高三数学第一轮复习专题第6讲-导数、定积分

1、2013年高考数学第一轮复习单元 第6讲 导数、定积分一【课标要求】1导数及其应用（1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义（2）导数的运算 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数； 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的导数； 会使用导数公式表（3）导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性

2、与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用（5）定积分与微积分基本定理 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度

3、与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义二【命题走向】导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2013年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题

4、；（2）2013年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，预测2013年高考呈现以下几个特点：（1）新课标第1年考察，难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型三【要点精讲】1导数的概念函数y=f(x),如果自

5、变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。 如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。2导数的几何意义 函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3常见函数的导出公式（）（C为常数）（）（）（）4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等

6、于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。5导数的应用1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3）一般地，在区间a，b上连续的函

7、数f在a，b上必有最大值与最小值。求函数在(a，b)内的极值； 求函数在区间端点的值(a)、(b)； 将函数 的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值6定积分（1）概念设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0<x1<<xi1<xi<xnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函

8、数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式基本的积分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）（2）定积分的性质（k为常数）；（其中acb。四【典例解析】题型1：导数的概念例1已知s=，（1）计算t从3秒到3.1秒内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度解：（1）指时间改变量；指时间改变量 。（2）从（1）可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限，V=（6+=3g=29.4(米/秒)。例2求函数y=的导数。解析：，=-。点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义

9、奠定基础。题型2：导数的基本运算例3（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数； （4）求y=的导数； （5）求y的导数解析：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简. （4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量例4写出由下列函数复合而成的函数： （1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx解：（1）y=

10、cos(1+)；（2）y=ln(lnx)。点评：通过对y=（3x-2展开求导及按复合关系求导，直观的得到=.给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。题型3：导数的几何意义例5（1）函数的单调递增区间是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 答案 D解析 ,令,解得,故选D（2）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )A. B. C. D. 答案 A解 由得几何，即，切线方程，即选A例6若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 ( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D解析 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜

11、率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.题型4：借助导数处理单调性、极值和最值例7（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）³0，则必有（ ）Af（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）£2f（1）Cf（0）f（2）³2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个（3）已知函数,其中 （1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解: (1)由已知得,令,得,要取得极值

12、,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为. 所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时

13、最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 例8（1）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得（2）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为A. B. 1 C. 2 D. 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积：，故选A.题型5：导数综合题例9、已知二次函数，若不等式的解集为C.（1）求集合C；（2）若方程在C上有解，求实数的取值范围；解（1） 当时， 当时， 所以集合 （2） ，令则方程为 当时， 在上有解，则 当时， 在上有解，则 所以，当或时，方程在C上有解，且有唯一解。例10、已知函数上为增函数. 求k的取值范围；解：（1）由题意因为上为增函数 ,所以上恒成立，即 所以当k=1时，恒大于0， 故上单增，符合题意.所以k的取值范围为k1.题型7：定积分例13计算下列定积分的值（1）；（2）；（3）；（4）；解析：（1）（2）因为，所以；（3）（4）例14（1）一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方