带滤频的逆迭代法

1、带滤频的逆迭代法结构动力分析时常需要求解体系的主振型和频率，当动力自由度较多时，需要采用迭代法进行电算分 析。由不考虑阻尼的自由振动方程可得：丄KX二MX(4-91)这在数学上称为广义特征值问题，两边前乘K丄或M 丄，可以得到标准特征值问题：K LM XX(4-92)或M dKX二 2X(4-93)迭代法先通过假设一个初始的振动形状，然后通过逐步调整振动形状，直到前后两个振动形状充分接近时为止，这样可以得到主振型，再由主振型获得对应的频率。采用(4-92)式进行迭代求解的方法称为逆幕迭代(或逆迭代)，采用(4-93)式进行迭代求解的方法称为幕迭代。逆幕迭代是求解特征向量和特征 值问题的很有效的

2、方法。1 计算过程(1)求第一频率和主振型在(4-92)式中，记D二KTm、 = 12 , D称为动力矩阵，于是(4-92)式成为求D的特征值问题：D X= X(4-94)当矩阵阶数较高时，K1不易求，可改用柔度矩阵訂，其系数:-j可用单位力法求得，系数 打表示仅 在i层(质 点)作 用一单 位力时 在第j层(质点)产生 的位 移，如 在第n层作用单位 力，则. =丄，,2n = + 1 Jnn =丄 + + 1。 k2k1 k2kn先假定一初始振型向量，如全为 1的向量X(0)=1 11T，按下式得到一个新的向量：X(1) = DX(0)(4-95)同时将 X(1 标准化：X=,X(4-96

3、)标准化的方法可规定某个元素为 1 (如顶层为1),其余取与该元素的比值；或按下式进行：X(1)X(X(1)TMX(1)0.5(4-97)再以X(1)为主振型的第二次近似值，前乘动力矩阵D，得到： x (2) = D X (1) =2 X (2)(4-98)重复上述过程，到第k次迭代：(4-99)则迭代结束，得到第一主振型X1 = X(k) X(k) =D X(k = : kX(k)比较 XP)与 X(),如果二者很接近和第一频率(2)求高阶频率和振型采用迭代法求解高阶振型和频率在于在迭代过程中消除前面低阶的振型成分，这个过程称为滤型或滤 频。任一向量Y可按主振型展开：ntYaiXi，两边同乘

4、以Xj M :i 1X jTM Y =akXjTMXkk丄由振型正交性原理得到：Ta Xj MYa j*Mj式中，Mj* =XjTM Xj为广义质量。 从Y中滤去第一主振型成分，余下的振型向量为:Y(2) =Y : iXi =Y -XiXiTMY/Mi* =(1 -XiXiTM/M i*)Y 令Qi =1 XiXiTM/Mi*，称为一阶滤型矩阵,(4-102)式成为:Y(2) =QiY此时，Y(2)中已不包含一阶主振型分量。将Y(2)代入(4-94)式右端，得到：丄丫(2) =DY(2) =DQiY =D2Y-2式中的D2就是迭代求解第二阶振型所用的动力矩阵:T*DD -D XiXi M /M

5、 i =DXiXiTM 2 .i M i类似地，可得到s i阶滤频后的动力矩阵:Dsi=DsTXsXs M 2 *.!s M s(4-i00)(4-i0i)(4-i02)(4-i03)(4-i04)(4-i05)(4-i06)迭代过程为：设初始向量X(0)=i iiT或其它值*TTXsXs M 2 *；.-：s M s求广义质量【Mb二Xs MXsDs* =Ds 求第s v阶滤频后的动力矩阵Xs ii珂DsiX(0) =：iXsiXsi2二DsiXsi(i) = ：2Xsi(2)Xs 畀=Ds#Xs=c(kXs 昇s i阶振型Xsi二Xsi(k)和第s i阶频率当Xsi(k)与Xsi(2很接近

6、时，迭代结束，得到第2.分析示例360、270和i80t，侧移刚度分别为294 i03、i96 i03和三层刚架结构的i3层的集中质量分别为398 i0 kN/m。求结构的振动频率和振型。质量矩阵为:6 0 0-M20 0 81刚度矩阵为:490000-196000K = 1-1960002940000-98000_980001980003.4 柔度矩阵为：6 =3.4 3.4(1)求第一阶频率和振型_3.4 3.48.5 8.50卫(m/kN )8.518.71.224 0.918D1 =6M = 1.224 2.2961.224 2.296设初始向量X(0)=1 1 1T0.6121.53

7、0 X10-3.366第1次迭代:第2次迭代:第3次迭代:第4次迭代:X1X1(2)(3)X1(4)X1第5次迭代:X1(5)D1X(0)-D1X1()(2)= D1X1(3)二D1X1= D1X1()如果振型精度为10 -，(2)求第二阶频率和振型 设初始向量X2(0) =12.7545.05 业102=6.886。06.886 1.7753.70310-=5.539 105.5395.5390.3999-0.7334仙0.3200.669 =cX1(2)1X1(1)1.618=3.458X10 -=5.294 X105.2941.585、- (4)=彳3.402 収 10丄=5.238 汉

8、 10丄0.649 = c(4X1 /5.238 -_30.3030.306(3)=_：就 X1(4)1.01.579=，频率为29.57。(3)求第三阶频率和振型(0)设初始向量1求广义质量M2* =X2TMX2 求第3阶滤频后的动力矩阵：一 0.7 0.095二 445.62D3 二D2 X2X2TM 黑0 2?0_0 02 * ,2 M 20 _ 0.270 = 0.286 1800.1140.0690.476|0.516 -0.509-0.2170.222-0.17113-60.682X10-J-2.566*10-0.605、0.682-0.258 -0.34 0.485-0.605 1第1次迭代:X3第2次迭代:X3(2)第3次迭代:X3第4次迭代:X3(4)第5次迭代:X3(5)第三阶振型X30.057-0.0610.023(0)= D3X3()二D3X3(2)= D3X3(3)珂 D3X3(4)= D3X310 -0.11=-0.124-0.034-1.628=1.697-0.980.881-0.921、0.5080.919-0.9600.530X10 -=-0.03010 3