高二数学上期末试题

1、精选优质文档-倾情为你奉上高二数学（上）期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1给出的四个命题，其中正确的是（）Ax0R，x+2x0+2=0BxN，x3c2C若x1，则x21D若ab，则a2b22命题p：若sinxsiny，则xy；命题q：x2+y22xy，下列命题为假命题的是（）Ap或qBp且qCqDp3已知a，b，c是空间一个基底，则下列向量可以与向量=+，=构成空间的另一个基底的是（）ABCD+24双曲线4x2y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于（）A17B16C15D135已

2、知向量=（2，x，1），=（4，2，x），若，则实数x的值为（）A2B2C8D86方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A0a1Ba1Ca1D0a1或a07过焦点在x轴上的椭圆+=1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，若AF1B的周长为20，则实数m的值为（）A5B25C10D1008若空间向量=（1，2，1），=（1，0，2），则下列向量可作为向量，所在平面的一个法向量的是（）A（4，1，2）B（4，1，2）C（4，1，2）D（4，1，2）9在直三棱柱ABCABC中，AB=AC=2，AA=3，ABAC，E为棱BC的中点，F为侧棱CC上一点，若CEAF

3、，则AF与平面ABBA所成的角的正切值为（）A3BCD10已知椭圆C1：（ab0）与双曲线 C2：x2有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的离心率为 （）Ae2=Be2=Ce2=De2=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11命题“x0R，x02x0+10”的否定是12方程（t2）x2+（3t）y2=（t2）（3t）（tR）表示双曲线的充要条件是13如图，点M是以F为焦点的抛物线x2=8y上一点，若MFy=60°，则|FM|=14给出下列四个命题：如果两个命题互为逆否命题，那么它们的真假性相同；命

4、题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题为真命题；已知点A（1，0），B（1，0），若|PA|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线的一支；对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=x+y+z，则x+y+z=1是四点P，A，B，C共面的充要条件其中所有正确的命题的序号为15如图，P是二面角AB棱AB上的一点，分别在，上引射线PM，PN，如果BPM=BPN=45°，MPN=60°，那么二面角AB的大小是三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式（）|x1|a的解集为，命题q：函数f

5、（x）=的定义域为R，若命题“pq”为真，“pq为假”，求a的取值范围17（12分）已知双曲线x2=1，过点P（1，1）能否做一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？若能，求出直线l的方程，若不能，说明理由18（12分）如图所示的四面体OABC中，OA=OB=OC=a，AOB=90°，BOC=AOC=60°，点M，N分别是AB，OC的中点，点S是MN上靠近点N的三等分点（1）试用，表示；（2）求异面直线CM和BN所成角的余弦值19（12分）已知顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线C过点（2，2）（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线C与过点P（0，1）的直线

6、l相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为2，求直线l的方程20（13分）如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD中，点E，F分别是棱BC，CD上的动点（1）当BE=CF时，求证：BFDE；（2）若点E为BC的中点，在棱CD上是否存在点F，使二面角CEFC的余弦值为？若存在，请确定点F的位置，若不存在，说明理由21（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点（0，）是椭圆与y轴的一个交点（1）求椭圆C的方程；（2）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于是第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点；若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的取值范围；当

7、点A，B在椭圆上运动，且满足APQ=BPQ时，直线AB的斜率是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1（2015秋烟台期末）给出的四个命题，其中正确的是（）Ax0R，x+2x0+2=0BxN，x3c2C若x1，则x21D若ab，则a2b2【分析】分别判断选项，即可得到答案【解答】解：对于A，=44×20，方程无解，故A不正确，对于B，当x=1，2时即不成立，故B不正确，对于C，若x1，则x21，正确，故C正确，对于D，当a=1，b=2时不成立

8、，故D不正确，故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，属于基础题2（2016武汉模拟）命题p：若sinxsiny，则xy；命题q：x2+y22xy，下列命题为假命题的是（）Ap或qBp且qCqDp【分析】根据正弦函数的图象即可判断出sinxsiny时，不一定得到xy，所以说命题p是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题q为真命题，然后根据p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项【解答】解：x=，y=，满足sinxsiny，但xy；命题p是假命题；x2+y22xy，这是基本不等式；命题q是真命题；p或q为真命题，p且q为假命题，q是真命题，p是真命题；是假命题的是B故选B

9、【点评】考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题p是假命题，熟悉基本不等式：a2+b22ab，a=b时取“=”，以及p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系3（2015秋烟台期末）已知a，b，c是空间一个基底，则下列向量可以与向量=+，=构成空间的另一个基底的是（）ABCD+2【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合向量+=（+）+（）=2，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底故选：C【点评】本题考查了空间向量的共面定

10、理与应用问题，是基础题4（2015秋烟台期末）双曲线4x2y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于（）A17B16C15D13【分析】先把双曲线方程转化为标准方程，求出a，再由已知条件，利用双曲线的定义能求出结果【解答】解：双曲线4x2y2+64=0，双曲线的标准方程是，a=8，c=4，双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，设点P到另一个焦点的距离为x，则由双曲线定义知：|x1|=16，解得x=17，或x=15（舍）点P到另一个焦点的距离是17故选：A【点评】本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线性质5（2015秋烟台

11、期末）已知向量=（2，x，1），=（4，2，x），若，则实数x的值为（）A2B2C8D8【分析】根据向量，得出=0，列出方程求出x的值【解答】解：向量=（2，x，1），=（4，2，x），且，所以=2×42x+x=0，解得x=8故选：D【点评】本题考查了两向量垂直，它们的数量积等于0的应用问题，是基础题6（2011振兴区校级模拟）方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A0a1Ba1Ca1D0a1或a0【分析】首先，对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，然后在二次项系数不为0时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到a所满足的条件a1，再

12、利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是a1【解答】解：a0时，显然方程没有等于零的根若方程有两异号实根，则由两根之积小于0可得 a0；若方程有两个负的实根，则必有 ，故 0a1若a=0时，可得x=也适合题意综上知，若方程至少有一个负实根，则a1反之，若a1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a1故选 C【点评】本题主要考查一个一元二次根的分布问题，属于中档题在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论7（2015秋烟台期末）过焦点在x轴上的椭圆+=1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦

13、点，若AF1B的周长为20，则实数m的值为（）A5B25C10D100【分析】由题意可得椭圆的a=，由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，可得AF1B的周长为4a，解方程可得m【解答】解：由题意可得椭圆+=1的a=，b=4，由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，即有AF1B的周长为AB+AF1+AF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a，由4=20，解得m=25故选：B【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆定义法的运用，考查运算能力，属于基础题8（2015秋烟台期末）若空间向量=（1，2，1），=（1，0，2），则下列向量可作为向量，所在平面的一

14、个法向量的是（）A（4，1，2）B（4，1，2）C（4，1，2）D（4，1，2）【分析】设向量，所在平面的一个法向量为，则，列出方程组求出的一个值即可判断出结果【解答】解：设向量，所在平面的一个法向量为=（x，y，z），则，即；令z=2，则x=4，y=1，=（4，1，2）故选：B【点评】本题考查了求空间平面的法向量的应用问题，是基础题目9（2015秋烟台期末）在直三棱柱ABCABC中，AB=AC=2，AA=3，ABAC，E为棱BC的中点，F为侧棱CC上一点，若CEAF，则AF与平面ABBA所成的角的正切值为（）A3BCD【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA为z轴，建立空间直角坐标系

15、，利用向量法能求出AF与平面ABBA所成的角的正切值【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA为z轴，建立空间直角坐标系，AB=AC=2，AA=3，ABAC，E为棱BC的中点，F为侧棱CC上一点，CEAF，B（2，0，3），C（0，2，3），E（1，1，3），C（0，2，0），设F（0，2，t），0t3，则=（1，1，3），=（0，2，t），CEAF，=2+3t=0，解得t=（0，2，），平面ABBA的法向量=（0，1，0），设AF与平面ABBA所成的角为，则sin=，cos=，tan=3AF与平面ABBA所成的角的正切值为3故选：A【点评】本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解

16、题时要认真审题，注意向量法的合理运用10（2015秋烟台期末）已知椭圆C1：（ab0）与双曲线 C2：x2有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的离心率为 （）Ae2=Be2=Ce2=De2=【分析】根据双曲线方程，确定一条渐近线为y=2x，可得AB=2a且AB为题中圆的直径由椭圆与双曲线有公共焦点，可得a2b2=5设C1与y=2x在第一象限的交点为A（m，2m），代入C1解出m2=再由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长AB=2m，根据C1恰好将线段AB三等分解出m=，联解可得a2、b2、c2的值，结合离心率的公式加以计

17、算，可得答案【解答】解：由题意，C2的焦点为（±，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性可知以C1的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点，满足AB为圆的直径且AB=2a椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点，C1的半焦距c=，可得a2b2=5，设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为A（m，2m），代入C1的方程，解得m2=，由对称性可得直线y=2x被C1截得的弦长AB=2m，结合题意得2m=，可得m=，由联解，得a2=11b2再联解，可得a2=5.5，b2=0.5，得c2=a2b2=5椭圆C1的离心率e满足e2=故选：A【点评】本题给出双曲线与椭圆共焦点，在双曲线的渐近线与椭圆长轴为

18、直径的圆相交所得的弦AB被椭圆三等分时，求椭圆的离心率的值着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质与直线与圆等知识，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（2015秋烟台期末）命题“x0R，x02x0+10”的否定是xR，x2x+10【分析】根据命题“x0R，x02x0+10”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“改为“”即可得答案【解答】解：命题“x0R，x02x0+10”是特称命题命题的否定为：xR，x2x+10故答案为：xR，x2x+10【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了这里就有注意量词的否

19、定形式如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”属基础题12（2015秋烟台期末）方程（t2）x2+（3t）y2=（t2）（3t）（tR）表示双曲线的充要条件是t3或t2【分析】方程（t2）x2+（3t）y2=（t2）（3t）（tR）表示双曲线，当且仅当（t2）（3t）0，解此不等式可得结论【解答】解：方程（t2）x2+（3t）y2=（t2）（3t）（tR）表示双曲线，当且仅当（t2）（3t）0即（t2）（t3）0，解之可得t3或t2；反之，当t3或t2时，题干中分母异号，方程（t2）x2+（3t）y2=（t2）（3t）（tR）表示双曲线，故答

20、案为：t3或t2【点评】本题考查双曲线的方程，考查解不等式，熟悉双曲线标准方程的形式是关键，属基础题13（2015秋烟台期末）如图，点M是以F为焦点的抛物线x2=8y上一点，若MFy=60°，则|FM|=8【分析】由题意得MF|=2|FA|即|FM|=2（b2）且|MF|=，联立可得b=6，进而由抛物线的定义得到|FM|的长为8【解答】解：由题意得F（0，2）设点M为（a，b）过点M作MA垂直于y轴，垂足为A|MF|=2|FA|即|FM|=2（b2）|MF|=即|MF|=所以2（b2）=整理得a2=3（b2）2又M是抛物线x2=8y上一点a2=8b有可得b=6或b=（舍去）所以|MF

21、|=2（62）=8所以|FM|的长为8故答案为：8【点评】解决此类问题关键是灵活运用抛物线的定义，将问题转化为我们熟悉的平面几何知识14（2015秋烟台期末）给出下列四个命题：如果两个命题互为逆否命题，那么它们的真假性相同；命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题为真命题；已知点A（1，0），B（1，0），若|PA|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线的一支；对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=x+y+z，则x+y+z=1是四点P，A，B，C共面的充要条件其中所有正确的命题的序号为【分析】直接由互为逆否命题的两个命题共真假判断；写出命题的否命题并判断真假判断；由双曲线定义判断

22、；由共面向量基本定理可知正确【解答】解：由互为逆否命题的两个命题共真假可知命题正确；命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题为：“若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数”，是假命题如a=1，b=3不都是偶数，但a+b=4是偶数；已知点A（1，0），B（1，0），若|PA|PB|=2，则动点P的轨迹为一条射线，故错误；由共面向量基本定理可知，对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=x+y+z，则x+y+z=1是四点P，A，B，C共面的充要条件，故正确故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的逆命题、否命题以及逆否命题的真假判断，考查双曲线的定义，考查共面向量基本定

23、理及其应用，是基础题15（2015秋烟台期末）如图，P是二面角AB棱AB上的一点，分别在，上引射线PM，PN，如果BPM=BPN=45°，MPN=60°，那么二面角AB的大小是90°【分析】本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案【解答】解：过AB上一点Q分别在，内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则MQN即为二面角AB的平面角，如下图所示：设PQ=a，则BPM=BPN=45°

24、QM=QN=aPM=PN=a又由MPN=60°，易得PMN为等边三角形则MN=a解三角形QMN易得MQN=90°故答案为：90°【点评】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此题是利用二面角的平面角的定义作出MQN为二面角AB的平面角，通过解MQN所在的三角形求得MQN其解题过程为：作MQN证MQN是二面角的平面角计算MQN，简记为“作、证、算”三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2015秋烟台期末）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式（）|x1|a的解集为，命题q：函数f（x）=的定义域为R，若命题“

25、pq”为真，“pq为假”，求a的取值范围【分析】先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据pq为真，pq为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可【解答】解：若p正确，则由，得a1（3分）若q正确，则ax2+ax+20的解集为R当a=0时，20满足题意； 当a0时，则，解得0a8，所以，若q正确，0a8（8分）由题意知，p和q中有且仅有一个正确，所以或，（10分）所以a8或0a1（12分）【点评】考查指数函数的单调性，空集的概念，对数函数的定义域，一元二次不等式的解的情况和判别

26、式的关系，以及pq，pq的真假和p，q真假的关系17（12分）（2015秋烟台期末）已知双曲线x2=1，过点P（1，1）能否做一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？若能，求出直线l的方程，若不能，说明理由【分析】设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，代入A，B的坐标，运用方程相减，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，由点斜式方程可得直线方程，再代入双曲线的方程，由判别式的符号即可得到结论【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，则有，两式相减可得，x22x12=（y22y12），整理可得，可得直线l的方程为y1=4（x1），即

27、4xy3=0联立，消y并化简得，12x224x+13=0，=2424×12×13=480，方程没有实数解，故过点P（1，1）不能做一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点【点评】本题考查双曲线的方程的运用，考查点差法的运用，注意联立直线方程和双曲线方程，运用判别式大于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题18（12分）（2015秋烟台期末）如图所示的四面体OABC中，OA=OB=OC=a，AOB=90°，BOC=AOC=60°，点M，N分别是AB，OC的中点，点S是MN上靠近点N的三等分点（1）试用，表示；（2）求异面直线CM和

28、BN所成角的余弦值【分析】（1）由，利用向量加法法则和四面体的性质能用，表示（2）先求出，由此利用向量法能求出异面直线CM和BN所成角的余弦值【解答】解：（1）四面体OABC中，OA=OB=OC=a，AOB=90°，BOC=AOC=60°，点M，N分别是AB，OC的中点，点S是MN上靠近点N的三等分点，=（2），=，异面直线CM和BN所成角的范围为，异面直线CM和BN所成角的余弦值为【点评】本题考查向量的表示，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）（2015秋烟台期末）已知顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线C过点（2，

29、2）（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线C与过点P（0，1）的直线l相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为2，求直线l的方程【分析】（1）由题意，可设抛物线方程为x2=2py，点（2，2）代入方程可得4=4p，即可求抛物线C的方程；（2）由题意可得设直线l的方程为y=kx1，联立直线与抛物线的方程可得：x2+2kx2=0，根据韦达定理可得答案【解答】解：（1）由题意，可设抛物线方程为x2=2py，将点（2，2）代入方程可得4=4p，即p=1（2分）所以抛物线的方程为x2=2y（4分）（2）显然，直线l垂直于x轴不合题意，故可设所求的直线方程为y=kx1，代入抛物线方程化

30、简，得：x2+2kx2=0，（6分）其中=4k2+80，x1+x2=2k，x1x22（8分）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有，因为y1=kx11，y2=kx21，代入，整理可得，将x1+x2=2k，x1x22代入，可得k=2，（11分）所以直线l的方程为y=2x1（12分）【点评】本题主要考查抛物线的简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于中档题20（13分）（2015秋烟台期末）如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD中，点E，F分别是棱BC，CD上的动点（1）当BE=CF时，求证：BFDE；（2）若点E为BC的中点，在棱CD上是否存在点F，使二面角

31、CEFC的余弦值为？若存在，请确定点F的位置，若不存在，说明理由【分析】（1）设CE=DF=a，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B'FD'E（2）设DF=b，求出平面EFC'的一个法向量和平面EFC的一个法向量，由向量法能求出当点F为棱CD的中点时，二面角C'EFC的余弦值为【解答】证明：（1）设CE=DF=a，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，（1分）则E（a，2，0），F（0，a，0），B'（2，2，2），D'（0，0，2），C'（0，2，2），（3分），=2a+2a4+4=0，B'FD'E（6分）解：（2）设DF=b，由题意可知，E（1，2，0），F（0，b，0）（0b2），（8分）设=（x，y，z）为平面EFC'的一个法向量，则有=0，=0，即，令