数学经典易错题会诊与高考试题预测7

1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测(七)考点7 不等式经典易错题会诊 命题角度1 不等式的概念与性质 命题角度2 均值不等式的应用 命题角度3 不等式的证明 命题角度4 不等式的解法 命题角度5 不等式的综合应用探究开放题预测 预测角度1 不等式的概念与性质 预测角度2 不等式的解法 预测角度3 不等式的证明 预测角度4 不等式的工具性 预测角度5 不等式的实际应用经典易错题会诊命题角度1不等式的概念与性质 1(典型例题)如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是 ( ) Aab>ac Bc(b-a)>0 Ccb2<ab2 D

2、dc(a-c)<0 考场错解 Ab>c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符号 专家把脉 由d>b>c，且ac<0则。与c必异号，又由a>c，故a>0，c<0，条件分析不透 对症下药 C由a>b>c且ac>0，故a>0且c<0(1)由b>c，又a>0，ab>ac(2)b-a<0，c< 0(b-a)·c>0，Da-c>0，ac<Oac(a-c)<0，而C中当b=0时显然不成立，故选D 2(典型例题)若，则下列不等式a+b>ab;|a|>|b

3、|；a<b中，正确的不等式有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个 考场错解 A 只有正确，、显然不正确，中应是2，故也错 专家把脉 中忽视 与 不可能相等，a b，故 对症下药 B 方法1：运用特值法，如a=-，b=-3 方法2：运用性质由，则b<a<0，故而判断 3(典型例题)对于0<a<1，给出下列四个不等式 loga(1+o)<loga(1+) 1oga(1+o)>loga(1+) a1+a<a a1+a>a 其中成立的是 ( ) A.与 B与 C.与 D与 考场错解 B 1+a<1+，故1oga(1+a)< loga

4、(1+) 专家把脉 对数函数比较大小要考虑底数a的范围，它与指数函数一样 对症下药 D 0<a<1a<1< 1+a< 1+而y=1ogax与y=ax均为减函数1oga(1+a)> 1oga(1+)，a1+a>a 4(典型例题)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式0<b<a a<b<0 0<a<b b<a<0 a=b 其中不可能成立的关系式有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个 考场错解 C a=b显然不成立，而a与b的大小不定，故只有可能两个成立，故有3个不可能成立，即alg=big，-a1g2=-

5、blg3 又1g2<1g3，-a>-b，a<b，故正确 专家把脉 题目中不可能成立，中当a=b=0时，所以有可能成立 对症下药 B 由错解中可知ab，故正确而 a=b=0时也可能成立，故不可能成立的只有专家会诊 (1)比较两个实数的大小，可采用作差和作商法，然后适当变形(如配方、因式分解等)后才能判断其符号 (2)不等式性质的适用时要注意它的条件，如“ab>0时，a>b” 不能弱化条件变成“”也不能强化条件变为“a>b>0 ”考场思维训练 1 若，|a|>，|b|>0，且ab>0，则下列不等式中能成立的是 ( ) A BC D 答案：

6、 C 解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，|a|，|b|>0， 又0<<1，10g|a|<log|b|，由此也可直接得结论，应选C2已知a、b为不等正数，s<t<0，M=，N=，则M、N的大小关系是_.答案： M>N 解析：由>0，得，由s<t<00<-t<-s，故命题角度2均值不等式的应用 1(典型例题)设a>，0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是 ( )A BC D考场错解 Di不一定大于或等于专家把脉 D中直接放缩显然不易比较 对症下药 B A：a+b2ab,成立C：a2+b2+2=a2+

7、1+b2+12a+2b (当且仅当a=b=1时取“=”) 成立 D：两边平方|a-b|a+b-2 a-ba+b-2或a-b-a-b+2当时显然成立解得ab或ab 成立 2(典型例题)设x(0，)，则函数f(x)=sinx+的最小值是 ( ) A4 B5 C3 D6 考场错解 因为x(0，)，所以sinx>0，>0， f(x)=sinx+=4，因此f(x)的最小值是4故选A专家把脉 忽略了均值不等式a+b2(a.0， b>0)中等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立事实上，sinx=不可能成立，因为它成立的条件是sinx=±2，这不可能 对症下药 (1)f(x)=s

8、inx+=sinx+，因为sinx+2，当且仅当sinx=1即x= 时等号成立又3，当且仅当sinx=1即x=时等号成立所以f(x)=sinx+2+3=5，f(x)的最小值是5故应选B (2)令sinx=t，因为x(0，)，所以0<t1，所给函数变为y=t+易知此函数在区间(0，1)上是减函数，所以，当t=1时，y取最小值5故应选B 3(典型例题)设a0，b0，a2+=1，求a 的最大值 考场错解 0ii(a=0时取等号) 专家把脉并非定值 对症下药 为利用均值不等式时出现定值，先进行适当的“凑、配”时取 “=”.专家会诊(1) 利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等”.尤其

9、是等号成立的条件,必须验证确定,而要获得定值条件有时要配凑.要有一定的灵活性和变形技巧.(2) 利用均值不等式解决实际问题、证明不等式时,要会利用函数的思想和放缩法.考场思维训练1 已知答案： B 解析：联立解得： 若ab+bc+ca取最小值，可令b=则ab+c+ca=_.答案：解析：ab<c，0<m<1 10gmlogmx+logmy，,ab， 又=1又0<m<1，b<c.故ab<c.3.答案：解析： x2(1-3x)=x·x·(-2x)，当且仅当x=-2x，即x=时，取得最大值 命题角度3 不等式的证明1.(典型例题)设函数()

10、证明:当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>1;()点P(xo,yo)(0<xo<1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用xo表示).(2)f曲线y=f(x)在点即专家把脉 在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件.对症下药 ()证法一:因f(x)=证法二:()解法一:0<x<1时,f解法二:设过点P(xo,yo)处的切线方和为:y-yo=k(x-xo),k为待定系数.代入并整理得kx2+(yo+1-kxo)x-1=0.因为P是切点，所以方程有重根，故判别式2(典型例题)已知求证：考场错解专家

11、把脉在证对症下药(1)同上.综上(1),(2)得：3(典型例题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR且a0),若函数y=f(x)的图象与直线y=x和y=-x均无公共点。考场错解(1) f(x)的图象与y=x,y=-x均无公共点，(2)专家把脉在运用二次函数的性质证明不等式时，忽视了a>0与a<0两种情况的讨论。对症下药(1)同错解(1)(2)由=综上所述不等式成立专家会诊(1) 证明不等式，要掌握不等式的证明基本方法，如分析法、综合法、放缩法、函数法、反证法、换元法等.(2) 对不等式与数列、函数方和程、导数等内容的综合证明题，难度较大，要结合性质与不等式的基本证明方

12、法相结合，灵活解题，也体现了不等式的工具性，是高考命题的趋势。考场思维训练1已知函数(1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；答案：解析：(1)f(x)=x2+(b-1)x+c，由题意得，1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根 (2)若f(x)在(-,x1)(x2,+ )上单调递增且在(x1,x2)上单调递减，又满足x2-x1>1.求证：b2>2(b+2c)；答案：由题意得，当x(-，x1)(x2，+)时，f(x)>0；x(x1，x2)时f，(x)<0， x1，x2是方程f，(x)=x2+(b-1)x+c的两根， 则x1+x2=1-b，x1x2=

13、c， b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=(b-1)2-4c-1 =(x1+x2)2-4x1x2-1=(x2-x1)2-1 x2-x1>1，(x2-x1)2-1>0， b2>2(b+2c)(3)在(2)的条件下，若t<x1,试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明。答案：在(2)的条件下，x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)， 即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x， 所以t2+bt+c-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1 =(t-x1)(t+1-x2)， x2>1+x1>1+t，t+1-x2<0，又t<x1，

14、t-x1<0，(t-x1)(t+1-x2)>0，即t2+bt+c>x1 .2已知数列(1) 问是否存在mN,使xm=2,并证明你的结论；答案：假设存在mN*，使xm=2，则2=xm-1=2， 同理可得xm-2=2， 以此类推有x1=2，这与x1=1矛盾，故不存在mN*，使xm=2(2) 试比较xn与2的大小关系；(3) 设答案：当n2时，xn+1，-2=-2=-，则xn>0，xn+1-2与xn-2符号相反，而x1=1< 2，则x2>2，以此类推有：x2n-1<2，x2n>2；(3)命题角度4 不等式的解法1(典型例题)在R上定义运算:xy=x(1

15、-y),若不等式(x-a) (x+a)<1对任意实数x成立，则a的范围是 ( )考场错解A专家把脉 对xy=x(1-y)的运算关系式理解不清。对症下药2(典型例题)已知函数f(x) (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 设k>1,解关于x的不等式：考场错解专家把脉(2)问中两边约去(2-x),并不知2-x的符号.对症下药(1)同错解中(1) 当1<k<2, 解集为x(1,k)(2,+ ); 当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)>0解集为x(1,2) (2,+ ); 当k>2时，解集为x(1,2) (k,+ ).3.(典型例题)设函数f(x)=kx+2

16、,不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2)试求不等式的log的解集。考场错解当k>0时，k2,当k<0,k-4.k=2或-4.当k=2时f(x)=2x+2,当k=-4时f(x)=-4x+2再由解对数不等式。专家把脉在求k的值时分析讨论不严密，上式中是在x(-1,2)时恒成立，而k的值并不能使之成立.对症下药 |kx+2|<6, (kx+2)2<36,即k2x2+4kx-32<0.由题设可得解得k=-4, f(x)=-4x+2.           

17、    解得由解得x<1,由得4(典型例题)设对于不大于考场错解A=x|a-b<x<a+b,故专家把脉 在求b的范围时，应考虑必成立的条件，如才能上式恒成立.对症下药 A=x|a-b<x<a+b,专家会诊1 解分式不等式时，应将化为等价的整式不等式，避免分类讨论。2 含绝对值的不等式应运用平方法，零点分段法、分类讨论及绝对值不等式的性质求解。考场思维训练1关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+ ),则关于x的不等式的解集是( )A.(-,-1)(2,+ )B.(-1,2)C.(1,2)D(-,1) (2,+ )答案： A解析

18、：a>0-且=1，>0(x+1)(x-2)>0x<-1或x>22.若答案：(-1，cos)(-cos，1) 解析：<a<， 0<sin<1，logsin(1-2) >20<1-x2<sin2cos2<x2<1，又cos<0 -1<x<cos或-cos<x<13解不等式答案：解析：当x>0时，原不等式为>x>1,x>1当x<0时，原不等式为 (x+1)·(2x-1)>0且x<0，x<-1 综上，可得x|x<-1或x>

19、;1命题角度5 不等式的综合应用1(典型例题)已知函数f(x)=ax-( )求a的值；()设0<a考场错解(1)由于f(x)的最大值不大于又由，可得a=1.(),当n=1时，0<a1<,结论成立。假设专家把脉在证明不等式时，运用放缩法应有理论依据，不能套结论，而且放缩不能过大或过小.对症下药()解法：由于由得a=1.()证法一：当可知，对任何nN成立。证法三：由知当n=k+1时，不等式2.(典型例题)六·一节日期间，某商场儿童柜台打出广告：儿童商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：（如表所示）消费金额（元）20

20、0，400400,500500,700700,900获奖券的金额（元）3060100130依据上述方法，顾客可以获得双重优惠.试问：(1) 若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？(2) 对于标价在500，800内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？考场错解(1)(3) 设商品的标价为x元，则500x800,由已知得专家把脉商品的标价为x元，而消费额在500×0.8,800×0.8之间，而不是500800之间.对症下药(1)同上(3) 设商品的标价为x元，则500x800,消费额：4000.8x640.由已知得：或解不等式无解，得：6

21、25x750.专家会诊1应用不等式的性质与几个重要不等式求出数的最值，比较大小，讨论参数的范围等，一定要注意成立的条件，易忽视“一正、二定、三等。”2运用不等式解决实际问题时，首先将实际问题转化为函数的最值问题，从而运用不等式求最值，注意成立时的实际条件与不等式成立条件应同时考虑。考场思维训练答案： D 解析：1<<，由倒数法则0<b<a<1logab>logtba=1，0<logba<1，A、B、C都不正确、而|logab|+|logba|>|logab+logba|故选D2 已知不等式x2-2x+a>0时，任意实数x恒成立，则不等

22、式a2x+1<ax2+2x-3<1的解集是( )A.(1,2) B.C.(-2,2) D.(-3,-2)答案： D 解析：x2-2x+a>0 对xR恒成立<0，即a>1不等式(a2x+1<ax2+2x-3<1 x(-3，-2)故选D3.某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年产1万件此产品仍需再投入32万元，若销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和，而当年产销量相等。(1) 试将年利润P万元表示为年广告费

23、x万元的函数；答案：(1)P=(32Q+3)·150+x·50-(32Q+3)-x=-+495(x>0)(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？答案： P=-()+495-2×4+495=415，当且仅当x=时，即x=8时，P有最大值415 万元探究开放题预测预测角度1 不等式的概念与性质1下列命题正确的是 ( )解题思路利用均值不等式成立的条件判断。解答D对于A，当a、b同为负数时也成立；对于B，当a、b、c中有一个为0，其余为正数时也成立；对于C，当a、b、c(0，1)时也成立；D正确。2已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,则

24、下列各式中正确的是 ( )解题思路利用两角和与差的公式化简b、a、然后再比较大小.解答B预测角度2不等式的解法1关于x的不等式x|x-a|2a2(a(-,0)的解集为 ( )A.-a,+ B.a,+ C.2a,a -a+ D.(- ,a)解题思路讨论a、x的大小，去绝对值符号.解答A当x>a,x2-ax-2a20, x-a.当x<a,不等式显然无解.2.函数y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧(如图，与y轴无交点)，则不等式f(x)<f(-x)+x的解集为 ( )解题思路由f(x)为奇函数，原不等式变形为f(x)>.即可求解。解答A由已知有f(x)为奇函数，则原不

25、等式变形为f(x)<画图可知A正确，所以选A3函数则使g(x) f(x)的x的取值范围是解题思路利用数形结合法.解答D用数形结合法，分别作出f(x)=sinx和g(x)=-94.解关于x的不等式解题思路本题的关键不是对参数a进行讨论，而是取绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解答当xa 时，不等式可转化为预测角度3 不等式的证明1已知定义域为0，1的函数f(x)同时满足：(1)对于任意x0,1总有f(x) 0;(2)f(1)=1;(3)若x10,x20,x1+xz1,则有f(x1+x2) f(x1)+f(x2).()试求f(

26、0)的值；()试求函数f(x)的最大值；()试证明：当x解题思路(1)赋值法； (2)变形f(x2)=f(x2-x1)+x1,即可求函数f(x)的最大值；解答()令得f(0) 0, f(0)=0.()任取()3 设y=f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1且对任意的实数x,yR,有f(x+y)=f(x) ·f(y)成立，数列an满足a1=f(0),且f(an+1)=4(1) 判断y=f(x)是否为单调函数，并说明理由；(2)(3)若不等式解题思路(1)利用函数的单调性证明;(2)裂项法求出Tn再解不等式；(3)利用函数的单调性求k的最大值.解答(1)设(3)由预测

27、角度4 不等式的工具性1若直线2ax-by+2=0(a、b>0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是 ( )A.4 B.2 C. D.解题思路利用重要不等式求最小值。解答A直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2), a+b=1,2.已知函数f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数a有一个最大的正数l(a),使得在整个区间0,l(a)上，不等式|f(x)| 5恒成立，则l(a)的最大值是( )解题思路考虑区间0，l(a)的端点处不等式|f(x)| 5恒成立.3.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c),已知f(1)=0,且存

28、实数m,使f(m)=-a.(1) 试推断f(x)在区间0，+上是否为单调函数，并说明你的理由；(2) 设g(x)=f(x)+bx,对于x1，x2R,且x1x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围；(3) 求证：f(m+3)>0.解题思路由二次函数的对称轴两边为单调的性质判断；(2)由根与系数的关系求出a、b、c的关系，从而转化为二次函数的最值；解答(1) f(m)=-a,mR. 方程ax2+bx+c+a=0有实根=b2-4a(a+c) 0f(1)=0, a+b+c=0,即a+c=-b.b2-4a·(-b)=b(b+4a) 0.a>b>c, a&

29、gt;0,c<0.从而b+4a=-(a+c)+4a=3a-c>0.b0.x=f(x)在0，+上是增函数.(2)据题意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的两实根.=(3)f(1)=0.设f(x)=a(x-1)(x-)4.在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对每个正整数n,点PN 位于函数y=x2(x0)的图像上,以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切,且圆Pn与圆PN+1又彼此相外切. 若x1=1,且xn+1<xn(n=1,2,3,).(1) 求证：数列是等差数列；(2) 设圆Pn的面积为SN,Tn解题思路(1)利用

30、定义判断；(2)裂项相消法求TN. 解答(1)记圆Pn的半径为rn,由条件知，yn-xyn=rn,|PnPn+1|=rn+rn+1.所以预测角度5 不等式的实际应用1 某机关在“精简人员”中，对部分人员实行分流，规定分流人员在第一年可到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体，该机关根据分流人员的特长计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，没有利润，第二年每人可获b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增50%，若某人在分流前工资收入每年为a元，分流后第n年总收入为an元.(1)求an;

31、(2)(3) 当解题思路建立数学模型，求出an,再运用重要不等式求an的最小值，解不等式.解答(1)(2)(3)2.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药物预防,规定每人每天早晚八时各服用一片,现知该药片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,在体内的残留量超过386毫克(含386毫克),就将产生副作用(1)某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留多少(2)长期服用的人这种药会不会产生副作用？解题思路依题意建立数列模型，写出an,an-1的关系式，求出an的范围解答(1)依题意建立数列模型，设人第n次服药后，药在体内

32、的残留量为an毫克，则(2)由an=220+0.4an-1 (n2)可得an-考点高分解题综合训练设数集、N都是集合x|0x1的子集，如果把b-a叫做集合x|axb的“长度”，那么集合MN的“长度”的最小值是 ( )答案： C 解析：集合M的长度为、集合N的长度为，因M、N都是集合x0x1的子集，而x0x1的长度为1，由此得集合MN的“长度”的最小值是()-1=.2 已知答案： A 解析：略3 已知奇函数f(x)在(-,0)上为减函数,且f(2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)>0的解集为 ( )A.x|-3<x<-1B.x|-3<x<1或x>2C.x|

33、-3<x<0或x>3D.x|-1<x<1或<1<x<3答案： D 解析：由(x-1)f(x-1)>0得，由题4函数f(x)是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图像上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集是( )A.(1,4) B(-1,2)C.(- ,1) 4,+ D.(- ,-1) 2,+ 答案： B 易知过A、B两点的直线即y=x-1，即f(x)=x-1是增函数，由f(x+1)=(x+1)-1，得当 5已知f(x)=A.x|1<x<4B.x|x>3或x<2C.x|1<x<2或3<

34、x<4D.x|x<0答案： C 解析：略6.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时f(x)g(x)+f(x)g(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为 ( )A(-3,0) (3,+ )B.(-3,0) (0,3)C.(- ,-3) (3,+ )D.(- ,-3) (0,3)答案： D 解析：设F(x)=f(x)·g(x)， F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x) F(x)为奇函数 又x<0时，F(x)=f(x)g(x)+f(x)g，(x)>

35、0 x<0时，F(x)为增函数 奇函数在对称区间上的单凋性相同， x>0时，9(x)也为增函数 F(-3)=f(-3)g(-3)=0 F(3)=-F(-3)=0 如图为一个符合题意的图象观 察知9(x)=f(x)，g(x)<0 解集为(-，-3)(0，3)7已知y=logb(2-bx)在0,1上是增函数，则不等式：logb|x+2|>logb|x-4|的解集是_.答案：x|x<1，x7-2 解析：因为当b>0，所以2-bx在0，1上递减，由已知可知0<b<1，所以原不等式等价于0<|x+2|<，x-4|，解得x|x<|，x-2

36、8已知函数y=f(x)是偶函数, 当x>0时，f(x)=x+答案：依题意x-3，-1时f(x)=f(-x)=-x+=(),m=f(-1)=5，n=f(-2)=4，m-n=1， 9定义符号函数sgnx=答案：-2解析：略；10已知关于x的不等式(1)a=4时，求集合M；答案：当a=4时，原不等式可化为， 即4(x-)(x-2)(x+2)<0，x(-，-2)(，2)，故M为(-，-2)(，2)(2)若3M且5M,求实数a的取值范围。答案：由3M得<0，a>9或a<， 由5M得0，1<a25， 由、得1a<，或9<a<25因此a的取值范围是1，(9，25)11已知函数f(x)对任意实数P、q都满足f(p+q)=f(p).f(q),且f(1)=(1)当nN+时，求f(n)的表达式；答案：解：由已知得答案：证明 由(1)可知则 两式相减得 (3)解 由(1)可知 则 故有12某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大.最大种植面积是多少？答案：解：没矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，