排列组合-拔高难度-讲义(1)

1、排列组合u>知识讲解一、排列1 .排歹h 一般地，从n个不同的元素中任取 m(mw n)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)2 .排列数：从n个不同的元素中取出 m(mw n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号 Am表示.3 .排列数公式:Am =n(n1)(n2)川(nm+1), m, nw N +，并且 m< n .4 .全科卜列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.5 .n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示.规

2、定：0!=1 .二、组合1 .组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出 m(mwn)个元素并成一组，叫做从 n个元 素中任取m个元素的一个组合.2 .组合数：从n个不同元素中，任意取出 m (mw n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n个 不同元素中，任意取出 m个元素的组合数，用符号 Cm表示.3 .组合数公式：n(n -1)(n -2)|(n -m +1)n! ，m,nw N十，并且 m& n Cn _m!m!(n - m)!组合数的两个性质： g -m n .m Cn =Cn ； cm+=cm +Cmx.(规定 C0 =1)三、排列组合一些常用方法1 .特殊元素、特殊位置优先法元

3、素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2 .分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分 类明确，层次清楚，不重不漏.3 用卜除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.4 .捆等E法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素捆成一个“元素，与其它元素进行排列，然后再给那 -捆元素”内部排列.5 .插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空.6 .插板法：n个相同元素，分成 m（mw n）组，每组至少一个的分组问题 一一把n个元素排 成一排，从

4、n-1个空中选m-1个空，各插一个隔板，有 Ci.7 .分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）.有等分、不等分、部分等分之别.一般 地平均分成n堆（组），必须除以 n!,如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m !8 .4昔位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n=2, 3, 4, 5时的错位 数各为1, 2, 9, 44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2个、 3个、4个元素的错位排列的问题.四、实际问题的解题策略1 .排列与组合应用题三种解决途径：元素分析法：以元素

5、为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.注意：求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取 ”时重复和遗漏；最后列出 式子计算作答2 .具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排；理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或

6、隔板法;顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面.对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型.典型例题匚.选择题（共2小题）1. （2018?合肥三模）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（A. 24 B. 48 C. 96 D. 120【解答】解：第一类：若A, D相同，先涂E有4种涂法，再涂A, D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有一种涂法，共有4X3X2=24种，第二类，若A, D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D

7、相同时，C有1种涂法，当B和D不同时，B, C只有一种涂法，共有4X3X2X （1+1） =48种，根据分类计数原理可得，共有 24+48=72种，故选：C.2. （2018双荔县模拟）如图所示的五个区域中，要求在每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，现有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为A. 64 B. 72 C. 84 D. 96【解答】解：分两种情况：(1) A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B D有1种，有4义3X2=24 种；(2) A、C同色，先涂A有4种，E有3种，E有2种，B、D各有2种，有4X3X2X2=48 种.共有72种，故选：B.二.解答题(

8、共16小题)3. (2018春?金凤区校级期末)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(用数字回答)【解答】解：(1)先取后排，女生1人男生4人，女生2人男生3人，共有C31C54+C32C53,再把从中选出5人担任5门不同学科的科代表有A55,故共有(Q1C54+C32C53) A55=5400 种，(2)先安排这一名男生，冉从剩下的 7人中选4人安排剩下的4门学科，共有C41A74=3360 种.4. (2018春？历下区校级期中)某学习小组有 3个男生和4个女生

9、共7人：（ 1）将此7 人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？（ 2）将此7 人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？（ 3）从中选出2 名男生和2 名女生分别承担4 种不同的任务，有多少种选派方法？（ 4）现有7 个座位连成一排，仅安排4 个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？【解答】 解： （ 1）根据题意，分2 步进行分析：，将3个男生全排列，有A33种排法，排好后有4个空位， ，将 4 名女生全排列，安排到4 个空位中，有A44 种排法，则一共有种排法；（ 2）根据题意，分2 种情况讨论： ，男生甲在最右边，有A66=720， ，男生甲不站最左边也不

10、在最右边，有A51A51A55=3000，贝U有720+3000 - 3720种排法；（ 3）根据题意，分2 步进行分析：，在3名男生中选取2名男生，4名女生中选取2名女生，有C32C42种选取方法， ，将选出的4 人全排列，承担4 种不同的任务，有A44 种情况，则有种不同的安排方法；（ 4）根据题意，7 个座位连成一排，仅安排4 个女生就座，还有3 个空座位， 分 2 步进行分析： ,将4名女生全排列，有A44种情况，排好后有5个空位， ， 将 3 个空座位分成2、 1 的 2 组， 在 5 个空位中任选2 个， 安排 2 组空座位，有 A52 种情况，则有种排法5 （ 2017 春 ?林

11、芝地区期末）4 个男生，3 个女生站成一排（必须写出算式再算出结果才得分）（1） 3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（H）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（田）甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？【解答】解：（I ）先排3个女生作为一个元素与其余的 4个元素做全排列有 种（H）男生排好后，5个空再插女生有种.（田）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5 个元素与最好的2 个元素全排列，分步有种6 （ 2017 春 ?金台区期末）有5 个男生和3 个女生，从中选取5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（ 1）有女

12、生但人数必须少于男生（ 2）某女生一定要担任语文科代表（ 3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表（ 4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解： （ 1 ） 先取后排，有种， 后排有种， 共有 （=5400种.（3 分）（2）除去该女生后先取后排：=840种.（6分）（3）先取后排，但先安排该男生：=3360种.（9分）（ 4）先从除去该男生该女生的6 人中选 3 人有 种，再安排该男生有种，其余3人全排有 种，共=360种.（12分）7 （ 2017 春 ?平安县校级期中）五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数： （用数字作答）（ 1）甲、乙两人相邻

13、；（ 2）甲、乙两人不相邻；（ 3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（ 4）甲在乙前，并且乙在丙前【解答】 解： （ 1）把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为=48 种，（ 2）排除甲乙之外的3 人，形成4 个空，再把甲乙插入空位有=72，（3）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：-2 + =78种，（ 4）因为甲、乙、丙共有3！种顺序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为： +3! =20 种，8 （ 2017 春 ?南岸区校级期中）现由某校高二年级四个班学生34 人，其中一、二、三、四班分别为7 人、 8 人、 9 人、 10 人，他们自愿组成数学课外

14、小组1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（ 2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（ 3）推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【解答】 解： （ 1）根据题意，四个班共34人，要求从34人中，选其中一人为负责人，即有C341=34种选法；（ 2）根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有7 种情况，从二班选一名组长，有8 种情况，从三班选一名组长，有9 种情况，从四班选一名组长，有10 种情况， 所以每班选一名组长，共有不同的选法 N=7X 8X9X 10=5040 （种）.3）根据题意，分六种情况讨论， 从一、二班学生中各选1 从一、三班学生中各选1 从一

15、、四班学生中各选1 从二、三班学生中各选1 从二、四班学生中各选1 从三、四班学生中各选1人，有7X8种不同的选法；人，有7X9种不同的选法，人，有7X10种不同的选法;人，有8X9种不同的选法；人，有8X10种不同的选法;人，有9X10种不同的选法,所以共有不同的选法 N=7X 8+7X 9+7X 10+8X 9+8X 10+9X 10=431 （种）.9 （ 2017 春 ?诸暨市校级期中）7 人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（ 1）甲、乙两人相邻；（ 2）甲、乙之间隔着2 人；(3)若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变;(4)甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底(3

16、人身高不同)的站法；(5)若甲、乙两人去坐标号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的七把椅子，要求每人两 边都有空位的坐法.【解答】解：(1)(捆绑法)，把甲乙二人捆绑在一起，再和其他 5人全排列，故有种，(2)(捆绑法)，先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，故有种，(3)(插空法)，原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人，故有种，(4)(分步计数法)，从7人中任取3人，如a, b, c,则改变原位置站法有2种，b, c, a和c, a, b,固有种，(5)(定序法)，先全排列，再除以顺序数，故有一 种，10 (

17、2017春?广东期中)用0, 1, 2, 3, 4, 5, 6这七个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位奇数？(2)能组成多少个无重复数字且为 5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字且比 31560大的五位数？【解答】解：(1)根据题意，分3步进行分析：、个位从1, 3, 5选择一个，有 种选法，、千位数字不可选0,从剩下的5个中选一个，有 种选法，、在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有 A52种选法,个无重复数字的四位奇数；（ 2）分2 种情况讨论： 、个位数上的数字是0，在其余的4 个数字中任选4 个，安排在前4 个数位，有 种情况，则此时的五位数有个； 、个位

18、数上的数字是5，首位数字不可选0，从剩下的5 个中选一个，有种选法，在剩下的5 个数字中选出 3 个，安排在中间3 个数位，有 种情况，则此时符合条件的五位数有个故满足条件的五位数的个数共有个；（ 3）符合要求的比31560大的五位数可分为四类：第一类：形如4 ，5 ，6 ，共个；第二类：形如32 ， 34 ， 35 ， 36 共有个；第三类：形如316 ，共有个；第四类：形如3156 ，共有 2 个；由分类加法计数原理知，无重复数字且比31560 大的四位数共有：个11 （ 2017 春 ?吉林期中）有 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内：（ 1）恰有 1 个盒内有2 个球，

19、共有几种放法？2）恰有2 个盒不放球，共有几种放法？【解答】 解： （ 1）根据题意，分三步进行分析：第一步，从4 个小球中取两个小球，有C42 种方法；第二步，将取出的两个小球放入一个盒内，有C41 种方法；第三步，在剩下的三个盒子中选两个放剩下的两个小球，有A32种方法；由分步计数原理，共有 C42?Q1?A2=144种放法.（ 2）根据题意，分2 种情况讨论：第一类，一个盒子放3 个小球，一个盒子放1 个小球，两个盒子不放小球有a9aqdg种方法；第二类，有两个盒子各放2个小球，另两个盒子不放小球有 C42?C42=36种方法;由分类计数原理，共有48+36=84种放法12 （ 2017

20、 秋 ?鄱阳县校级期中）现有10 个教师其中男教师6 名，女教师4 名；（ 1）现要从中选2 名去参加会议，有多少种不同的选法？（ 2）现要从中选出男教师、女教师各2 名去参加会议，有多少种不同的选法？【解答】 解： （ 1）根据题意，要求从10 人中任选2 人，则不同的选取方法有Cio2=45种，（ 2）根据题意，分2 步分析： 、先在6 名男教师中任选2 人，有C62=15 种取法， 、再在4 名女教师中任选2 人，有C42=6 种取法，则不同的选取方法有15X6=90种.13 （ 2017 春 ?集宁区校级期中）袋中装有大小相同的4 个红球和6 个白球，从1）若取出的球必须是两种颜色，则

21、有多少种不同的取法？（ 2）若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？（ 3） 取出一个红球记2 分， 取出一个白球记1 分， 若取 4 球的总分不低于5 分，则有多少种不同的取法？【解答】 （ 12 分） （每小问4 分）解： （ 1）分三类：3 红 1 白， 2 红 2 白， 1 红 3白这三类，由分类加法计数原理有：+=194（种）（ 2）分三类：4 红， 3 红 1 白， 2 红 2 白，由分类加法计数原理共有：C4+C43C61+C42C2=115 （种）.（ 3）由题意知，取4 球的总分不低于5，只要取出的4 个球中至少一个红球即可因此共有取法：C41Q33+C42C6

22、2+C43C61+C44=195i （种）.14 （ 2017 春 ?玉田县期中）有甲、乙、丙、丁、戊5 位同学，求：（ 1） 5位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？（ 2） 5 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？（ 3）将5 位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【解答】解：（ 1）根据题意，分2 步进行分析： 、甲、戊不在两端，在中间的三个位置任选2 个，安排甲、戊2 人，有A32=6种排法， 、将乙、丙、丁三人安排在剩下的三个位置，有A33=6 种排法，则甲、戊不在两端有种排法；(2)分3步进行分析:、将甲乙看成一个整

23、体，考虑甲乙之间的顺序，有A22=2种情况，、将这个整体与戊2人全排列，有A22=2种顺序，排好后，有3个空位，、在3个空位中任选2个，安排丙丁，有A32=6种情况，则共有2X2X6=24种不同的排歹方法；(3)分2步进行分析：、将5个同学分成3组，若分成1、1、3的三组，有=10种分法，若分成1、2、2的三组，有=15种分法，则一共有10+15=25种分组方法；、将分好的三组对应三个班，有 A33=6种情况，则一共有25X6=150种不同的分配方法.15 (2017春?大丰市校级期中)现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.(用数字作答)(1)若2位男生相邻且3位女生相邻，则共有多少种不同

24、的排法？(2)若男女相间，则共有多少种不同的排法？(3)若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则共有多少种不同的排法？【解答】解：(1)利用捆绑法，可得共有 A22A22A33=24种不同的排法；(2)利用插空法，可得共有 A22A33=12种不同的排法；(3)利用间接法，可得共有 A55-3A44+C21A33=60种不同的排法.16 (2017春？新市区校级月考)现有4名男生、3名女生站成一排照相.(结果用数字表示)(1)女生甲不在排头，女生乙不在排尾，有多少种不同的站法？(2)女生不相邻，有多少种不同的站法？(3)女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？【解答】解：(1)根据题意，分2

25、种情况讨论：、女生甲排在队尾，女生乙有6个位置可选，剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55种情况，止匕时有6X A55=720种站法；女生甲排不在队尾，女生甲有 5个位置可选，女生乙不在排尾，女生乙有5个位置可选，剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55种情况，止匕时有5 X 5 X A55=3000种站法；则一共有 720+3000=3720(2)根据题意，分2步进行分析：、将4名男生全排列，有A44=24种顺序，排好后包括两端，有 5个空位，、在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53=60种情况，则此时有24X60=1440种站法；(3)根据题意，将7人全排列，有A77=5040种顺序，女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，则女生甲要在女生乙的右方的排法有 一 x A77=2520种情况.17 （ 2017 春 ?江西月考）有3 名男生， 4 名女生，在下列不同要求下，求不同的 排列方法种