函数与方程的思想jiaoan

1、 函数与方程思想在解题中的运用一 考情解读考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查” 纵观近几年的高考试题，对函数与方程等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所

2、在.由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、数列等知识中的广泛应用也要重视二 基础达标1关于的方程有实根，则实数的取值范围是 .2若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 解析：令，当且仅当时取等号，故答案：3. 已知P点在圆x2+(y-4)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,则PQ的最大值为 解析：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在椭圆上,则x2=9(

3、1-y2) 将代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，此时4已知数列的通项公式为：，设其前n项的和为，则使成立的最小自然数n= 解析：首先通过数列求和求出的表达式，然后利用函数的单调性转化为不等式求解由，所以由得答案：63三 热点剖析探究点一函数方程思想在不等式、求参数范围中的运用例1 已知为实数，函数，函数.(1) 当时，求证：；(2) 若在定义域内恒成立，求的取值范围；(3) 若函数与函数的图像有交点，求的取值范围.延伸：当时，函数，且存在区间，当时的值域为，求实数的取值范围.充分应用题设中的等量关系，将待求参数

4、表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域解析：（1）构造新函数 的值域，即探究点二函数方程思想在数列中的运用例2已知数列是公差为d 的等差数列，它的前n项和为，。 （1）求公差d的值； （2）若，求数列中的最大项和最小项的值； 延伸：若对任意的nN*，都有成立，求的取值范围. 当n取何值时，最小？ 解 （1），所以数列的通项公式为.,函数在上是单调函数，；当时，延伸：由又函数在上均是单调减函数，且对任意的nN*，都有, 7<<8.-7<<-6. 的取值范围是（-7，-6）.探究点三函数方程思想在解析几何中的运用例3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(a>

5、;b>0)的离心率e ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由解：(1)由e ，得ab，椭圆C：1，即x23y23b2，设P(x，y)为C上任意一点，则|PQ|，byb，若b<1，则b>1，当yb时，|PQ|max3，又因为b>0，得b1(舍去)；若b1，则b1，当y1时，|PQ|max3，得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)法一：假设存在这样的

6、点M(m，n)满足题意，则有n21，即n21，m.由题意可得SAOB|OA|·|OB|sin AOBsin AOB，当AOB90°时取等号，这时AOB为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直线mxny1的距离为，则 ，得m2n22，又因为n21，解得m2，n2，即存在点M的坐标为满足题意，且AOB的最大面积为.法二：假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有n21，即n21，m.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得(m2n2)x22mx1n20，把n21代入整理得(32m2)x26mxm20，则8m2(3m2)0，所以而SAOB|OA|·|OB|sin

7、 AOBsin AOB，当AOB90°，SAOB取得最大值，此时·x1x2y1y20，又因为y1y2·，所以x1x20，即33m(x1x2)(32m2)·x1x20，把代入上式整理得2m49m290，解得m2或m23(舍去)，所以m±，n± ±，所以M点的坐标为 ，使得SAOB取得最大值.四 课堂评价1已知，则的取值范围为 .分析：根据题设条件将的和与积用表示，构造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，再构建的不等式求解，或根据题设条件将表示成的函数转化为求函数的值域问题求解。解：（法一：方程思想）因为所以是方程的两根，所

8、以=即=，解得或。方法二（函数思想）由得，如果c=1，则即2=0，不成立，所以，所以令，所以令，得。当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是增函数，当时，函数在上是减函数。所以，所以的范围为或。方法三（函数思想）同方法二，可令当时，；当时，。所以的范围为或。2.已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1，表面积为，求长方体的体积的最值。解析：设三条棱长分别为x，y，z，则长方体的体积Vxyz。由题设有：； 所以， 故体积V（x）， 下面求x的取值范围。 因为， 所以y、z是方程的两个实根。 由， 因为 所以当时，； 当时，五 课堂小结在近几年的高考中，函数思想主要用于

9、求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：(1)解方程；(2)含参数方程讨论；(3)转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；(4)构造方程求解.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解六 课后作业1. 设，则双曲线的离心率的取值范围是 .解： 因为是减函数，所以当时，所以，即.评注：解析几何中点的坐标，线的方程都与函数，方程是相通的，可以利用函数与方程的思想解答问题。2.已知函数f(x)2cos2xcos x1，g(x)cos2xa(cos x1)cos x3.若yf(x)与yg(x)的图象在(0，)内至少有一个公共点试求a的取值范围 3.已知直角梯形ABCD中，ADBC,ADC,AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为