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文档简介

1、二、对于直线上的两个点集和，如果能经过适当平移后重合于，则说这两个集是相等的；试确定，闭区间能否分解成两个互不相交的相等的点集？解：设，且存在，使得，今设，则；当时，考虑点的归属：假若，则有，矛盾！于是有 显然，集的最小点是，（事实上，如有，使，则，但是，矛盾！），于是 .类似可知，（事实上，如有，使，则，而，矛盾！）于是，当，必有 .将改记为 ，其中.我们来证明，对任何，式皆成立.对归纳：据知，时，结论成立；设对于某个自然数，式成立，则据平移，有，而，则，注意，据所设式，以及，所以由，即；进而由得，；即，所以，（若该区间有某点，则，而，矛盾！），即式对于成立因此对任何，式皆成立.于是对任何，

2、这与集的有界性矛盾！因此闭区间不能分解成两个互不相交的相等的点集四、设是给定的次数为正整数的实系数多项式，证明：对于每个正数，存在一个正整数满足如下条件：对每个次数且首项系数为的实系数多项式，满足不等式的整数的个数均不超过的次数讲解：由于的次数，则当时，故，只要，就有；而满足的整数只有有限多个，从而使得的整数只有有限多个今设是任一个首项系数为的次实系数多项式，其中，（待定），任取个互不相同的整数：，由拉格朗日插值多项式，有，因为的首项系数为，比较两边的首项系数，得 设，因为不同的整数，其中小于的值有个，故是个不同的正整数，其乘积，又因在这个数中，大于的有个，所以 ，是个不同的正整数，于是其乘积，因此得， 由得，所以 ；今取为满足的最小正整数；由于，故有，而，即在中，至少有一个整数使得，从而，因此在中，满足的整数至多个，而由的任意性可知，任何

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