《常微分方程》模拟考试试卷一

1、常微分方程模拟考试试卷一一 单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有(    )个.        (1)      (2)        (3)           (4)         

2、;      A. 1         B. 2         C. 3          D. 42. 为确定一个一般的n阶微分方程 =0的一个特解, 通常应给出的初始条件是(          

3、 ).        A. 当 时,        B. 当 时,        C. 当 时,        D. 当 时, 3. 微分方程 的一个解是(      ).        A.     

4、0;      B.        C.           D. 4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是(         ).    A.      B.       C. &

5、#160;   D. 5. 若方程 是恰当方程, 则 （          ）.        A.            B.          C.        &

6、#160;   D. 6. 若方程 有只与y有关的积分因子 , 则可取 为(  ). A.              B.  C.                 D. 7. 可用变换(        )将伯努利方程 化为线性方程

7、.        A.            B.         C.          D. 8. 是满足方程 和初始条件(         )的唯一解.   

8、60;   A.                  B.        C.    D. 9. 设 是n阶齐线性方程 的解,其中 是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是(         ). A.      若

9、 的伏朗斯基行列式为零, 则 线性无关 B.      若 的伏朗斯基行列式不为零, 则 线性相关C.      若 的伏朗斯基行列式不为零, 则 线性无关D.     由 的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定 的线性相关性10. 设线性无关的函数 和 是方程 的解,则方程的通解是(              )A. 

10、        ( 是任意常数, 下同) B.      C.      D.     11. 三阶系数齐线性方程 的特征根是(            ).        A. 0, 1, 1 

11、60;  B. 0, 1, -1    C. 1,   D. 1, 12. 方程 的基本解组是(            ).        A.     B.      C.        D.  13. 方程 的待定特解可取如下

12、(          )的形式: A.     B.     C.    D. 14. 已知 是某一三阶齐线性方程的解, 则 和的伏朗斯基行列式 (           ). A. 3       B. 2    

13、60;     C. 1       D. 015. 可将三阶方程 化为二阶方程的变换为(       ).        A.       B.         C.      D. 16. 方程组 满足初始

14、条件 的解为(         ).        A.        B.         C.      D. 17. n阶函数方阵 在 上连续, 方程组 有基解矩阵 ,如下叙述中, 正确的是(       

15、0;      ).A.      的每个列向量是该方程组的解向量且 在某一点 为零B.      的每个行向量是该方程组的解向量且 C.      的每个列向量是该方程组的解向量且 恒不为零 D.     的每个行向量是该方程组的解向量且 恒不为零18. 设A是n阶常数方阵, 是A的一个特征值,  则方程组有解为 ,其中 是( 

16、;            )A. 矩阵A的对应于 的特征向量     B. 任意向量 C. 矩阵A任意一个行向量       D. 矩阵A的任意一个列向量19. n阶函数方阵 在 上连续, 方程组 有两个基解矩阵 和 ,如下叙述中, 正确的是(           &#

17、160;  ).A.      存在非奇异的常数矩阵C, 使得 B.      存在非奇异的常数矩阵C, 使得 C.      存在非奇异的常数矩阵C, 使得 D.     存在非奇异的常数矩阵C, 使得 20. 设 和 都是由方程组 的n个解向量所组成的方阵, 其中 是在 上连续的函数方阵, 是连续的列向量, 则如下断言中正确的为(    

18、60; ). A.      必是方程组 的基解矩阵B.      仍是方程组 的解矩阵C.      是方程组 的解矩阵D.     也是方程组 的解矩阵. 二 简答题(每小题3分, 共15分)21. 写出把方程 化为变量分离方程的变换, 并将变换后的方程进行变量分离.22. 试写出二阶欧拉方程 的一个基本解组23. 写出初值问题 的第二次近似解.24. 函数 和 都是初值问题 的解. 试用解的唯一存在性

19、定理解释这个初值问题的解存在但不唯一的原因.25. 已知三阶方阵 的特征值为1, 1, 2, 对应的特征向量分别为 试写出方程组 的标准基解矩阵(既当t=0时为单位矩阵的基解矩阵) . 三 计算题(一) (每小题5分, 共15分)26. 解方程 . 27. 解方程 .  28. 求解方程 , 其中 .  四 计算题(二) (每小题6分, 共18分)29. 解方程 .   30. 求方程组 的一个基解矩阵, 其中 . 31. 求解方程 . 五 应用题 (6分)32. 求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)

20、的连线相互垂直. 六 证明题 (6分) 33. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程 的一个基本解组. 试证明: (i)    和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii)   和 没有共同的零点;(iii)  和 没有共同的零点.常微分方程模拟试题一 参考答案一 单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. C  2. A  3. D   4. D  5. C  6. A

21、60; 7. B  8. C  9. C   10. A    11. D  12. B  13. C  14.B  15. A  16. D  17. C  18. A  19. B  20. C二 简述题(每小题3分, 共15分)21.   , .22. .23. . 24.

22、 不满足利普希茨条件. 25.  .三 计算题(一) (每小题5分, 共15分)26. 解: 对应齐方程为 ,易得其通解为: (C为任意常数) . 利用常数变易法: 令 , 则 .代入原方程整理得 , 积分有 . 原方程的通解为 ,         (C是任意常数) 27. 解: 记 , . 则因 知原方程为恰当方程.         将原方程分项组合为       

23、                                          .         

24、60;                                    因而原方程的通解为(C是任意常数)              

25、                                   .                 &#

26、160;                               28. 解: 引入参数 , 则原方程变为 .                &#

27、160;                                在方程两边对x求导, 得到                 

28、;                                .                    

29、                                   若 , 可得 为解. 否之分离变量并积分可得到:             

30、60;                                    .               

31、                                              由此可得原方程的参数解(C是任意常数):   &

32、#160;                                                  

33、                                                  四 计算题

34、(二) (每小题6分, 共18分)29. 解: 令 , 则 . 原方程化为  . (对于 , 可得 也是原方程的解)分离变量后容易得解: . 利用 , 再次分离变量并积分, 整理可得原方程的通解( 是任意常数):                             .  30. 解: . 即A的

35、特征根为        所对应的特征向量可取为                                          

36、                                         所对应的特征向量可取为         则基解矩阵为

37、60;          . 31. 解: 特征方程为 , 特征根为 .        对应齐方程的通解为 .        设原方程的特解有形如        代如原方程可得               .        利用对应系数相等可得 , 故 .