一元函数极限的求法

1、一元函数极限的求法摘要：本文用举例的方法来介绍函数极限的定义，函数极限的求解方法.关键词：函数极限的定义；求解方法The soulution of function extremityAbstract:This article introduced some application of the definition of the function extremity ,the soulution of function extremity.Key Words:the definition of function extremity；soulution前言极限是数学分析中最重要的概念之一，微分

2、，积分等概念的引入，都与极限的概念密切相关.而这些概念引进后，利用这些知识又充实了求极限的方法。本文主要通过一些具体例子来讨论函数极限的求解方法.1.一元函数极限的定义1.1 趋于时的函数极限设函数为定义在上的函数，A为定数.若对任给的，存在正数,使得当时有,则称函数当趋于时以A为极限，记为或.1.2 趋于时函数的极限 设函数在点的某个空心邻域内有定义，A为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以A为极限，记作或.2.一元函数极限的求法总结2.1 利用定义及极限的四则运算法则求极限 利用该法求极限，方法简单也易于掌握.但多数情况下是不能直接用，应掌握一些变形技巧.例1 求.解

3、 对，取正整数，则当时，有，即，从而，故，由定义，则有.例2 求.解 .2.2 利用代入法求极限 若所给的函数是初等函数，且在有定义，由连续性知，求得的函数即为其极限值.例3 求.解 因为是初等函数定义区间内的一点，所以.例4 求.解 因为是函数定义区间内的一点，所以.2.3 利用两个重要的极限求极限两个重要的极限为（或）和（或），使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数做适当的变形，使之具有相应的形式.例5 求.解 .例6 求.解 .2.4 利用等价无穷小求极限 常见的等价无穷小量时： ，.例7 求极限.解 由于,则.例8 求极限.解 由于,而,则.2.5 利用洛必达法则求极限 运用洛必达法

4、则求极限的注意地方：仅对“”与“”型未定式适用，其它未定式“”、“”、“”、“”、“”都可化为“”与“”型，前两种采用恒等变形的方法；后三种采取先化为指数形式或用取对数的形式化为“”与“”型.应对分子分母分别求导，不能对整个分式求导.若不存在，不能由些断言也不存在，只能说明洛必达法则此时失效，应采用其它方法.例9 求.解 .例10 求.解 .例11 求.解 这是未定式，因为,当时，上式右端是未定式，应用洛必达法则，得.2.6 利用泰勒展开式求极限 定理 若函数在点附近具有直到阶的导数，并且在处还是连续的，则有 特别当时， .例12 求.解 因为， ,于是.例13 .解 因为当时，所以,从而,于

5、是.2.7 利用定积分的概念求极限设函数在有限区间上连续，把区间n等分，作和式取，则定积分定义有.例14 求极限.解 .2.8 利用两边夹法则求极限 定理 若，而，则极限. 使用此法则求极限的关键是设法寻找变量X和Y，使满足,且.例15 求极限.解 因为, 而, , 由两边夹法则得，.参考文献：1华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，2001.2滕桂兰.高等数学（上册）M.天津：天津大学出版社，2000.3同济大学数学教研室.高等数学（第五版）M.北京：高等教育出版社，2002.4邹应.数学分析习题及解答M.武汉大学出版社.2001，168169，176177.5裴东林.数极值的初等和高等解法比较J.甘肃联合大学学报：自然科学版，2004，7