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1、一道课本习题的联想 枣阳市鹿头中学 高中数学第二册（上）页第6题如下：在椭圆上求一点P ，使它与两个焦点的连线互相垂直。容易求得点P 共有四个：（3，4） ，（3 ，4），（3，4），（3，4）。由此结果引发我们想到下面的两个问题：问题1 椭圆（a> b> 0）的两个焦点，椭圆上是否存在一点P ，使90°, 若存在，P 点有几个；若不存在，请说明理由，并求此时椭圆离心率的取值范围。解: 假设P 点存在。 设P 点的坐标为（x,y）,则由焦点三角形面积公式可得， =tan 即 C° 当 < b 时 ，< b ,得 b< c , ,从而 ， ，即

2、e< 1,此时 P 点存在有四个。 当 b时， ，得 b= c ,即 e= , 此时P 点存在有两个，当 > b 时， > b,得 b > c, 即 0< e < ,此时P点不存在。 再将此问题推广为更一般情况 问题2 椭圆 （a >b >o）的两个焦点为 ( -C, 0 ) , ( C, 0 ) .。 椭圆上是否存在一点 P ,使= ，若存在，P 点有几个；若不存在，请说明理由。窗体底端 解: 假设P点存在。 设 P 点的坐标为（x ,y）,则由焦点三角形面积公式可得： =tan 即 ， 当 b 时， b ,即 > tan ,点 P 存在有四个。 当 b 时， 即 ，点P 存在有两个。 当 > b 时， > b ,即 < tan , 点 P 不存在 。 应用上述两问题的结论及研究问题的方法可以解决以下例题。 例 1 我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”，设,是优美椭圆C: （a > b > 0）的两个焦点，则椭圆 C上满足的点的个数为。 例 2 在椭圆 上是

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