习题解答与模拟试题

1、习题解答1.设为坐标平面上与轴正方向构成角的向量。 求函数在点沿方向的方向导数； 当为何值时，上述方向导数：(i)有最大值；(ii)有最小值；(iii)等于零。分析与解答：函数可微分，而单位向量，根据公式 求方向导数。因为其中，所以方向导数其次，令，因为，而当时，；又因为，所以 (i)当时，方向导数有最大值；(ii)当时，方向导数有最小值最后，显然当时，方向导数等于零。2.设函数。求它在点沿曲线的切线正方向上的方向导数。分析与解答：曲线的切线正方向，就是切向量的方向。曲线上的点对应参数，所以切向量为，而单位切向量为下面求偏导数的演算可以在草纸上做：根据求方向导数的公式，则3.梯度的运算规则（为

2、常数）；。注：因为梯度实际上就是导数，所以梯度的运算规则就像导数的运算规则一样。4.设，。证明：【单位向量】； 证 ，则，因此，5.求函数在点沿梯度方向的方向导数。分析与解答：沿梯度方向的方向导数就是梯度的模，即，所以要先求梯度。函数【其中】，而它的梯度为因此，函数在点沿梯度方向的方向导数就是6.求函数在点沿梯度方向的方向导数。解 沿梯度方向的方向导数就是梯度的模。因为，所以。因此，函数在点沿梯度方向的方向导数为第7题图7.等值线 类似于空间的等值面【见教科书，p.060，图11-29】，坐标平面上满足方程【常数】的所有点构成的集合称为等值线。若函数连续可微分且在等值线上点处有。证明：与曲线在

3、点处的切线垂【第7题图，证明见教科书中选解】。第8题图SP08.若函数连续可微分，点为等值面上一个定点且。证明：与曲面上点处的法线平行【即与切平面垂直】（第8题图）。证明见教科书中选解。9.求函数在单位球面上点处沿外法线方向的方向导数.问：沿内法线方向的方向导数为何？分析：单位球面上点处的外法线方向，就是函数在点的梯度的方向。因为，而函数在点的导数为，所以函数在单位球面上点处沿外法线方向的方向导数为（）其中为函数沿梯度方向或外法线方向的单位向量【相当于方向导数公式中那个单位向量】。因为，所以。因此，即沿外法线方向的方向导数为；而沿内法线方向的方向导数为。 10.求函数在点和点的两梯度之间的夹角

4、解 先求偏导数：于是，梯度，梯度。因此，11.设函数与都可微分。问在什么条件下，函数在点沿函数在同一点的梯度方向的方向导数等于零？分析与解答：根据方向导数的公式，这里的方向就是梯度的方向。因此，方向导数即当时，函数在点沿函数在同一点的梯度方向的方向导数等于零？模拟试题方向导数与梯度仅是考研试题数学一的考点之一，其他数学试卷中没有这一节的内容。 填空题(1)函数在点处的梯度分析：梯度就是导数或写成注意：向量的三种等同记法：，。前两种记法强调其中的是向量的坐标，而后一种记法强调其中的是向量的分量。(2)设函数，则沿向量方向的方向导数分析：根据求方向导数的公式其中为函数在点的导数【梯度】，即而单位向

5、量。因此，(3)函数在点沿指向点方向的方向导数为分析：先求出导数与单位向量，然后按方向导数的公式求方向导数。因为，所以导数；其次，于是，。因此，(4)曲面在点处的切平面方程为分析：令，则切平面的法向量为于是，所求切平面的方程为【点法式】或化简为【一般式】(5)曲面的一个切平面平行于平面，则切点为分析：曲面的切平面的法向量是，或者把曲面方程写成隐式，则法向量为梯度它平行于平面的法向量。因此，【对应坐标成比例】，于是；代入，得。因此，切点坐标为(6)设曲面：，它的一个切平面平行于坐标面，则切点为分析：解题方法与上一题基本相同。令则曲面的法向量为梯度而坐标面的一个法向量为单位向量；它们平行的充分必要

6、条件是即把代入原来的方程，可得。因此，切点坐标为或(7)由曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面在点处指向外侧的单位法向量是分析：曲线是坐标面上的椭圆：，它绕轴旋转一周得到的旋转曲面是。令【等值面】，则在点处的外法向量为而单位法向量为(8)曲线在点处的切线方程为，而法平面方程为分析：求出曲线在点处的方向向量，而它也是该点处法平面的法向量。求方向向量的方法有两个：第一个方法是把曲线表示成参数式，即【点对应于参数】则为简单起见，取；第二个方法是把看作向量积，其中 【不妨取】则因此，所求切线的方程为而所求法平面方程为【点法式】或【一般式】点评：关于曲面与曲线的试题中，有下面两种题型：(甲)求曲面的切平面与法

7、线 若曲面方程为显式，则切平面的法向量为若曲面方程为隐式，则切平面的法向量为它同时也是切点处法线的方向向量。曲面切平面法线法向量(甲)曲线切线P(乙)法平面(乙)求曲线的切线与法平面 若曲线方程为参数式，则切线的方向向量为或简写为【见教科书，上册，p.407】若曲线方程为一般式，则切线的方向向量为【向量积】，其中， 向量同时也是切点处法平面的法向量。 选择题(9)函数在点处的梯度等于【 】 分析：因为其中是二元函数，所以梯度是二维向量，即【注意梯度有两种写法】其中而，。因此，梯度。选(A)注：选项中用的是前一种记法。 解答题(10)求函数在点沿与通过此点的等值线成垂直方向的方向导数。分析与解答：与等值线成垂直的方向，就是与梯度平行的方向，而沿这个方向的方向导数就是梯度的模或它的相反数，即。因为， 所以梯度；而沿所说方向的方向导数为(11)设是曲面在点处