高二数学求曲线的轨迹方程教案

1、高二数学求曲线的轨迹方程刘明华. 教学内容：求曲线的轨迹方程 二. 学习目标求曲线的方程是解析几何中的重点， 也是难点， 是解答题取材的源泉。 求曲线的轨迹方 程的常用方法很重要。三. 考点分析1、求曲线方程的步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M的坐标；(2) 写出适合条件p的点M的集合P=M | p (M ) ;(3) 用坐标表示条件 p(M) ,列出方程 f(x,y) =0；( 4)化方程 f( x,y) =0为最简形式；( 5 )说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。 2、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数

2、法、 交轨法。( 1)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得 动点轨迹方程，即直接通过建立x、y之间的关系，构成 F (x,y)= 0,此法是求轨迹的最基本的方法。( 2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等), 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系,从而求出轨迹方程。注：用定义法求曲线方程，灵活运用题设重要条件，确定动点满足的等量关系，结合圆锥曲线定义确定方程的类型。 步骤：列出等量关系式； 由等式的几何意义,结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状； 写出方程。 利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系

3、。( 3)代入法(相关点法或转移法) ：动点所满足的条件不易表述或求出, 但形成的轨迹 的动点P ( X,y )却随着另一动点Q ( X!,y!)的运动而有规律的运动，且动点 Q的轨迹为给定 或容易求得，则可先将 xi,yi表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得 P的轨迹 方程。(4) 待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列 出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可；(5) 参数法：当动点P (x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时， 可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程(

4、6)交轨法：求两动曲线交点的轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的 交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些曲线的联系,然后消去参数得到轨迹方程。要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念,若是求轨迹则不仅要求出方 程,而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,在何处,即图形的形状,位置,大小 都需说明,讨论清楚。典型例题】例1.已知吕、芒是两个定点，阿卜氛且厶ABC的周长等于16,求顶点用的轨迹方 程.分析：由ABC的周长等于16,，目刖 Y可知，点到色、了两点的距离的和是常数. 因 此，点卫J的轨迹是以 百、&为焦点的椭圆，可适当建立坐标系求出方程.解：如图，建立坐标

5、系，使 窪轴经过点百、亡，原点0与訂匕的中点重合.由已知|BC| = 6 ,有 |AB | | AC |二10即点的轨迹是椭圆，且 脸T，氐Tf c=3 , a=5 , b2 二 a2 -c2 二 25 一 9 二 16 但当点在直线 戲：上，即劣屮时，盘、£、【'三点不能构成三角形，所以点的轨迹方程是，- 11 .23 搐 *，点评：(1)求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意, 如果不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件.(2)在求解时，如果题设条件中未给出坐标系时，要建立适当的坐标系，通常取定直 线为坐标轴，定点或线段的中点为坐标原点，使其具

6、有对称性，使曲线方程尽可能地简单。例2.如图所示，已知P (4, 0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足/ APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。命题意图：本题主要考查利用相关点代入法”求曲线的轨迹方程：错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求 R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问 题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt ABP中,|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依

7、垂径定理：在Rt OAR中，|AR|2=|A0f - |OR|2=36 -( x2+y2)又 AR|=|PR|= &二4)2y2所以有(x- 4) 2+y2=36 -( x2+y2)，即 x2+y2- 4x- 10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q (x,y) , R ( xi,yi),因为 R是 PQ的中点,x 4 y 0 所以 xi=, y1,2 1 2代入方程x2+y2 4x- 10=0,得(宁)2 q)2_4 宁-10=0整理得：x2+y2=56，这就是所求的轨迹方程.例3.已知中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆与直线a 0 / 

8、9;1 = °交于、3两点，M为AB 中点，爲胚的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解：由题意，设椭圆方程为由1djr-17 ，得卄離站盡0,3t-l-Xs 1-H3-I，/，：厂一”I ，鮎：，% 说 为所求.点评：(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法；(2)直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦 斜率问题.例4.已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数 入，求点M的轨迹方程，并注明 轨迹是什么曲线解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A (- a,0) ,B ( a,0).设M (x,y)是轨迹上任意一点.当入=1时

9、，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0,点M的轨迹是直线(y轴).当入工1时，点M的轨迹方程是x2+y2+ 2a(1 2)x+a2=0 点M的轨迹是以(一1 f(2)a(12)1 - -2,0)为圆心，为半径的圆.一& I则由题设，得|mb | =入，坐标代入，,：(x +a)2 +y2得22 =入，化简得(x _a) y(1入 2) x2+( 1-入 2) y2+2a (1+ 入 2) x+ (1 入 2) a2=0(1)感悟：本题所用的方法是直接法，在所求得的曲线方程中含参数，应通过对参数的讨论来说明轨迹的类型，即是什么曲线，它的位置，形状，大小如何，此题易忽视讨论入=1

10、的情况。建立适当的坐标系，用直接法求得轨迹方程，再由入值的变化讨论方程所表示的曲线。2例5.设点A和B为抛物线y =4px ( p> 0)上原点以外的两个动点，已知0A丄OB , OM丄AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.命题意图：本题主要考查 参数法”求曲线的轨迹方程.技巧与方法：将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量， 从而就建立了关于x、y的关系：解法一：设0A的方程为y =也，代入y2=4px得A(p，P)k k1则OB的方程为y x，代入y2=4px得B(2pk2,-2pk)kk AB 的方程为 y2(X-2p)，过定点 N(2p,0),1 -k由

11、OM丄AB,得M在以ON为直径的圆上(O点除外)故动点M的轨迹方程为x2+y2- 4px=0 * 0),它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的 圆，去掉坐标原点。解法二：设M ( x,y)( xm 0), OA的方程为y=kx ,代入 y2=4px得 A(2,2p)k k1则OB的方程为y x，代入y2=4px得B(2pk2,吃pk)k由OM丄AB，得22 2 p2pM既在以OA为直径的圆x y 2x y =0上，k2k又在以OB为直径的圆x2 y2 -2 p k2 x 2 p ky0上（0点除外）, k2 + 得 x2+y2 4px=0 （x 丰 0）故动点M的轨迹方程为x2+y2 4p

12、x=0 （XM 0）,它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径 的圆，去掉坐标原点.【模拟试题】一、选择题（本大题共1.已知椭圆的焦点是 那么动点Q的轨迹是（A.圆B.22.设A1、A?是椭圆-94线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（22A. 119422C.94圆心在抛物线）3.2 2A. x yC. x2 y24.6小题，每小题5分，共30分）FF2,P是椭圆上的一个动点， 如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|, ）椭圆2 =1的长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，C.双曲线的一支D.抛物线则直B.D.y2 =2x 上,且与1-x-2y 04中心在原点的双曲线一个焦点为2,则双曲线方程是3点的横坐标为2 2乂 1942 2 94x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是:2 2B. x y x -2y 1 = 0D. x2 y2 _x _2y - = 04（、7,0），直线y =X -1与其交于M ,