第24章图形的相似

1、 图形的相似【中考命题趋向】本章内容是中考的重点内容，重点考察相似三角形的性质与定理及相似三角形的应用，命题内容及命题形式如下（1）考察线段的比，比例线段及比例的基本性质，题型以填空题和选择题为主；（2）考察相似图形的特征，相似三角形的识别方法和性质，题型以基础解答题为主，但填空题、选择题也较为常见；（3）考察相似三角形有关知识的应用能力，题型多以计算题或解答题为主；（4）以相似三角形等知识为背景，综合代数知识及圆等几何知识进行考察，以开放题、探究题等综合性问题为主。【基础知识】1相似图形：形状相同，大小不一定相同的图形，叫做相似形。【注】 全等是相似的特例2成比例线段：对于四条线段如果其中两

2、条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如，那么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段，此时a,b,c,d成比例。若，则a,d,b,c成比例。【注】 成比例有顺序 判断几个数是否成比例，先排序，再作比。 若，则b为比例中项。3比例的基本性质合比性质：如果，那么。等比性质：如果 例题：1、已知：线段a3，b2，c4，则b、a、c的第四比例项d ；则a、b、(ab)的第四比例项是 ；3a、(2ab)的比例中项是 。2、已知：数3、6，请再写出一个数，使这个数是另外两个数的比例中项，这个数是 。3已知：则 。4已知，且3y2z6，则x 、y 。4相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。5.平行线分

3、线段成比例定理 8 / 86相似三角形 （1）ABCABC，对应顶点要写在对应位置上。（2）如果记，那么这个比值k就是这两个相似三角形的相似比。7相似三角形的判定：基本定理平行于三角形一边的直线和其它两边（两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； AA；SAS；SSS；HL相似的基本图形：例题：（1）如果123，试说明ABCFDE（2）如图，若，则 ，ADC= 。（3）如果一个矩形与它的一半矩形是相似形，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ） A：1 B：2 C2：1 D1：2（4）在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，且DF=3CF，说明ABEECF.（5）ABC中，A

4、B12，BC18，CA24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（）A、27B、12C、18D、20（6）如图，已知在ABC中，CD=CE，A=ECB，试说明CD2=AD·BE。CABDE（7）ABC中，C=900，D，E分别是 AB，AC上的点，AD· AB=AE·AC ，求证 EDAB（8）如图，在ABC中， B=AED，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ；ABCDE（9）如图，若BEF=CDF，则_，_（10）下列各组图形一定相似的是（ ）A有一个角相等的等腰三角形 B有一个角相等的直角三角形C有一个角是100°的等腰三角形

5、 D有一个角是对顶角的两个三角形（11）如图，若ACD=B，则_，对应边的比例式为_，ADC=_（12）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0）和点D，使AOBDOC，求出D点的坐标，并说明理由（13）在ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明（14）如图，D是ABC的边AC 上一点，连接BD，ABCBDC,则需要添加的条件是 （15）如图，已知ABC与ADE的边DE、AB相交于O，且123.试证明 ADOEBO. ADEABC. O（16）（烟台）如图，ABCD中，AB=

6、10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使CBFCDE，则BF的长是（ ）A5 B8.2 C6.4 D1.8（17）（潍坊）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点O，则等于（ ）A B C D（18）如图：已知ABCD，AD、BC相交于E、F为EC上的一点，且EAF=C，求证： EAF=B AF2=FE·FB8相似三角形的性质（1）对应边成比例，对应角相等。（2）相似三角形的对应高、中线、对应角平分线的比等于相似比。（3）相似三角形周长的比等于相似比。（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。例题：（1）（2010 重庆）已知与相似且对应

7、中线的比为，则与的周长比为 （2）（2010安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB2m，CD6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是_m（3）（2010湖南衡阳）如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB若OCOA=12，量得CD10mm，则零件的厚度 x= mm（4）（2010辽宁沈阳）如图，在ABCD中，点E在边BC上，BE：EC=1：2，连接AE交BD于点F，则BFE的面积与DFA的面积之比为 。（5）如图，在ABC中，BC=12cm，点D、F是AB的三等分点，点E

8、、G是AC的三等分点，则DE+FG+BC= ；ABCDFGE（6）在ABC中，BC=15cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm，则最长边是（ ） A、18cm B、21cm C、24cm D、19.5cm（7）如图，ABC中，M是AB的中点，N在BC上，BC=2AB，BMN=C，则 ，相似比为 ，= ；ABCMN9中位线（1）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。（2）重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的。（3）梯形的中位线平行于两底边，并且

9、等于两底边和的一半。例题：（1）已知AB=AC，BC边上的高AD交中线BE于点O，已知 AD=18,BE=15,则ABC的面积为 。（2）在ABC中，中线AD、BE交于G，ABC面积为1，则BDG面积为 ，连接DE,则CDE面积为 ，DEG面积为 。（3）在梯形ABCD中，ADBC，中位线EF分别与BD，AC交于点G、H，若AD=4,BC=12,则GH= （4）等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8，则它的高为 。A. 4 B. C.8 D. （5）E、F、G、H为四边形ABCD的四边中点，要使四边形EFGH为矩形，则满足 条件。A. AC=BD B. ACBD C. AB=CD D. A

10、DBC（6）已知等腰梯形的一个底角为45°，高为4厘米，中位线长为16厘米，则它的上底长为 ，下底长为 。（7）梯形的中位线长为12厘米，上、下底的比为13，那么梯形上底与下底的差为 。（8）已知，等腰梯形ABCD中，ADBC，BDDC，DBCABC，若梯形的周长为40厘米，求梯形的中位线长。（9）如图，ABC的周长为a，ABC的三条中位线组成A1B1C1，A1B1C1的三条中位线组成A2B2C2，如此下去的AnBnCn，则A1B1C1的周长为 ，A2B2C2的周长为 ，AnBnCn的周长为 。（10）已知ABC，延长BC到D，使CD=BC，取AB的中点F，连接FD交AC于点E。求的

11、值；若AB=a，FB=EC，求AC的长。9相似三角形的应用：求角问题； 求长问题；比例问题:a证明比例式（或等积式）的常用方法：三点定型法（横向定型、纵向定型）b证明共线线段比的常用方法:1.平行线分线段成比例定理；2.线段等量代换；3.比例转化; 4.三点定型相似法.面积问题；构建相似方程.例题：（1）雨后初晴时，一学生在运动场上玩耍，在他前面2m远的一块积水处，他看到了旗杆的倒影，如果旗杆底端离积水处的距离为40米，该同学的眼部的高度为1.5米，那么旗杆的高度为 。（2）（2010四川乐山）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图（1）所示，量

12、出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为 （ ）（A）6米（B）7米（C）8.5米（D）9米（3）（2010 山东省德州）如图2，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_m.（4）（2010 山东滨州）如图3,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MNAB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为 （1图） (2图) （3图）11画相似图形位似：两个相似的多边形，它们对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这一点叫做位似中心。

13、【注】位似是具有特殊位置关系的相似；两个位似图形的位似中心只有一个，对应点所在直线的交点；两个位似图形可以在位似中心的两侧，也可以在位似中心的同一侧.位似中心可以在图形外，可以在图形上，也可以在图形内；位似比等于相似比；位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比。位似图形的对应边互相平行（或共线），对应边不平行的图形不是位似图形。例题：（1）用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在（ ） A原图形的外部 B原图形的内部 C原图形的边上 D任意位置（2）（2010辽宁丹东市） 如图，与是位似图形，且位似比是，若AB=2cm，则 cm，并在图中画出位似中心O（3）（2010江苏盐城）图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上以点O为位似中心，在方格图中将ABC放大为原来的2倍，得到ABC；ABC绕点B顺时针旋转，画出旋转后得到的ABC，并求边AB在旋转过程中扫过的图形面积ABCO （4）（2010广东茂名）