二次函数综合应用题

1、二次函数综合应用题二次函数综合应用题1.（2011 山东日照，24，10 分）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=xk相交于点A，B. 已知点B的坐标为（2，2） ，点A在第一象限内，且 tanAOx=4. 过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由【答案】 （1）把点B（2，2）的坐标，代入y=xk，得：2=2k，k=4即双曲线的解析式为：y=x4设A点的坐标为（m，n） 。A点在双曲线上，mn=4又tanAOx=4，

2、nm=4， 即m=4n又，得：n2=1,n=1.A点在第一象限，n=1,m=4 ， A点的坐标为（1，4）把A、B点的坐标代入y=ax2+b x，得：baba242,4解得a=1，b=3；抛物线的解析式为：y=x2+3x； （2）ACx轴，点C的纵坐标y=4，代入y=x2+3x，得方程x2+3x4=0，解得x1=4，x2=1（舍去） C点的坐标为（4，4） ，且AC=5，又ABC的高为 6，ABC的面积=2156=15 ；（3）存在D点使ABD的面积等于ABC的面积.过点C作CDAB交抛物线于另一点D因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（4，4） ，CDAB，所以直线CD

3、相应的一次函数是：y=2x+12.解方程组,122,32xyxxy得,18, 3yx所以点 D 的坐标是（3，18）2 2. .（2011 江苏连云港，25，10 分）如图，抛物线212yxxa与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，其顶点在直线y=2x上.(1)求a的值；(2)求A,B两点的坐标;(3)以AC,CB为一组邻边作ABCD,则点D关于x轴的对称点D是否在该抛物线上?请说明理由.【答案】 解： (1)二抛物线212yxxa的顶点坐标为24(,)24bacbaa， x=1,顶点在直线 y=2x 上，所以 y=2,即顶点坐标为（1，2） ，2=121+a,即a=324;(2)二次函数的

4、关系式为21322yxx，当 y=0时，213022xx，解之得：121,3xx ，即 A（1，0） ，B（3，0） ； （3）如图所示：直线 BD/AC,AD/BC,因为 A(1.0),C(0,32),所以直线AB的解析式为3322yx ,所以设BD的解析式为32yxb ,因为B(3,0),所以 b=92,直线 BD 的解析式为:3922yx ,同理可得:直线 AD 的解析式为:1122yx,因此直线 BD 与 CD 的交点坐标为:(2,32),则点 D 关于 x 轴的对称点 D是(2,32),当 x=2 时代入21322yxx得,y=32,所以 D在二次函数21322yxx的图象上.3 3

5、（2011 湖南永州，24，10 分）如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过 A（2，1） ，B（0,7）两点求该抛物线的解析式及对称轴；当x为何值时，0y？在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于 C，D 两点（点 C 在对称轴的左侧） ，过点 C，D 作x轴的垂线，垂足分别为 F，E当矩形 CDEF 为正方形时，求 C 点的坐标【答案】解：把 A（2，1） ，B（0,7）两点的坐标代入cbxxy2，得7124ccb解得72cb所以，该抛物线的解析式为722xxy，又因为8) 1(7222xxxy，所以对称轴为直线1x当函数值0y时，0722xx的解为221x，结合图象，容易知道221

6、221x时，0y当矩形 CDEF 为正方形时，设 C 点的坐标为（m，n） ，则722mmn，即722mmCF因为 C，D 两点的纵坐标相等，所以 C，D 两点关于对称轴1x对称，设点 D 的横坐标为p，则11pm，所以mp 2，所以 CD=mmm22)2(因为 CD=CF，所以72222mmm，整理，得0542 mm，解得1m或 5因为点 C 在对称轴的左侧，所以m只能取1当1m时，722mmn=7) 1(2) 1(2=4于是，得点 C 的坐标为（1，4） 4 4. .（2011 四川重庆，25，10 分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件

7、的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1x9，且x取整数)之间的函数关系如下表：月份x123456789价格y1(元/件)560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10 x12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；(2)若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人力成

8、本为 50 元，其它成本 30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p10.1x1.1(1x9， 且x取整数)， 10 至 12 月的销售量p2(万件)p20.1x2.9(10 x12，且x取整数)求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；(3)今年 1 至 5 月，每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元，人力成本比去年增加 20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 0.1a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下， 完成 1 至 5 月的总利润 1700

9、万元的任务， 请你参考以下数据， 估算出a的整数值 (参考数据： 9929801，9829604，9729409，9629216，9529025)【答案】(1)y1 与 x 之间的函数关系式为 y120 x540，y2 与 x 之间满足的一次函数关系式为 y210 x630(2)去年 1 至 9 月时，销售该配件的利润 w p1(10005030y1)(0.1x1.1)(1000503020 x540)(0.1x1.1)(38020 x)2x2160 x4182( x4)2450，(1x9，且 x 取整数)20，1x9，当 x4 时，w 最大450(万元)；去年 10 至 12 月时，销售该配

10、件的利润 w p2(10005030y2)(0.1x2.9)(1000503010 x630)(0.1x2.9)(29010 x)( x29)2，(10 x12，且 x 取整数)，当 10 x12 时，x29，自变量 x 增大，函数值 w 减小，当 x10 时，w 最大361(万元)，450361，去年 4 月销售该配件的利润最大，最大利润为 450 万元(3)去年 12 月份销售量为：0.112+0.9=1.7（万件） ，今年原材料的价格为：750+60=810（元） ，今年人力成本为：50（1+20）=60（元） ，由题意，得 51000（1+a）81060301.7（10.1a）=170

11、0，设 t= a，整理，得 10t299t+10=0，解得 t=99 940120，9729409，9629216，而 9401 更接近 9409 9401=97t10.1 或 t29.8，a110 或 a29801.7（10.1a）1，a2980 舍去，a10答：a 的整数值为 105 5（2011 江苏盐城，26，10 分）利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?（2）该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 300 件经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降 0.1 元，这两种商品每天可各多销售 100 件为

12、了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？信息 1： 甲、 乙两种商品的进货单价之和是 5 元；信息 2:甲商品零售单价比进货单价多 1 元，乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少1 元信息 3：按零售单价购买甲商品 3 件和乙商品 2 件，共付了 19 元.【答案】 （1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元根据题意，得x+y=53(x+1)+2(2y-1)=19解得x=2y=3答：甲商品的进货单价是 2 元，乙商品的进货单价是 3 元（2）

13、设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则s=(1m)(500+100m0.1)+(53m)(300+100m0.1)即s=2000m2+2200m+1100=2000(m0.55)2+1705.当m=0.55 时，s有最大值，最大值为 1705.答：当m定为 0.55 时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是 1705 元.6 6. .（2011 江苏泰州，27，12 分）已知：二次函数y=x2bx3 的图像经过点P（2,5） （1）求b的值，并写出当 1x3 时y的取值范围；（2）设点P1（m,y1） 、P2（m+1,y2） 、P3(m+2,y3)在这个二

14、次函数的图像上当m=4 时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；当m取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由【答案】解： （1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （2）22b3，解得 b=2.当 1x3 时 y 的取值范围为4y0.（2）m=4 时，y1、y2、y3的值分别为 5、12、21，由于 5+1221，不能成为三角形的三边长当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为 m22m3、m24、m22m3，由于， m22m3m24m22m3， （m2）280，当 m 不小于 5 时成立，即 y1y2

15、y3成立所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，7 7（2011 四川绵阳 24，12）已知抛物线:y=x2x+m1 与 x 轴只有一个交点，且与y轴交于A点,如图，设它的顶点为B(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线C，且与 x 轴的左半轴交于E点，与 y 轴交于F点，如图.请在抛物线C上求点P，使得EFP是以EF为直角边的直角三角形.【答案】 （1）抛物线与 x 轴只有一个交点，说明=0，m=2（2）抛物线的解析式是 y=x2x+1,A（0，1

16、） ，B（1，0）AOB 是等腰直角三角形，又 ACOB,BAC=OAB=45A，C 是对称点，AB=BC，ABC 是等腰直角三角形。（3）平移后解析式为 y=x2x3,可知 E(1,0),F(0,3)EF 的解析式为：y=3x3,平面内互相垂直的两条直线的 k 值相乘=1，所以过 E 点或 F 点的直线为 y=13x+b把 E 点和 F 点分别代入可得 b=13或3，y=13x+13或 y=13x3 列方程得y=13x+13y=x-2x-3解方程 x1=1,x2=103,x1是 E 点坐标舍去，把 x2=103代入得 y=139,P1（103，139）同理y=13x-3y=x-2x-3易得

17、x1 =0 舍去，x2=73代入 y=209,P2(73,209)8 8. .（2011 贵州贵阳，21，10 分）如图所示，二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0） ，另一个交点为B，且与 y 轴交于点C（1）求m的值； （3 分）（2）求点B的坐标； （3 分）（3）该二次函数图象上有一点D（x，y） （其中x0，y0） ，使SABD=SABC，求点D的坐标 （4 分）【答案】解： （1）将（3，0）代入二次函数解析式，得32+23+m=0解得，m=3（2）二次函数解析式为y=x2+2x+3，令y=0，得x2+2x+3=0解得x=3 或x=1点B的坐标为（1，0） （

18、3）SABD=SABC，点D在第一象限，点C、D关于二次函数对称轴对称由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3） ，点D的坐标为（2，3） 9 9. .（2011 广东肇庆，25，10 分）已知抛物线2243mmxxy（m0）与x轴交于A、B两点（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；（2）若3211OAOB（O是坐标原点） ，求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若ABC是直角三角形，求ABC的面积【答案】 （1）证明：m0022mabx抛物线的对称轴在y轴的左侧（2）解：设抛物线与x轴交点坐标为A（1x，0） ，B（2x，0） ，则021mxx，043221mx

19、x，1x与2x异号又3211OAOB0OBOA 由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧01x，02x11xxOA,2xOB 代入3211OAOB得：3211111212xxxx即322121xxxx，从而32432mm，解得：2m抛物线的解析式是322xxy（3）解法一：当0 x时，243my抛物线与y轴交点坐标为C（0，243m）ABC是直角三角形，且只能有ACBC，又OCAB，CAB90 ABC，BCO90 ABC，CAB BCORtAOCRtCOB，OCAOOBOC，即OBOAOC2212243xxm即2443169mm 解得：332m此时243m1)332(432，点C的坐标为（0，1）OC1又222212212124)43(4)(4)()(mmmxxxxxxm0，mxx212即ABm2ABC的面积21ABOC21m21332解法二：略解: 当0 x时，243