第六章弯曲变形

1、Deformations in Bending 62 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程64 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角65 梁的刚度校核梁的刚度校核 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施63 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6 6 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：研究目的：对梁作刚度校核；对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）解超静定梁（变形几何

2、条件提供补充方程）。叠板弹簧应有较大的变形叠板弹簧应有较大的变形,才可以更好地起缓冲才可以更好地起缓冲减振作用减振作用.工程中弯曲变形的利用工程中弯曲变形的利用叠板弹簧叠板弹簧1.1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。表示。 与与 y y同向为正，反之为负。同向为正，反之为负。2.2.转角：横截面绕其中性轴转转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用动的角度。用 表示，逆时表示，逆时针转动为正，针转动为正，反之为负。反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。

3、其方程为：其方程为： v =f (x)三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量 xddtan P挠曲线挠曲线小变形小变形挠曲线必须是挠曲线必须是光滑光滑和和连续连续的，任意截面都的，任意截面都有有唯一的唯一的挠度和转角挠度和转角 注意注意:一、曲率与弯矩的关系：一、曲率与弯矩的关系：EIMr1二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式) ) 232)(1)x(1 r r r r)x(1（2）三、挠曲线与弯矩的关系三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得 EIM)x()x(M EI（1）zEI

4、xMx)()(1r, 1 6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分这就是挠曲线近似微分方程。这就是挠曲线近似微分方程。)x(M)x(EI 1Cdx)x(M)x(EI21CxCdx)dx)x(M()x(EI 6-36-3 积分法计算梁的变形积分法计算梁的变形步骤步骤：（EI为常量）1 1、根据荷载分段列出弯矩方程、根据荷载分段列出弯矩方程 M M（x x）。）。2 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。P

5、ABCPD边界条件：边界条件：0A0B0D0D光滑光滑连续条件连续条件：CC右左或写成CCCC右左或写成CC（1 1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2 2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3 3）、在弯矩方程分段处：）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。4 4、确定挠曲线方程和转角方程、确定挠曲线方程和转角方程 。5 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大

6、值、转角的最大值。例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程)xL(P)x(M 写出写出微分方程的积分并积分微分方程的积分并积分应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数)xL(P)x(MEI 12C)xL(P21EI 213CxC)xL(P61EI 0CPL61)0(EI23 0CPL21)0(EI)0(EI12 3221PL61C ; PL21C 解：解：PL写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线 323LxL3)xL(EI6P)x( EI3PL)L

7、(3max EI2PL)L(2max 最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角PL( )( )( )( )( )( )( )解：解：建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程 )Lxa( 0)ax0( )ax(P)x(M写出写出微分方程的积分并积分微分方程的积分并积分 112DC)ax(P21EI 21213DxDCxC)ax(P61EI )Lxa( 0)ax0( )ax(PEIPLa例例2 2 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数0CPa61)0(EI23 0CPa21)0(

8、EI12 322211Pa61DC ; Pa21DC )a()a( )a()a( 11DC 2121DaDCaC PLa写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线 )Lx(a axa3EI6P)ax0( axa3)ax(EI6P)x( f32323 aL3EI6Pa)L(2max EI2Pa)a(2max 最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角PLa( )( )( )( )6-3 6-3 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和等于

9、每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)P()P()P()PPP(nn2211n21 )P()P()P()PPP(nn2211n21 例例3 3 按叠加原理求按叠加原理求A点转角和点转角和C点点挠度。挠度。解、解、载荷分解如图载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。EI6Paf3PC EI4Pa2PA EI24qL5f4qC EI3qa3qA qqPP=+AAABBB CaaqqPP=+AAABBB Caa叠加叠加qAPAA )qa4P3(EI12a2 EI6PaEI24qa5f34C ( )( )( )解、解、载荷分解如图载

10、荷分解如图例例4 按叠加原理求按叠加原理求B点挠度点挠度和转角。和转角。由梁的简单载荷变形表由梁的简单载荷变形表, 查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。叠加叠加( )( )( )PabABC例例5 按叠加原理求按叠加原理求C截面挠度和转角。截面挠度和转角。PABCBByCy3232232322BBCBBCBPayEIPaEIPaPa byybEIEIPaEI( )( )( )二、变形二、变形叠加叠加：例例6 按叠加原理求按叠加原理求C点挠度和转角。点挠度和转角。三、逐段刚化法原理说明三、逐段刚化法原理说明=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价21ffffPL1L2ABC刚化刚化

11、AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCM刚化刚化BC 刚化刚化AB 例例7按叠加原理求按叠加原理求C截面挠度。截面挠度。(1) 刚化刚化BC ( )( )( )(2) 刚化刚化AB(3)(3)叠加叠加( )( )( )( )=+A AB BL La aC Cq qqaqaA AB BL L C CM=qa/2（b）例例8：求图示梁求图示梁B B截面的挠度（截面的挠度（EI EI 已知）已知）。解解：1) 结构结构分解如图分解如图2) 2) 查梁的简单载荷变形表查梁的简单载荷变形表B B C Cq q（a）EI6LqaaEI3L)qa21(ay;EI8qay32CbBb4Ba

12、( )( )( )( )=+A AB BL La aC Cq qqaqaA AB BL L C CM=qa/2（b）3) 叠加叠加B B C Cq q（a）EI24)L4a3(qaEI6LqaEI8qayyy334BbBaB ( )( ) 注意下列两种情况如何计算C截面的挠度和转角 （1） （2）PAabBC.CPAabB.M=PbAabBCP求yCAabCB.PM=Pb求yC（错误）（错误）6-5 6-5 梁的刚度校核梁的刚度校核)100012501( :( max LfLfLf对土建工程 max一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中其中 称为许用转角；称为许用转角； f/ /L 称为许用挠跨

13、比。通常称为许用挠跨比。通常依此条件依此条件进行如下三种刚度计算：进行如下三种刚度计算：、校核刚度：校核刚度：、设计截面尺寸；设计截面尺寸； LfLfmax max( (但：对于土建工程，强度常处于主要地位，但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）刚度常处于从属地位。特殊构件例外）、设计载荷。设计载荷。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例8 下图为一空心圆杆，内外径分别为：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的杆的E=210GPa，工程规定，工程规定C点的点的 f/L=0.00001, ,B点的点的

14、 =0.001弧度弧度, ,试试核此杆的刚度。核此杆的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3EI16aLPaf21B1C1 EI16LP21B1 EI3LaPEI3ML2B3 EI3LaPaf22B3C3 解：解：结构变换，查表求简单结构变换，查表求简单 载荷变形。载荷变形。0B2 EI3aPf32C2 PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200m

15、mDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMEI3LaPEI3aPEI16aLPf223221C EI3LaPEI16LP221B 叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )dD(64I 001.010423.04max LfLfmax m10m1019.556max ff校核刚度校核刚度m1019. 5EI3LaPEI3aPEI16aLPf6223221C ( )( )(10423. 0)320016400(18802104 . 0EI3LaPEI16LP4221B弧弧度度 ( )6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EI选择梁的合理截面选择梁的合理截面一般的合理截面一般的合理截面 3231DWz 13221.18 6)(6zzWRbhW )2/( ;,41221 DRaaD 时时当当在面积相等的情况下，选择惯性矩大的截面在面积相等的情况下，选择惯性矩大的截面z