第3章 3.2 3.2.1　直线的方向向量与直线的向量方程

1、.3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学习目的：1.理解直线的方向向量，理解直线的向量方程重点.2.会用向量方法证明线线、线面、面面平行难点、易混点.3.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角难点自 主 预 习·探 新 知1用向量表示直线或点在直线上的位置用向量表示直线或点在直线上的位置1在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，那么有ta或ta或1tta，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程向量a称为该直线的方向向量2线段AB的中点M的向量表达式2用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面

2、平行1设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，那么由向量共线的条件，得l1l2或l1与l2重合v1v2.2两个不共线向量v1，v2与平面共面，一条直线l的一个方向向量为v，那么由共面向量定理，可得l或l在内存在两个实数x，y，使vxv1yv2.3两个不共线向量v1，v2与平面共面，那么由两平面平行的断定与性质，得或与重合v1且v2.3用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，那么l1l2v1v2，cos |cosv1，v2|.根底自测1考虑辨析1直线l的方向向量是唯一的2假设两条直线平行，那么它们的方向向量的方向一样或相反3假

3、设向量a是直线l的一个方向向量，那么向量ka也是直线l的一个方向向量提示1×与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量23×k0.2假设A1,0，1，B2,1,2在直线l上，那么直线l的一个方向向量是 【导学号：33242274】A2,2,6B1,1,3 C3，l,1D3,0,1B2,1,21,0，11,1,3，应选B.3直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v11,1,2，直线l2的方向向量v22,0,1，那么直线l1与l2的位置关系是_垂直因为v1·v21,1,2·2,0,1220，所以v1v2.合 作 探 究·攻 重 难空间中点

4、的位置确定O是坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A3,4,0、B2,5,5、C0,3,51假设，求P点的坐标；2假设P是线段AB上的一点，且APPB12，求P点的坐标. 【导学号：33242275】思路探究1由条件先求出，的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标2先把条件APPB12转化为向量关系，再运算解11,1,5，3，1,52,2,01,1,0P点的坐标为1,1,02由P是线段AB上的一点，且APPB12，知.设点P的坐标为x，y，z，那么x3，y4，z，2x,5y,5z，故x3，y4，z2x,5y,5z，即得因此P点的坐标为.规律方法此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点

5、的坐标，利用条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可.跟踪训练1点A2,4,0，B1,3,3，如图3­2­1，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：图3­2­11APPB12；2AQQB21.求点P和点Q的坐标解1由，得2，即2，.设点P坐标为x，y，z，那么上式换用坐标表示，得x，y，z2,4,01,3,3，即x，y，z011.因此，P点的坐标是.2因为AQQB21，所以2，2，2，设点Q的坐标为x，y，z，那么上式换用坐标表示，得x，y，z2,4,021,3,30,2,6，即x0，y2，z6.因此，Q点的坐标

6、是0,2,6.利用向量法求异面直线的夹角1直三棱柱ABC­A1B1C1中，BCA90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，那么BM与AN所成角的余弦值为【导学号：33242276】A. BC. D2图3­2­2如图3­2­2所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，那么cos 的最大值为_思路探究1建立空间直角坐标系，表示出，的坐标，利用向量法求解；2以A为原点，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，表示出向量

7、，的坐标，建立函数关系式讨论最值解析1以C1为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，设BCCACC12，那么A2,0,2，N1,0,0，M1,1,0，B0,2,2，1,0，2，1，1，2，cos，.2以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如下图的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为2，M0，y,20y2，那么A0,0,0，E1,0,0，F2,1,0，1，y,2，|，2,1,0，|，cos .令t2y，要使cos 最大，显然0<t2.cos ××××.当且仅当t2，即点M与点Q重合时，cos 获得最大值.答案1C2规律方法利用向量求异

8、面直线所成角的步骤为：1确定空间两条直线的方向向量；2求两个向量夹角的余弦值；3确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角.提醒：两异面直线夹角范围为，时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键.跟踪训练2如图3­2­3所示，正四棱锥P­ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值图3­2­3解如图，以O为原点，过O点平行于AB、BC的直线为x轴、y轴，PO为z轴建立空间直角坐标系由得A，B，E，F，所以，所以cos

9、，.所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为.利用空间向量处理平行问题探究问题1直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？提示1非零性：直线的方向向量是非零向量2不唯一性：直线l的方向向量有无数多个，可以分为方向一样和相反两类，它们都是共线向量. 3给定空间中的任一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线2两条平行直线的方向向量有什么关系？提示设直线l，m的方向向量分别为a，b，那么lmabab.1直线l平面ABC，且l的一个方向向量为a2，m,1，A0,0,1，B1,0,0，C0,1,0，那么实数m的值是_图3­2­42如图3­2­4

10、所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：FC1平面ADE.【导学号：33242277】解析11,0，1，0,1，1因为l平面ABC，所以存在实数，使a即2，m,11,0，10,1，1解得m3.答案32证明如下图，建立空间直角坐标系D­xyz，那么有D0,0,0，A2,0,0，C0,2,0，C10,2,2，E2,2,1，F0,0,1所以0,2,1，2,0,0，0,2,1，因为DA平面ADE，AE平面ADE，且0,2,10×2,0,01×0,2,1，即0×1×，所以有FC1平面ADE或FC

11、1平面ADE，又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.母题探究：1.改变问法本例3中假设G，H分别为AD，B1C1的中点试求证EGFH.证明如下图，建立空间直角坐标系那么E2,2,1，G1,0,0，F0,0,1，H1,2,2所以1，2，1，1,2,1所以，所以.显然EG与FH不重合，故EGFH.2改变问法本例3条件不变，改为求平面ADE平面B1C1F.证明如下图，建立空间直角坐标系，那么A2,0,0，D0,0,0，B12,2,2，C10,2,2，E2,2,1，F0,0,1，得2,2,1，2,2,1，2,0,0，2,0,0，所以，又互相不共面，所以DEFB1，DAB1C1，又DADED，F

12、B1B1C1B1，所以平面ADE平面B1C1F.规律方法1证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行.2用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内.3利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行.提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.当 堂 达 标·固 双 基1直线l1，l2的方向向量分别为v13,0,1，v21,0，m，假设l1l2，那么m等于A1 B3C. DD因为l1l2.所以存在实数，使v1v2即3,0,11,0，m，解得m.2假设A1,0,1，B1,4,7在直线l上，那么直线l的一个方向向量为 【导学号：33242278】A1,2,3B1,3,2C2,1,3D3,2,1A1,4,71,0,12,4,621,2,3，应选A.3假设异面直线l1，l2的方向向量分别是a0，2，1，b2,0,4，那么异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于ABCDB|a|，|b|2，a·b0，