四维波矢变换的物理意义与横向多普勒效应

1、四维波矢变换的物理意义与横向多普勒效应黄兴滨黑龙江大学 物理科学与技术学院，哈尔滨 150080摘 要：利用四维波矢变换可以严格推导狭义相对论多普勒效应的计算公式。本文讨论了四维波矢变换的物理意义并给出了变换前后光波的关系。结果表明常见教科书和文献中关于横向多普勒效应的定义和计算公式是不正确的。其错误的原因是：低速近似下的洛伦兹变换不能严格等价为伽利略变换；因此低速近似下的相对论多普勒效应公式不能等价为经典理论中的接收器相对以太静止，光源相对以太运动的多普勒效应公式。结论是波矢变换给出的横向多普勒频移应该为蓝移而非常说的红移。关键词：横向多普勒频移 四维波矢变换 狭义相对论 红移 蓝移中图分类

2、号：O412.11. 引言多普勒效应是指，当接收器和波源之间发生相对运动时，接收器感受到的频率与波源发出的固有频率不相等的情况。频率差也称为多普勒频移。通过多普勒效应可以知道接收器和波源之间的运动情况，所以多普勒效应在诸多领域有着广泛的应用。也许最著名的应用是星系的退行红移光谱证明了宇宙正在膨胀。声波、光波都会产生多普勒效应，其产生的原因是接收器与波源间有相对移动，因而会造成接收器在单位时间内接收到的振动次数与波源产生的次数相比会有增加（光学称之为蓝移）或减小（红移）的现象。一般称上述为纵向或经典多普勒效应。按照狭义相对论原理也可以研究多普勒效应，结论是在经典效应的基础上先把光源运动等价为接收

3、器的运动，然后增加了由时间延缓造成的相对论修正因子。该修正项与相对运动方向和光波传播方向的夹角无关，因而预言了光波中存在横向多普勒效应。那意思是说在经典理论看来，接收器和光源之间虽然发生了相对运动，但接收器在光波的传播方向上没有相对移动，只有垂直移动。因而不会造成接收器单位时间内接收到的振动次数与光源发出的次数之间的差异，因此无纵向效应。按照相对论，由于运动造成了时间延缓效应，接收器的单位时间已经不等于光源的单位时间，因此产生了接收器感受到的频率与光源发出的频率不等的情况横向多普勒效应。因此横向多普勒效应是与狭义相对论密切相关的，也是验证狭义相对论的四个重要的实验之一。但现有教科书和文献1-6

4、对横向多普勒效应的定义和计算公式大多是通过四维波矢变换推导出的。其给出的横向多普勒效应的定义和计算公式是不正确的。其错误的原因是：低速近似下的洛伦兹变换不能严格等价为伽利略变换；因此低速近似下的相对论多普勒效应公式不能等价为经典理论中的接收器相对以太静止，光源相对以太运动的多普勒效应公式。本文详细讨论了波矢变换的物理意义，进而分析了横向多普勒频移的计算公式。结果表明由波矢变换给出的横向多普勒频移是蓝移而非常说的红移。2. 四维波矢变换下的横向多普勒效应下面具体分析横向多普勒频移的计算公式。在常见的文献和教科书中对横向多普勒频移严格的推导都是利用洛伦兹变换下的相位不变量，给出两个参考系中的频率与

5、方向的普遍关系，最后由波矢量与光源运动方向相垂直来定义横向多普勒效应。如文献1有关横向多普勒效应的描述如下： “设波矢量k与x轴方向的夹角为，k'与x轴方向的夹角为'解出 （1） （2）若带撇的为光源静止参考系，则'=0，0为静止光源的角频率。得出运动光源辐射的角频率 （3）其中v为光源的运动速度，为上的观察者看到辐射方向与光源运动方向的夹角。当v<<c, 1,(3)式变为运动光源的经典多普勒效应公式 (4)在垂直光源运动方向上观察辐射时，经典公式给出=0而相对论公式给出 （=900红移） （5）即在垂直光源运动方向上，观察到的辐射频率小于静止光源的辐射频率

6、。这现象称为横向多普勒效应。” 这里的论述似乎是完善的。但这里犯了一个原则性的错误。那就是运动光源的经典多普勒效应公式(4)是错误的,因此经典公式给出=0是个错误的结论。因为经典理论中当给定'为光源静止坐标系内光波传播的角度,则要使用'来计算经典多普勒效应。而文献1中所谓的运动光源的经典多普勒效应公式(4)是需要从已知角度'出发通过相对论公式(2)计算出观察角度后再计算经典多普勒效应。所以(4)式是一个半经典半相对论的公式。因为光源的波矢角度是已知的首选角度，所以要使用'才能计算真正的经典多普勒效应。当把式(2)代入式(3)后容易计算出：，当v<<c

7、, 1,(3)式近似为：。这才是在书中的条件下所能近似出的正确的经典多普勒效应公式。这显然是光源相对以太静止且都在带撇的参照系内，接收器相对以太运动的经典公式，而不是所谓的接收器相对以太静止，光源相对以太运动的经典公式。这说明相对论的低速近似是不可能把相对论多普勒公式近似为运动光源的经典多普勒公式的，只能近似为接收器运动的经典多普勒公式。其产生的原因是：在低速近似下，洛伦兹变换不能严格等价为伽利略变换。洛伦兹的时间变换：，在v<<c, 1时变为：。因为可以任意取值，所以，这不满足伽利略变换。相对论多普勒公式和经典多普勒公式不仅差个因子，还要差有无介质以太，以太静止在那个参照系内，以

8、及光速是可变的。在近似中只是默认地解决以太静止在那个参照系内。而这种默认的结果并没有把光源和以太分开，还是静止在同一个参照系内。所以不可能通过v<<c, 1,把相对论公式等价为：接收器相对以太静止，光源运动的经典多普勒效应公式。3. 四维波矢变换的物理意义 在四维波矢变换中，变换前后出现两个不同方向的波矢，应该选择哪个波矢与运动方向垂直才会消除纵向多普勒效应呢。为此通过分析波矢变换的物理意义来找出选择的原则。 由式(1)和式(2), 我们得到新的多普勒效应公式： 式中 、 （6） 按照文献1的假定，波矢k表示的是在不带撇参考系中的一个平面波，其传播方向和振动频率都是在和此参考系相对

9、静止的条件下观察或测量的值。当带撇的参考系 ' 以速度v沿x的正方向，相对不带撇的参考系做匀速直线运动时。在带撇的参考系内静止接收器测量光波k的结果是由波矢变换后k ' 给出的，如图1所示。可以理解为对某一光波的两次相对论测量，分别静止发生在做相对运动的两个惯性系中。但两次测量的结果频率和传播方向都是不同的。但它们的关系由式(1)和(6)给出。图1某一平面光波在两个参考系中测量出的k和k的关系。当假定k是固有 光波时，则等价为接收器。k 可以理解为测量结果，或是一个虚拟的光波。 问题是要研究多普勒效应就必须解决两次测量的频率哪一个是光波的固有频率？哪一个是表观频率呢？这要看固有

10、频率如何定义，固有频率应该是观察者与光源相对静止时测量的频率。在不给出光源静止在那个参考系时，则无法知道上述的两次测量光波那个是固有的，那个是表观的。也许两个都是表观频率。 但这并不妨碍我们分析问题，我们可以随意假定其中的一个为固有光波。如果我们把图1中不带撇的光波频率设为固有频率(即光源静止于其中)，那么接收器一定在'上，并以速度v，和光波的传播方向k成角对光波进行运动测量。在运动的接收器中测量的结果是'中的光波k'。即光波k'是表观的。观察者频率由公式(1)计算。其频移取决于经典频移加相对论修正。在不考虑相对论的情况下，根据伽利略相对性的波矢变换7。经典多普

11、勒频移的大小随角的变化关系由式(7)给出 (7)由式(7)计算图1所示的经典多普勒频移时要注意：接收器在'上，光源和以太都静止在不带撇的参照系内。所以为光源的固有频率，'为观察者频率。和式(1)比较可见相对论修正是经典公式乘上因子的蓝移修正。这时为首选的决定纵向多普勒效应大小的已知角度。当=00时，存在接收器远离光源的经典多普勒频移，频移量最大，频移方向为红移。当<900时，频移方向仍为红移，但频移量随增大而减小。当=900时，频移量为零；按照经典理论，尽管接收器和光源之间有相对运动，但无多普勒频移。若增加相对论修正则通过式(1)可知为蓝移修正。当>900时，存在接

12、收器靠近光源的经典多普勒效应，频移方向为蓝移，频移量随增大而增大。当=1800时，存在接收器靠近光源的纵向多普勒效应，这时的蓝移量最大。因为波矢变换是可逆的，反之也可以假定光波k'是固有的，如图2所示的情形。图2 当假定k是固有光波时，则等价为接收器。k可以理解为测量结果，是一个不存在的虚拟光波。是否存在经典理论的纵向多普勒频移由决定。现在接收器一定静止在不带撇的参考系上，并以速度v沿x'的负方向，且和光波的传播方向k'成-'的角度进行运动测量。运动接收器测量的结果是图2中的光波k。即光波k是表观的。这时产生的相对论多普勒效应要由公式(6)计算。其频移取决于速度

13、v及光波k'的传播方向与相对速度方向的夹角'。当然也可以用(1)式计算，因为相对论情况下式(1)和式(6)是等价的。但在近似计算经典频移中二者不可以混用，必须通过式(6)的近似才可获得经典频移公式。因为经典公式中两个变换光波的角度是相等的，而相对论的两个角度则不相等，被测量光波或光源在静止参照系内发光的角度才是首选的已知角度。同样经典频移的计算公式可由伽利略相对性的波矢变换给出。当光源和以太都静止在带撇的参照系内，接收器在不带撇的参照系内运动测量时经典多普勒公式为 (8)由式(8)计算经典多普勒频移时要注意：接收器在上，所以'为光源的固有频率，为观察者频率。光源和以太都

14、静止在带撇的参照系内。当'=00时，存在光源靠近接收器的最大纵向多普勒蓝移。当'<900时，存在光源靠近接收器的纵向多普勒蓝移，频移量随'增大而减小。当'=900时，蓝移消失。若增加相对论修正则通过式(6)也是蓝移修正。当'>900时，存在光源远离接收器的纵向多普勒红移，红移量随'增大而增大。当'=1800时，存在光源远离接收器的纵向多普勒红移，红移量最大。也许这才是波矢变换的真正物理含义。换言之，两个光波可以互为源光波，也可以互为运动测量的结果。是可逆的，但重要的区别是决定经典多普勒效应的角度是不能互换的。把伽利略相对性的波

15、矢变换给出计算经典多普勒频移的公式(7)和(8)与相对论的多普勒频移公式(1)和(6)相比较可以看出：在相对论四维波矢变换的方法中，已经把光源运动的情况等价为接收器的反向运动。而不考虑以太的影响。4. 横向多普勒效应按照波矢变换的物理意义再来分析文献1中的横向多普勒效应。文中令'=0，0为静止光源的角频率。这时k是被测量的光波，按照经典多普勒频移的理论：其纵向多普勒效应的大小、有无完全由k的方向和接收器与光源的相对运动方向的夹角'来决定。经典理论中='，可以互换。注意相对论时两个角度不等，计算经典频移时不能互换。根据波矢变换的意义：接收器只能在不带撇的参考系上沿x的负方

16、向运动测量。如图3所示。图3 文献1中定义的横向多普勒效应。按照给定 的条件，从经典理论可知，包含了纵向多普勒频移。其中要求= 900，这时通过式(2)解得 cos'= v/c。等价于接收器以速度v沿x'的负方向，并与光波的传播方向k成=-'的角度进行运动测量。测量结果是由(5)式给出的红移。问题是如此垂直测量并不满足没有经典多普勒频移的条件。按其给定的条件，光波的传播方向为k'显然和接收器(在上)的运动方向 x' 轴的负方向不垂直，接收器在光波的传播方向k'上有位移。因此一定有经典多普勒频移，或者说有纵向频移。文献1中所言：“经典公式给出=0”

17、是不对的。因为书中的经典公式是从(1)式近似得出的，应该由式(6)近似得出。其近似的结果不是真正意义上的经典公式。在=900的相对论条件下，必须通过相对论公式(2)计算出光源真正的已知发光角度'后，按照经典理论在光源运动等价为接收器运动时，由式(8)计算观察者的频率 0而是 (9) 在考虑以太和接收器静止在不带撇的参照系内，光源在带撇的参照系内运动的经典多普勒效应时，由式(7)容易获得其计算公式为 (10) 看起来式(10)第一个等式与文献1近似结论(4)形式一致，但区别是(10)式所使用的角度是'=，可以直接互换使用。而式(4)使用了相对论解出的角度，这在经典理论中是不存在这

18、个角度的。 尽管文献1中强调在不带撇的参考系中观察光波k'的传播方向是k并和光源的运动方向是垂直的，但这种垂直在经典理论看来是没有任何意义的。因为这里的光波k是相对论测量固有光波k'的结果，可以理解是一个虚拟的光波。而按照经典理论，已知光源在其静止参照系发光是什么角度，在接收器参照系内观察也将是同样的角度，是无法看到：当k'的传播方向和光源的运动方向不垂直时，而k是垂直的结论。当= 900时也存在横向多普勒频移。但这时必须是首选的已知角度。换言之，要假定光源静止在不带撇的参考系内，即=0 为光源的固有频率时才没有经典理论下的纵向频移。图4给出了= 900时的横向多普勒效

19、应，结果仍然为频率增加的蓝移而非红移。 图4 若文献1中定义的横向多普勒效应成立， 则光波k一定是被测量的光波。接收器在'上。5. 结论低速近似下的洛伦兹变换不能严格等价为伽利略变换。其中的时间变换是不一致的，即。就是忽略这个结论，也无法把相对论多普勒效应公式推导中取消的光波传播的介质再重新按照经典理论的思想补充到与接收器相对静止的情况。因此低速近似下的多普勒效应公式是不会严格等价为经典多普勒效应的接收器相对以太静止光源运动的公式。只能默认等价到光源相对以太静止接收器运动的经典多普勒公式。所以使用低速近似下的经典多普勒效应公式来定义横向多普勒效应出现的条件是要谨慎的。必须保证经典效应绝

20、对消失后才是横向多普勒出现的条件。现有的教科书和文献中就出现了错误的定义和计算公式。就是在给出错误经典公式的情况下得出经典效应消失的错误条件，实际上按照经典理论这时是存在纵向多普勒频移的。所以用四维波矢的洛伦兹变换研究横向多普勒效应时要准确选择垂直的角度才能获得真正的横向多普勒效应。必须选择光源静止参照系内观察到的波矢方向与相对运动方向相互垂直时才能获得横向多普勒效应。由此得到的横向多普勒频移为蓝移。Ives-Stilwell所谓的实验验证也不是真正的横向多普勒效应。横向多普勒效应为蓝移的结论说明了在洛伦兹变换和相位不变的条件下，在接收器静止参照系内观测运动源参照系内光源的固有周期时，观测到的

21、周期要较固有周期小。所以才会产生蓝移现象。因此深入探讨横向多普勒的频移问题对深入理解狭义相对论是有着深远的意义。参考文献：2002, 263-2652006, 25(7):1-31979, 530-5331999, 228-2305 C.Kittel1979,4676 P.Lorrain1980,1477 J.D1981, 46-64Studying the transverse Doppler effect by the physical meaning of the four-wave vector transformation Huang Xing-BinCollege of Physics Science and Technology, Heilongjiang University,