数列求和方法选讲

1、数列求和常用方法选讲教学目标：会用求和的一般方法：并项求和、分组求和、裂项求和、错位相减法教学重点难点：求和一般办法的应用。课时安排：两个课时典例解析第一课时：题型 1：公式法例 1. 若数列 an 满足： a11,an 12an ,n N，则 a1a2an。变式练习：已知数列 an 满足： a11， an1an3 ， nN，则 a1a2an。题型 2：并项求和例 1 求数列1 ， 3+5 ， 7+9+11 ， 13+15+17+19 ， 前 n 项和。解析： 本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n 项中共有 12 3n(n 1)n个奇数， 即此2奇数列共有n(n1) 项，末项为1 n(n

2、1)1 2n2n122n(n1) (1n2n1)2n 2故 Sn2n。2()题型 3：分组求和2例 2 、求和 Sn 111111111n个分析： an1 (10n1) ，9答案： Sn10n19n1081例 3 求数列1，3 1 ， 321 ， ，3n1 的前 n 项和。3323nn1 11 3n 1 1 1 3 n1n 1-n解析：其和为(1 3 3) (332 3n)=22=2(3 3) 。第二课时题型 4：裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an =f(n+1) f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。例4求1111 211 21,(n N* )

3、 。1 21 2 33 43n解析：ak12，12kk(k1)Sn2 1111223n(n1)2 1111112 112n223n n1n1n1点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。练习：1、已知数列an的通项公式为an1，求数列an的前 n 项和 Snn(n2)n12an0，首项也不为0，求和：、已知数列为等差数列，且公差不为。i 1ai ai 1解析：首先考虑n1n1 ( 11) ，则n1=1(11)n。i 1 ai ai 1i 1 d aiai 1i 1 ai ai 1d a1an 1a1an 1点 评 ： 已 知 数 列 an为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0

4、，下列求和n1nai 1ai也可用裂项求和法。aiaidi 11i 1例 5、求数列11,1,1,的前 n 项和。2,34nn1231分析：利用分母有理化进行裂项：1n1 (nkn)n kk常用的裂项技巧：1、111n(n1)nn12、11 ( 1n1)n( n2)2 n23、1k )1 ( 11)n(nknnk4、n1n1 (nkn)kk裂项法使用时要注意哪些项抵消，哪些项保留，其最终的目的就是正负项抵消。题型 5：错位相减法例 3、求数列an 的通项公式为ann 2n ，求数列an 的前 n 项和 Sn例 4设 a 为常数，求数列a ， 2a 2 ， 3a3 ， ， na n ， 的前n

5、项和。解析：若 a=0 时， Sn=0；若 a=1 ，则 Sn=1+2+3+ +n= 1 n(n1) ；2若 a 1 ， a 0 时， Sn-aS n=a（ 1+a+an-1 -na n），Sn= (1ann 1a)2 1( n1) ana 。例 5已知 a0,a 1 ，数列 an是首项为 a，公比也为a 的等比数列，令bn an lg an (n N ) ，求数列 bn的前 n 项和 Sn 。解析： Q anan ,bnn an lg a ，Sn(a2a23Ln3ana )lg aaSn( a22a33a4Ln1na)lg a- 得： (1a)Sn(aa 2anna n 1 ) lg a ，Sna lg a2 1 (1 n na )a n(1a)点评：设数列an的等比数列，数列 bn是等差数列，则数列anbn 的前 n 项和 Sn 求解，均可用错位相减法。小结：1数列求和的常用方法（ 1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；（ 2）裂项相消法： 适用于c其中 an 是各项不为0 的等差数列， c 为常数； 部分无理数列、an an 1含阶乘的