例析高三有关坐标变换内容的复习

1、例析高三有关坐标变换内容的复习安金龙（苏州工业园区第二高级中学,江苏 苏州 215006)摘 要:关键词:美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分如果在高三数学复习过程中能够注意引导学生理解学科的基本结构，注意总结提炼其中所渗透的数学思想和方法，将会使得我们的学科知识更容易理解，同时有利于对有关知识的记忆，有利于“原理和态度的迁移”。美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学

2、生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力下面笔者结合高三教学中有关坐标变换内容知识的复习，谈谈自己的一些想法，与各位同仁探讨。在新编高中数学教材中有关坐标变换的内容主要包括以下3方面：1：第一册中的基本初等函数图像的变换；2：第一册（下）中的向量平移、旋转变换；3：第二册（上）中求轨迹方程。纵观近年的高考试题，我们不难发现，以上内容及其中所体现的数学思想、方法在历年高考试题中都有不同程度地体现，由于这些内容在教材编排上零散地分布于高一、高二的教材中，在新课教学中，受学生认知水平和

3、思维能力的影响，我们不可能对其间的区别和联系进行过多的分析和比较，更不可能对其中所渗透的数学思想方法、原理进行深层次的挖掘，这无疑会增加学生学习这部分内容的难度，增大学生的记忆量，如果在高三复习时能将这些内容集中起来，进行分析比较，感知其间的区别和联系，感悟其中所体现的数学思想、方法和原理，将会极大地促进学生数学思维能力的提高，有助于对学生数学地发现问题、分析问题、解决问题的能力的培养。下面结合函数图像、向量平移变换、以及有关求轨迹方程的例题进行具体阐述。1 有关题目及解法列举例1：已知函数. （）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式； （）函数与函数的图像关于直线对称，求函数的

4、解析式。分析：该题是有关函数图像变换的题目，我们可以利用图像平移 “左加右减”的规则下，完成该题的解答。如果我们从两个函数图像上的对应点的关系考虑，运用函数和方程的有关知识，可设为函数图像上任一点，为函数的图像上与点对应的点，由题意可得即又因为点在函数的图像上，所以其坐标必然满足函数的解析式，只需将式子代入函数的解析式即可得到，即.解题回顾：本题的解法关注到变化前后图像上点之间的对应关系，运用曲线和方程的有关知识求得了函数的解析式，这种解法在解题过程中抓住了变换过程中的本质，从而获得了平移变换公式，这对提高学生综合运用知识能力的培养有极大的促进，同时对我们解决其他一些更复杂的问题会带来很大的方

5、便。下面举例说明：我们看例1的第2问。分析：显然，若仅仅停留在高一的知识层面上，要解决这一问题难度较大，若能运用上述思路，我们就可以得到如下的解法：解：设为函数上任一点，其关于直线对称的点，则点必在函数的图像上，由已知可得到如下公式即，又由于点在函数的图像上，所以其坐标必然满足函数的解析式，于是就有，即所以函数的解析式为.解题回顾：在该题的解答过程中充分体现了从图象变换过程中的点与点的对应关系及曲线与方程的关系角度来分析问题解决问题的优越性。本题运用的处理方法是：“化大为小，转移代入。”即将图像变换过程中图像与图像之间的对应关系转化为点与点之间的对应关系来考虑。例2：将函数y=f(x)sinx

6、的图像向右平移个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数y=1-2sin2x,则f(x)是（ ）(A)cosx (B)2cosx (C) sinx (D)2sinx 分析：该题是综合考察函数定义和函数图像变换的一道题，根据有关知识可以得到如下解法。 思路1：（正向思考法）将函数的图像向右平移个单位，可得函数的图像，再将函数的图像关于x轴对称可得函数的图像，于是就有，进而求出，故选C。思路2：（逆向思考）由于将函数的图像向右平移个单位，进而再关于x轴对称，得到函数y=1-2sin2x，相当于先将函数的图像关于x轴对称，然后向左平移个单位，于是就有函数的图像关于x轴对称可得函数的图像，在将函数的图像

7、向左平移个单位可得函数的图像，即，由于，所以，故选C。思路3：从图像的对应关系入手，可设为函数图像上任一点，经过变换后的对应点为，则点必在函数的图像上，由已知可得到公式，又由于点在函数的图像上，所以其坐标必然满足函数的解析式，于是就有，即，整理可得：，即有，可得所求函数.故选C解题回顾：该题的解法1和解法2都是围绕函数图像的变换，从函数定义的角度来考虑的，其中对函数定义的理解要求较高，学生容易出错，而解法3恰巧避开了这一点。例3: OP上且满足|OQ|OP|=|OR|2。当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 解法1：（设参、消参求轨迹）设，其中x,y不同时为零，则动

8、点Q属于集合：（1）当射线OP不在y轴上时，解(1)、(2)得解（3）、（4）得（2）当射线OP在y轴上时，经检验(5),(6),(7),(8)都成立.将(5)、(6),(7),(8)及Q点的坐标代入|OQ|OP|=|OR|2得到：，因x与同号或y与同号，以及（7）、（8）知经化简，得，经检验，坐标适合方程的点属于集合M，故这个方程为所求Q点的轨迹方程。点Q的轨迹是以(1,1)为中心，长短半轴分别为和，且长轴与x 轴平行的椭圆，去掉坐标原点。解题回顾：条件|OQ|OP|=|OR|2如何使用是解决本题的关键，此处的解法是利用OP的斜率k为参数沟通点Q的坐标关系的，本题的解法不仅用到了一些重要数学

9、思想，而且也用到了设参、消参、配方等多种数学方法。 解法2：（转移代入法）设，又点在椭圆上，同理：，又因为P在l上，由（1）（2）得：，所以所求的轨迹方程为：，所以点Q的轨迹是以O1(1,1)为中心，长短半轴分别为和，且长轴与x 轴平行的椭圆，去掉坐标原点。解题回顾：此种方法是常用的“转移代入法”，即将转移到上，由向量共线的充要条件，可将表示成，充分考虑到条件|OQ|OP|=|OR|2的应用，得到方程（1）后，可分析与另一比值的“整体消元”，进而得到轨迹方程。2 有关思想方法的归纳、总结和引申仔细分析以上几种不同类型的题目及其解法，我们不难发现，从知识的角度来看，它们各自本身有很大区别，分别涉

10、及函数、向量、求轨迹方程等知识，但从其中所渗透的数学思想、方法角度来看，我们又不难发现，在这众多不同中，在这些不同类型的例题的解法中都渗透着函数与方程的数学思想，都用到了代入消参的数学方法，如果在高三的数学复习中能尽可能多的站在这一高度，将会极大地减轻学生学习的负担，提高学习效率，使学生在分析问题、解决问题的时候将会有高屋建瓴的感觉。同时也适应了高考对新教材的要求，即：重视对学生数学思想方法的考察。另外，如果我们能在归纳总结的基础上，在更好的运用这些思想和方法，将数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在这一般原理的指导下，重新认识、理解我们的数学知识，将会更有利于学生对所学知识的理解和掌握

11、。其实，当我们在归纳总结出以上数学思想和方法之后，完全可以重新认识、理解三角函数的图像和函数的图像之间的变换关系这一初学中的难点和重点知识。1：函数的图像到函数的图像的变换。我们知道函数将y=sinx的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图像，若我们从函数与方程的角度来看待这个问题，运用带入消元的方法，可以过以下方法来理解这一变换。设点为函数图像上任一点， 点B(x,y)在函数图像上与对应的点，于是就有，将两式作比较，运用整体思想可得，即由以上公式清楚地看出两个函数图像上对应点的坐标的变换关系。同样的方法可以理解下列函数图像变换过程中对应点之间的变换关系。2：函数的图像到函数的图像的变换。设点为函数图像上任一点， 点B(x,y)函数图像上与对应的点，于是就有，将两式作比较，运用整体思想可得，即。3：函数的图像到函数的图像的变换。设点为函数图像上任一点， 点B(x,y)函数图像上与对应的点，于是就有，将两式作比较，运用整体思想可得，即。4：函数的图像到函数的图像的变换。设点为函数图像上任一点， 点B(x,y)函数图像上与对应的点，于是就有，将两式作比较，运用整体思想可得，即。5：函数的图像到函数的图像的变换。设点为函数图