高三数学一轮复习讲义平面向量的基本定理及坐标表示(人教A)

1、 平面向量的基本定理及坐标表示自主梳理1平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1，2，使a_.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_.1不共线有且只有1e12e2基底2夹角（1）已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的_(2)向量夹角的范围是_，a与b同向时，夹角_；a与b反向时，夹角_.(3)如果向量a与b的夹角是_，我们说a与b垂直，记作_2.(1)夹角(2)0，0(3)ab3平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解3.互相垂直4平面向量的坐标表示：在平面

2、直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，我们把有序数对_叫做向量a的_，记作a_，其中x叫a在_上的坐标，y叫a在_上的坐标4.(x，y)坐标(x，y)x轴y轴设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是_的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为_，反之亦成立.(O是坐标原点)终点A(x，y)注意：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.5平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，

3、那么ab_，ab_，a_.|a|_.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1) （2）向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.已知A（），B（），则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_的坐标减去_的坐标|_. (2)终点始点 6若a(x1，y1)，b(x2，y2) (b0)，则ab的充要条件是_x1y2x2y10注意：.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.同时，ab的充要条件也不能错记为x1x2y1y20，

4、x1y1x2y20等.7(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为_(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则P1P2P3的重心P的坐标为_7.(1) (2)点评：1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.2.向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)

5、.当平面向量平行移动到时，向量不变即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.基础检测1.设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b_.(7,3)2.在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_.(3，5)3.已知向量a(1,2)，b(3,2)，若kab与b平行，则k_.04.在平面坐标系内，已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0).给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；2.其中正确结论的个数是 (C)A.1 B.2 C.3 D.45.若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c等于 (B)A.3ab B.3ab C.a

6、3b D.a3b6若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的 ()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件A由x4知|a|5；由|a|5，得x4或x4.故“x4”是“|a|5”的充分而不必要条件7设a，b，且ab，则锐角为 ()A30°B45°C60°D75°Bab，×sin cos 0，sin 21,290°，45°.8.已知向量a=(6，-4)，b（0，2），cab，若C点在函数ysin x的图象上，则实数等于 ()A. B. C DAcab(6，42)，代入ysin x得，42s

7、in 1，解得.9已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，则m_.解析ab(1，m1)，由(ab)c，得1×2(m1)×(1)0，所以m1.10.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若xy，其中x，yR，则xy的最大值是_. 解析建立如图所示的坐标系， 则A(1,0)，B(cos 120°，sin 120°)，即B(，)设,则 (cos ，sin )xy(x,0)(cos ，sin )xysin cos 2sin(30°)0°120°，

8、30°30°150°.xy有最大值2，当60°时取最大值探究点一平面向量基本定理的应用例1如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.解方法一设a，b，则ad，bc.将代入得adadc(2dc)，代入得bc×(2dc)(2cd).(2dc)，(2cd).方法二设a，b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以b，a，因而，即(2dc)，(2cd).变式训练1 （1）如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且|1，|2，若(、R)，则的值为_解析 如右图，

9、在OCD中，COD30°，OCDCOB90°，可求|4，同理可求|2，4，2，6.（2）在ABC中，DEBC，与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，如图，设a，b，试用a和b表示.解，DEBC，M为BC中点，(ba).探究点二平面向量的坐标运算例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2) 求M、N的坐标及向量的坐标.解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2) 设O为坐标原点，3c，3c(3,24)

10、(3，4)(0,20).M(0,20).又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2).(9，18).变式训练2 （1） 已知点A（1，-2），若向量|与a(2,3)同向，|2，则点B的坐标为_解析向量与a同向，设(2t,3t) (t>0)由|2，4t29t24×13.t24.t>0，t2.(4,6)设B为(x，y)，(5,4)（2）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标.解如图所示，设A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)， D(x，y).(1)若四边形ABCD1为平行四边形，则，而(x1，y)，(2，5)

11、.由，得D1(3，5).(2)若四边形ACD2B为平行四边形，则2.而(4,0)，2(x1，y5).D2(5，5).(3)若四边形ACBD3为平行四边形，则3.而3(x1，y)，(2,5)，D3(1,5).综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1,5).探究点三在向量平行下求参数问题例3已知平面内三个向量：a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m、n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k.(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解(1)ambnc，m，nR，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)解之得(2)(ak

12、c)(2ba)，且akc(34k,2k)，2ba(5,2)，(34k)×2(5)×(2k)0，k.(3)设d(x，y)，dc(x4，y1)， ab(2,4)，由题意得，解得或，d(3，1)或d(5,3).变式训练3（1）已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_.解析ac(3,1)(k,7)(3k，6)，且(ac)b，k5.（2）已知a(1,0)，b(2,1).求|a3b|；当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？解 因为a(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，|a3b|. kab(k2，1)，a3b(7,3)，因

13、为kab与a3b平行，所以3(k2)70，即k.此时kab(k2，1)，a3b(7,3)，则a3b3(kab)，即此时向量a3b与kab方向相反.（3）已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4，5)，t1t2，求点P在第二象限的充要条件.证明：当t11时，不论t2为何实数，A，B，P三点共线；试求当t1，t2满足什么条件时，O，A，B，P能组成一个平行四边形.解t1(1,2)t2(3,3)(t13t2,2t13t2)，P在第二象限的充要条件是有解.t2<t1<3t2且t2<0. 证明当t11时，有t2，t2，不论t2为何实数，A，B，P三点共线.解由(t13t2,2t13t2

14、)，得点P(t13t2,2t13t2)，O，A，B，P能组成一个平行四边形有三种情况.当，有；当，有；当，有.点评：1在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点A的坐标都是(x，y)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A(1,2)，B

15、(3,4)，则(2,2) 一、选择题1.已知a,b是不共线的向量，若1ab，a2b， (1，2R)，则A、B、C三点共线的充要条件为 ()A121B121C1210D12101CA、B、C三点共线与共线k1210.2.若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2，2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为(D)A.(2,0) B.(0，2) C.(2,0) D.(0,2)3设两个向量a(2，2cos2)和b，其中、m、为实数若a2b，则的取值范围是 ()A6,1B4,8 C(，1D1,63

16、A2b(2m，m2sin )，22m，2cos2m2sin ，(2m2)2mcos22sin ，即4m29m41sin22sin .又21sin22sin 2，24m29m42，解得m2，4.又2m2， 2，621.4.设02时，已知两个向量(cos ，sin )，(2sin ，2cos )，则向量长度的最大值是 ()A. B.C3D25.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则等于()A(2，4)B(3，5) C(3,5)D(2,4)二、填空题6.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_

17、62解析方法一若M与B重合，N与C重合，则mn2.方法二 2mn，.O、M、N共线，1. mn2.7在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知A(2,0)，B(6,8)，C(8，6)，则D点的坐标为_(0，2)解析设D点的坐标为(x，y)，由题意知，即(2，2)(x2，y)，所以x0，y2，D(0，2)8.在四边形ABCD中，(1,1)，···，则四边形ABCD的面积为_S|sin 60°××.三、解答题9.（12分）已知A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且，.求证：.9证明

18、设E、F两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则依题意，得(2,2)，(2,3)，(4，1)，.(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1).(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1).(x2，y2)(x1，y1).又(4，1)，4×(1)×0，.10在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知向量m(a，b)，向量n(cos A，cos B)，向量p(2sin，2sin A)，若mn，p29，求证：ABC为等边三角形证明mn，acos Bbcos A.由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos A，即sin(AB)0.A、B为三角形

19、的内角，<AB<.AB. p29，8sin24sin2A9.41cos(BC)4(1cos2A)9.4cos2A4cos A10，解得cos A.又0<A<，A.ABC为等边三角形11.如图，在边长为1的正ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若m，n，m，n(0,1)设EF的中点为M，BC的中点为N.(1)若A，M，N三点共线，求证：mn；（2）若m+n=1,求的最小值11解（1）由A，M，N三点共线，得，设(R)，即()()，所以mn()，所以mn.（）因为()() (1m) (1n)，又mn1，所以 (1m) m，所以|2(1m)22m22(1m)m·

20、;(1m)2m2(1m)m(m)2.故当m时，|min.一、选择题1.与向量a(12,5)平行的单位向量为(C)A. B. C.或 D.2.在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于(B)A.(2,7) B.(6,21) C.(2，7) D.(6，21)3.已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则等于(C)A.2 B.2 C. D.4若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180°，且|b|3，则b等于(A)A.(3,6) B.(3，6) C.(6，3) D.(6,3)5.设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2).若

21、表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(D)A.(2,6) B.(2,6) C.(2，6) D.(2，6)二、填空题6.若平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于y轴，a(2，1)，则b_.(2,0)或(2,2)_.7.ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角C_60°_.8.已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且2，则实数a_2_.9.已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_.10.设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_8_.三、解答题11.a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数使kab(a3b)，由(k3,2k2)(10，4)得，解得k，当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b).<0，kab与a3b反向.12.如图所示，P是A