为，因为，所以，所以所以； （2），所以，所以.因为，所以.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，裂项相消法求数列的和，属于简单题.36（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）依题意，求出，再求的值，从而根据

21、等比数列的定义证明结论；（2）由（1）可求数列的通项公式，从而根据求得数列的通项公式；（3）根据分组求和法求出即可.【详解】（1），故数列是以为首项，以为公比的等比数列.（2）由（1）知，由，得数列的通项公式为.（3）由（2）知，.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，考查构造数列的方法和由分组求和法求数列的前n项和，注意认真计算，规范书写，属中档题.37（）见证明；（）【解析】【分析】（）可变形为，故是等比数列.利用累加法可以求出的通项.（）由（）知，用裂项相消法可求，求出的最小值后可得的取值范围.【详解】（）由可得 又，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以. 所以. （）因为. 所以. 又因为对任意的都有，所以恒成立，即,即当时，.【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如